En bog om

Det inkommensurable

begyndende med fortællingen

Pythagoræernes sidste dage i Kroton

og sluttende med fortællingen

De sidste minutter af en matematiktime










Pythagoræernes sidste dage i Kroton

Indledning

I denne beretning fortælles om hvordan man opdagede at størrelser kan være "inkommensurable".

Athene - kundskabens gudinde - havde længe skammet sig på menneskets vegne over denne uvidenhed. De skulle altså åbenbart hjælpes lidt på vej. Men den slags tog en gud sig sin betaling for. Og intet kunne fornøje en gud mere end at kalde latteren frem hos de øvrige medlemmer af gudefamilien på Olympen.

Athene besluttede at opdagelsen skulle gøres af Pythagoras. Han havde i byen Kroton grundlagt en åndelig og kunskabssøgende bevægelse som fik stor udbredelse og betydning. Hans disciple betragtede ham som en halvgud, og tillagde ham opdagelser som de selv og andre havde gjort - således hans læresætning.

Men en frygtelig katastrofe fulgte i opdagelsens kølvand. Pythagoræernes kloster blev stormet og stukket i brand og mange pythagoræere blev dræbt. Og de resterende - og blandt dem var Pythagoras - blev spredt for alle vinde. Dette kan umuligt have været med i Athenes plan.

Det fortælles at denne massakre var et resultat af byborgernes irritation over pythagoræernes ophøjede og sekteriske liv og deres provokerende opfattelser på en række områder. Pythagoræerne hævdede således at Jorden er rund som en kugle og at det evige og himmelske liv er forbeholdt matematikere.

Men som det vil fremgå af den følgende beretning, er dette en begrænset del af sandheden. Pythagoræerne var nemlig ikke så upopulære endda og de var meget opmærksomme på den fare som deres særprægede liv udsatte dem for. De holdt i almindelighed deres anskuelser og indsigter hemmelige.

Der syntes at stå helt andre kræfter bag denne forbrydelse end den jævne byborger. Og Athene var ikke helt uden skyld, hun havde haft for stor tiltro til Pythagoras' klarsynethed.


Kapitel 1

Engang lå i Syditalien en by der hed Sybaris. Denne by var græsk koloni og den var berygtet videnom for indbyggernes overdådige og nydelsessyge levemåde. Da grækerne imidlertid var et folk som sædvanligvis lagde vægt på mådehold, fremkaldte livet i Sybaris de omkringliggende byers vrede - en vrede der til sidst blev så stor at man indtog byen, ødelagde alt og bortjog eller dræbte indbyggerne. Siden den tid har "en sybarit" været et forfærdeligt skældsord - det er en person som æder og drikker og fornøjer sig umådeholdent.

Dette skete omkring år 500 før vor tidsregning, og det er på det tidspunkt at begivenhederne i denne beretning finder sted.

En af de byer som var med i dette felttog var Kroton. Også denne by var græsk koloni, og i dén havde den religiøse pythagoræerorden sit kloster. Pythagoræerne var meget aktive i kampen mod Sybaris, så derfor nød de en vis anseelse i byen, selvom man ikke brød sig så meget om deres religion.

Pythagoræerne levede et meget asketisk liv fyldt med regler og mystiske doktriner. Igennem meditation hensatte de sjælen i en ekstatisk tilstand, så den frigjorde sig fra legemet og kom i berøring med det guddommelige kosmos. De lagde stor vægt på at beskæftige sig med videnskabelig forskning. Ånden blev nemlig renset ved fordybelse i ædle tanker. Især studerede de geometriske figurer og tal og musik. De satte alle tilværelsens fænomener i forbindelse med tal - de opdagede således at når strenge klinger harmonisk sammen, da står deres længder i enkle talforhold til hinanden. Ja mere end det, de opdagede at hele strengen, kvarten, kvinten og oktaven står i den fuldkomne proportion: 12:9:8:6, idet 12/9 = 8/6 og 9 = (12 + 6)/2 (aritmetisk middel) og 1/8 = (1/12 + 1/6)/2 (harmonisk middel).

Deres åndelige overhoved var Pythagoras. Han var en gammel og meget lærd mand som havde boet og studeret næsten overalt i verden, og han havde haft dybe samtaler med alle de største filosoffer. Men nu havde han slået sig ned i Kroton og havde her grundlagt sin pythagoræerorden som snart talte over hundrede mandlige og kvindelige disciple. Deres kloster var et stort og svært befæstet bygningskompleks som lå på et højdedrag lige uden for byen.

Borgerne i Kroton levede som sagt et rimeligt mådeholdent og fromt liv. Men på et tidspunkt begyndte livet i byen at ændre sig. Dette skyldtes at en spillelidenskab greb om sig. Hvor spillet stammer fra vides ikke, men Kroton var en havneby og der foregik herfra en livlig handel med hele middelhavsområdet, så det var givetvis søfolk der havde hjembragt spillet.

Til at begynde med brugte man småsten eller pinde som spillebrikker. Men snart begyndte man at spille om penge og man brugte da sølv- og guldmønterne som spillebrikker. Den spiller der vandt fik alle mønterne.

Spillet foregik således: Kun to spillere kunne deltage. Disse lagde deres indsats i hver sin bunke på bordet. Indsatserne var sjældent lige store for der var altid en af spillerne som var den dygtigste og han måtte lægge en større pulje på bordet for at den mindre dygtige turde spille mod ham. Der skulle være rimelig mange mønter i hver bunke, og det var vigtigt at en spiller ikke vidste hvormange mønter modparten ville lægge. Man trak lod om hvem der skulle begynde og spillerne skiftedes nu til at borttage mønter fra bunkerne. De måtte selv om hvilken bunke de ville tage fra og hvor mange mønter de ville tage, de skulle dog tage mindst én mønt og hvis de tog mønter fra begge bunker samtidig skulle de tage lige mange. Den der tog de sidste mønter havde vundet og han fik som sagt alle mønterne.

Guldmøntspillet blev uhyre populært. Der blev lagt store pengebeløb på bordene og adskillige spillere var professionelle. To professionelle spillere kunne samle op imod hundrede tilskuere omkring sig.

Kapitel 2

I Kroton boede en velhavende købmand og handelsrejsende. Han havde fem sønner - den yngste hed Hippias. Hippias var en køn og kvik dreng på 10 år. Han havde fået en god skoleuddannelse og han havde adskillige gange været med på faderens handelsrejser, så han havde besøgt næsten alle havnebyer i verden.

Da han var med på et sådant togt, hørte han faderen sige at de skulle i havn i Itéa som lå nær byen Delfi i Grækenland. Hippias vidste at der i Delfi var et stort tempel for guden Apollon, som var sandheden og lysets gud og endvidere musikken og digtekunstens beskytter. Og at der i dette tempel var et orakel hvor man kunne stille spørgsmål til Apollons præstinde Pythia, men at svaret altid kun blev givet i form af en gåde som kunne være meget svær at tyde - ja af og til umulig - thi Pythia var i en omtåget og ekstatisk tilstand som skyldtes dunster der steg op igennem revner i undergrunden.

Hippias sagde til sin fader at han havde et spørgsmål som han gerne ville stille Pythia, om han mon ikke kunne komme til at besøge Delfi. Delfi ligger et godt stykke vej fra Itéa, sagde faderen, men Hippias burde da absolut se Apollons tempel som netop var blevet prægtigt genopført efter en brand, så han ville sørge for at noget af hans mandskab kunne ledsage ham dertil.

Da Hippias og søfolkene kom til Delfi, søgte de mod den store plads foran hovedtemplet, og dér spurgte Hippias om vej til Pythia. Man svarede at han skulle henvende sig i det lille tempel med indskriften "Kend dig selv". Efter en lang ventetid blev han vist ind til en ældre og værdig præst, som kiggede forundret på ham. Hippias fortalte hvem han var søn af og at hans far var forhindret i at være tilstede, men at det var ham selv som havde noget at spørge Pythia om. Præsten spurgte hvad dette mon kunne være. Hippias fortalte om guldmøntspillet i sin hjemby og at han var sikker på at der er nogle tal som man kan lære så man altid kan vinde. Da det jo almindeligvis var hærførerer som opsøgte Pythia for at få et vink om gudernes planer, udløste Hippias' spørgsmål et sådant latteranfald hos præsten, at Hippias næsten frygtede for hans helbred, men omsider klappede præsten ham på hovedet og sagde, at den Pythia som måske kan få Apollons opmærksomhed når det gælder et sådant spørgsmål, først vil møde senere, og at han skal komme igen to timer inden solnedgang. Hippias og søfolkene fordrev tiden med at gå rundt i gaderne i Delfi, og ganske som i hans hjemby stod folk omkring spillere der sad ved borde, og der var en løssluppen stemning. Da de vendte tilbage til det lille tempel, blev de af en ung præst ført til hovedtemplet hvor der var utallige statuer af guld og elfenben og med ædelstene. Præsten fortalte stolt og Hippias og søfolkene beundrede og præsten beundrede denne drengs og disse søfolks beundring. Så bad han søfolkene om at sætte sig og vente, og han førte Hippias bag et sidealter til en lille dør. Her stod en tempeltjener som rakte ham en tændt hornlygte og førte ham nedad en næsten endeløs vindeltrappe hvor luften blev mere og mere klam. De kom til en grotte med fugtige klippevægge og oplyst af svage olielamper, og i midten stod en høj trefod over en revne i jorden, og oppe på den sad Pythia klædt som Apollons brud. Under hende var et bækken med glødende trækul som en præst viftede over med en ørnevinge. Han rakte Pythia en skål med friske laurbærblade - hun skulle tygge dem for at blive fyldt med Apollons ånd. Herefter sad hun og stirrede og rokkede frem og tilbage. Så kom der damp op fra kløften og indhyldede hende, og da dunsterne var drevet væk, vred hun sig og udstødte uhyggelige lyde. Hippias følte at der var noget forkert ved det, for hun var ikke ældre end hans søster. Men så gav præsten tegn til at Hippias kunne spørge. Han fortalte om guldmøntspillet i sin hjemby, og at han kunne se at det også var nået til Delfi, og at der sikkert er en strategi så man altid kan vinde, og at det vil være en stor fordel hvis alle kender den, for så kan spillet ikke mere spilles, og så vil den støj og spektakel der er overalt ophøre.

Pythia stirrede med åben mund, men så stømmede gudens ånd ind over hende og hendes ansigt fortrak sig og der kom sære ord ud. Hun rystede over hele kroppen og præsten måtte holde på trefoden så den ikke væltede. Hippias fik kun fat i nogle få ord uden mening: "gylden", "pythagoræere", "fliser", "borttage". Så gav præsten tegn til at Pythia havde talt. "Jamen?", udbrød Hippias da han og tjeneren var udenfor døren og på vej op. "Min unge ven", sagde tjeneren, "ingen dødelig forstår guderne, men vi har lærde videnskabsmænd der har studeret gudernes tale - den herre du så med en vokstavle - han vil tyde svaret så godt det er muligt og skrive det på en tavle, og jeg vil tro at du kan forstå det, for Pythia var mere forståelig end normalt - gå du nu op til dine venner, så vil jeg ligestraks komme med tavlen."

Et kvarter senere fik Hippias overrakt vokstavlen. Der stod:

Gå til "Den gyldne Allé" der fører til pythagoræernes kloster

- læg en mønt fra den lille bunke på hver af de korte fliser til der ikke er flere

- borttag lige så mange mønter fra den store bunke som der var mønter i den lille bunke og læg en mønt fra den resterende bunke på hver af de lange fliser til der ikke er flere

- hvis de to rækker af mønter når lige langt - uden at de korte fliser dog når forbi de lange fliser - da kan du altid vinde spillet.

Dette svar kan helt sikkert tydes, tænkte Hippias. Det kunne ærgre ham at der ville gå flere måneder førend de var hjemme igen, men nu havde han da tid til at tænke over svaret.

Han havde set "Den gyldne Allé", men han erindrede ikke noget om dens fliser. Ifølge oraklet skulle der altså være to slags - korte og lange. Han formodede at fliserne lå nogenlunde således:

- og at man skal starte ved alléens begyndelse med at lægge mønter. Hvis denne formodning er rigtig, skal han blot foretage to udmålinger når han kommer ud til "Den gyldne Allé", så han behøver kun at medbringe en lige pind og en kniv.


Kapitel 3

Da Hippias kom hjem, kunne det selvsagt ikke gå hurtigt nok med at komme ud til "Den gyldne Allé". Hans formodning var korrekt. Han foretog omhyggeligt sine udmålinger uden at nogen bemærkede det og skyndte sig hjem. Han tegnede et kort over den nødvendige del af flisealléen og det så således ud:

Og nu kom det vanskelige arbejde. For det første: hvilken størrelse skal de to bunker have førend de passer med Pythias beskrivelse?

Hippias begyndte helt fra begyndelsen, og han fandt ud af det er nemmest hvis man nummererer tilfældene ud fra hvor mange mønter der ligger på de lange fliser.

Hvis der ligger 1 mønt på de lange fliser, da kan kun denne situation komme på tale:

Der skal altså være 1 mønt i den lille bunke og 2 mønter i den store bunke.

Hvis der ligger 2 mønter på de lange fliser, da kan kun denne situation komme på tale:

Der skal altså være 3 mønter i den lille bunke og 5 mønter i den store bunke.

Hvis der ligger 3 mønter på de lange fliser, da kan kun denne situation komme på tale:

Der skal altså være 4 mønter i den lille bunke og 7 mønter i den store bunke.

Hippias nåede på den måde frem til denne række af talpar:

Læg mærke til at et talpars nummer netop er forskellen mellem tallene. Hippias gættede at stillingen skal være et sådant talpar efter at han har borttaget mønter.

Spørgsmålet var dernæst: kan man altid opnå en sådan stilling? Det nemmeste var nok at forsøge sig frem. Det viste sig, at uanset hvordan stillingen står, så kan man altid ved blot ét træk nå frem til en stilling som optræder i denne række af talpar - hvis stillingen ikke er der i forvejen.

Strategien var nu helt klar: Når spillet er skredet så langt frem at han hurtigt kan tælle guldmønterne, skal han blot føre stillingen ind i denne række og sørge for at holde den dér. Og det vil hans modspiller ikke kunne forhindre, thi hver gang modspilleren trækker bliver stillingen rykket ud af rækken. Han selv vil da bevæge sig længere og længere opad i rækken og til sidst efterlade stillingen (1  2) - og så er det klart at han har vundet.

Hippias lærte rækken af talpar udenad og brændte derefter alle papirerne. Nu kunne han begynde en forrygende karriere som storspiller.


Kapitel 4

Hippias startede med at udfordre sine brødre og derefter gik turen til enhver som han kunne få lokket til at spille. Og hver gang vandt han - det var forudbestemt. Kun en der selv kender talrækken kan vinde over ham, og da kun hvis denne bringer talrækken i anvendelse førend ham selv - alt dette kunne han på forhånd udelukke.

Han blev hurtigere og hurtigere til at foretage sine træk. Der blev spillet med guldmønter og indsatserne blev større og større. Han slog snart alle de berømte storspillere og hans navn kom på alles læber. Hans forældre var stolte af ham og hans indtjening var svimlende.

I løbet af blot én uge var Hippias blevet spiller nummer ét. Kun de allerstørste professionelle spillere vovede at kæmpe mod ham, og da kun efter at han havde lokket med en gigantisk overindsats. Men en sådan karriere måtte naturligvis få en ende: han ville udelukke sig selv fra spillet og mange ville have en stor interesse i at få ham skaffet af vejen.

Det gik nu ikke så galt endda. Advarsler fra slægt og venners side havde ikke så hurtig virkning som det var ønsket. Så han kom til at opleve ubehagelige episoder, som han i sin lykkerus ignorerede, men som gnavede sig vej til hans sjæls allerinderste.


Kapitel 5

- Og en nat banede disse ophobede fortrædeligheder sig vej frem til hans bevidsthed. Han havde en grusom drøm: En bande bestående blandt andre af en af de storspillere som i de foregående dage havde sendt ham de mest ondskabsfulde blikke, havde ført ham ud til kanten af en dyb og næsten lodret klippeafgrund. På dette sted lod de ham forstå, at de var sikre på at han kendte spillets hemmelighed og at han nu skulle videregive sin viden til dem. Gjorde han det, ville han uskadt blive bragt tilbage, men nægtede han, ville hans unge legeme inden få minutter ligge knust ved foden af afgrunden.

Her ophørte hans drøm. Men hans mareridt var ikke slut. Han havde en uhyggelig følelse af at de ville have dræbt ham selvom han havde givet dem sin hemmelighed. Og drømmen havde været så livagtig, at han følte at den kunne blive til virkelighed nårsomhelst. I flere timer lå han vågen og spekulerede over hvad han skulle gøre. Det var alt for usikkert at opholde sig her i huset - hans far og brødre var netop taget på en lang handelsrejse og han var alene med sin mor og sin søster og deres to tjenestepiger.

Da fik han pludselig en idé som kunne blive hans redning. Han erindrede at pythagoræernes kloster var stærkt bevogtet og at disse jo var meget interesserede i talspekulationer. Måske ville de yde ham beskyttelse hvis han videregav dem sin hemmelighed og de opdagelser om talrækken som han tillige havde gjort.

Der var ingen tid at spilde, han måtte afsted med det samme inden det blev lyst. Han skrev en kort besked til sin mor:

                Kære Mor

       Jeg har haft en skrækkelig drøm, jeg tror jeg er i livsfare.

       Jeg skjuler mig hos en skolekammerat.

       Jeg håber at vi snart kan ses igen.

                                      Hilsen Hippias

- og listede derefter ud af huset med sine mest nødvendige ejendele.


Kapitel 6

Det var endnu mørkt da han stod foran den vældige port ind til pythagoræernes klosterområde. Han måtte tage sin ene sko af og banke på porten med den for at det kunne høres, men da blev der også straks åbnet et lille glughul i porten og han blev spurgt om sit ærinde.

Han fik den besked, at deres åndelige overhoved og store mester Pythagoras enten sov eller arbejdede i sit bibliotek og under ingen omstændigheder måtte forstyrres, men at han kunne få ophold i en klostercelle indtil det blev dag. Han måtte dog indvilge i at blive ført dertil med bind for øjnene, thi ingen fremmed måtte se klosterets hemmeligheder. I cellen følte han sig tryg og snart fik søvnen tag over ham.

Hen på formiddagen blev han vækket af en ung kvindelig discipel som medbragte en bakke med morgenmad, og hun sagde, at der om en time vil blive afholdt et møde hvor Pythagoras og alle hans disciple vil være til stede.

Mødet blev afholdt i en beskedent udstyret sal. Han blev ført dertil med bind for øjnene. Der var fyldt med disciple, og det var tydeligt at en del inventar og vægdekoration var fjernet. Man bad Hippias sætte sig på en stol lige foran en forhøjning hvor der var en talerstol, og bag den var der en stor tavle. Alles blikke var rettede imod ham og der var en livlig samtale. Men pludselig forstummede al tale, og i en påfaldende lang tid var der helt stille. Men så hørtes der støj bag en dør, og ind trådte Pythagoras flankeret af to disciple. Hippias fik alle sine fordomme om Pythagoras bekræftet, thi aldrig havde han set en så høj og statelig person.

Pythagoras betragtede længe Hippias, så talte han: "Min unge ven, man har fortalt mig om din anmodning til os og om den farlige situation som din ungdommelige tankeløshed har bragt dig i - dit navn er jo kendt videnom - også vi har hørt om dig - du véd, forstår jeg, at vi nærer en dyb interesse for studiet af tallene - vi mener at alle de mest storslående og guddommelige lovmæssigheder kan udtrykkes i smukke og harmoniske talforhold - og vi mener at dette studium er menneskesjælens eneste vej til det evige og himmelske liv - men guldmøntspillet som vi ser vinde mere og mere udbredelse, samt det løsagtige og ugudelige levned som spillet fører med sig, ser vi på med den største bekymring - vi skal dog ikke dadle dig for din deltagelse i spillet - du er jo så ung - de talforhold som der muligvis skjuler sig i spillet vil vi dog gerne høre om - selvom vi ikke kan forestille os at de kan være særlig kønne." Disciplene lo. "Fortæl nu os allesammen din viden - vi skal da garantere dig en sikkerhed på dette sted som du ikke vil kunne finde andre steder, og du skal få en god forplejning - og dette altsammen lige så længe som du ønsker."

Hippias berettede nu overfor den lydhøre forsamling om hele hændelsesforløbet. Om den idé der var slået ned i ham, at man kunne at gå til oraklet i Delfi. Om Apollons kæmpestore tempel fyldt af kostbare ting. Om grotten som ligger langt langt nede i jorden. Om Pythias mærkelige opførsel og udseende og tale. Om videnskabsmændenes utrolige viden nutildags. Hippias gengav ordret hvad der stod på vokstavlen - det var ganske nemt for ham at nå frem til spillets række og finde ud af hvordan den skal bruges. Om hans karrieres svimlende bane, som han jo godt kunne se måtte få en ende.

Pythagoræernes interesse blev naturligvis skærpet da de hørte at såvel "Den gyldne Allé" som "deres" gud - Apollon - havde været inddraget i sagen. Pythagoras bad Hippias om at gå hen til tavlen og skrive en lang række af tallene i vinderstrategien, og da Hippias kunne dem udenad, var dette hurtigt gjort. Så sagde Pythagoras - til disciplenes forbløffelse - at han gerne ville se om den virker. "Lad os spille", sagde han til Hippias, "og se hvem der vinder". Pythagoras tegnede et tilfældigt antal streger i den side af tavlen hvor han selv stod og et tilfældigt antal streger i den side af tavlen hvor Hippias stod, og så sagde han: "Vi springer lodtrækningen over, du begynder." Hippias talte 6 streger i Pythagoras' bunke og 9 streger i sin egen, og han kunne straks se at der skal fjernes 2 streger fra begge bunker. Så var der 4 streger i Pythagoras' bunke og 7 streger i hans egen, og dette var et talpar i spillets række. Pythagoras kunne straks se at han havde tabt, men han måtte jo følge spillets regler, så han fjernede 1 streg fra hver af bunkerne, så der var 3 i hans egen og 6 i Hippias'. Hippias fjernede 1 streg fra sin egen bunke, så der var 3 streger i Pythagoras' bunke og 5 i hans egen, og så var stillingen igen i spillets række. Pythagoras fjernede igen 1 streg fra hver af bunkerne, og så var der 2 streger i hans egen bunke og 4 i Hippias'. Til dette svarede Hippias med at fjerne 3 streger fra sin egen bunke, så der var 2 streger i Pythagoras' bunke og 1 streg i hans egen. Pythagoras fjernede de 2 streger i sin bunke, og lod Hippias fjerne sin ene streg, så der ikke var mere at fjerne. Pythagoras trak på skulderen til disciplenes fornøjelige klukken, og han udtalte herefter sin uforbeholdne påskønnelse af Hippias' klare tænkning og gode evne til at udtrykke sig.

Der var opstået et stærkt røre i forsamlingen - hvor bærer det her hen? Hippias havde fortalt at han havde fundet sære talrelationer i rækken, og dem var alle nysgerrige efter at høre om. Han gik i gang: "Jeg har opdaget at talrækken kan dannes uden at man gør brug af "Den gyldne Allé"", og han skyndte sig at tilføje, "I har jo sikkert også udtænkt "Den gyldne Allé" ud fra evigtgyldige love." Stemningen i salen fortalte ham at han havde ret. Han fortsatte: "Første talpar fås ved at skrive et 1-tal og lægge 1 til 1-tallet, det er altså (1  2), andet talpar fås ved at skrive det mindste tal vi ikke har medtaget indtil nu, altså 3, og lægge 2 til 3-tallet, det er (3  5), tredie talpar fås ved at skrive det mindste tal vi ikke har medtaget indtil nu, altså 4, og lægge 3 til 4-tallet, det er (4  7) - således kan man fortsætte, og disse to rækker af talpar dannede på helt forskellig måde, er præcis ens - og læg mærke til at ethvert af tallene 1, 2, 3, 4 og så videre optræder præcist én gang i rækken af talpar - nogle tal optræder som første tal i et talpar og andre tal optræder som andet tal i et talpar." Der var en stadig voksende interesse blandt disciplene. Hippias fortsatte: "Jeg har også fundet ud af at man kan danne talpar i spillets række uden at begynde helt fra begyndelsen, og det skal man jo i den måde jeg lige har vist - jeg har opdaget, at når man har dannet noget af rækken, så kan man forudse talpar længere ude i rækken - hvis man har et talpar i spillets række - for eksempel (9  15) - her er det sidste tal 15 - så kan man uden videre danne talpar nummer 15: det første tal er summen af tallene i (9  15), altså 24, og da det jo altid gælder at det andet tal er det første tal plus talparrets nummer, så er det andet tal 24 + 15 = 39 - (24  39) er altså et talpar længere ude i spillets række - og dette kan man jo fortsætte med: ud fra (24  39) kan man danne et nyt talpar endnu længere ude, nemlig nummer 39 - det første tal er 24 + 39 = 63 og det andet tal er 63 + 39 = 102 - vi startede med talparret (9  15), og vi dannede det talpar hvis nummer er det andet tal 15, men vi kan også uden videre danne det talpar hvis nummer er det første tal, altså 9 - det første tal får vi ved at trække én fra det andet tal - altså 15 - 1 = 14 - og det andet tal får vi ved at lægge nummeret 9 til dette tal - 14 + 9 = 23 - (14  23) er altså et talpar i spillets række - men det interessante er, at hvis vi sammenligner de to talpar vi har dannet ud fra (9,  15) - altså (24  39) og (14  23) - så ser vi at det første tal i det første er én større end det andet tal i det andet, og at det andet tal i det første er to større end summen af tallene i det andet - 24 er jo..." Hippias fik ikke talt færdig, stemningen i salen var nu nærmest ekstatisk: "Han er jo et geni!" Da der var ro, fortsatte Hippias: "Man kan, som jeg lige har vist, danne spillets række uden at gøre brug at "Den gyldne Allé", men jeg var jo kommet til spillets række ved at gøre brug af "Den gyldne Allé", og det må betyde at man kan danne "Den gyldne Allé" ved hjælp af spillets række - man kan aflæse hvor mange korte fliser der skal bruges når man har et givet antal lange fliser - thi hvis der for eksempel er 10 lange fliser, da vil det første tal i det 10-ende talpar, altså 16, angive hvor mange korte fliser der skal bruges". Der var opstået en udefinerbar stemning blandt disciplene, nogle syntes udelt begejstrede, men andre viste tegn på forfærdelse (det var dog først senere at dette rigtigt gik op for Hippias). Hippias tilføjede: "Rækkerne af korte og lange fliser vil naturligvis aldrig kunne nå helt præcis lige langt." "Ikke lige langt", spurgte Pythagoras forundret. Det var vist kun få af disciplene som hørte Hippias' tilføjelse og disse lo overbærende.

"Min unge ven", sagde Pythagoras, "du imponerer os med dine gode kundskaber og din skarpsindighed, men du er jo så ung og du kan endnu ikke vide alt - men ser du, ethvert voksent og lærd menneske vil vide, at de to rækker fliser altid vil kunne nå præcis lige langt, når blot man tager det rette antal fliser - og dette vil gælde uanset om der er tale om fliser eller andre længdestykker eller om der er tale om to geometriske liniestykker - thi vi vil altid kunne finde et lille liniestykke således at det går et helt antal gange op i begge liniestykker - vi kan tage et lillebitte liniestykke og så gøre det mindre og mindre, og justere det i forhold til de to liniestykker, lige indtil det passer - hvis så det korte liniestykke er det lillebitte liniestykke taget 144 gange og det lange liniestykke er det lillebitte liniestykke taget 233 gange, så vil det jo gælde at hvis vi tager det korte liniestykke 233 gange og det lange liniestykke 144 gange, så vil vi være nået præcis lige langt." Disciplene lo fornøjeligt over deres mesters udførlige redegørelse, men drengen havde fortjent et ordentligt svar.

Hippias var ildrød i hovedet og han spurgte helt forvirret: "Jamen hvornår vil fliserækkerne da mødes - jeg mener, hvor mange korte og lange fliser skal der til førend de to fliserækker er præcis lige lange?" Der blev en pludselig stilhed i forsamlingen, da sagde Pythagoras: "Min unge ven - hele verden er opbygget af talforhold, og ingen har så stor viden om disse talforhold som vi her på dette sted, men du kan ikke forvente af os at vi på stående fod kan besvare alle spørgsmål som angår talforhold - men vi kan altid finde et svar hvis vi studerer sagen omhyggeligt, det er jo netop det der er vort vigtigste virke - mine dygtige og trofaste disciple: lad os vise vor unge ven at forholdet mellem længderne af de gyldne fliser - som jo er omhyggeligt afstemt efter længden af en side og en diagonal i den regulære femkant - at dette forhold lader sig udtrykke ved et smukt talforhold - vi sender nu drengen her tilbage til sin celle og straks efter vores aftensmåltid mødes vi i denne sal - jeg vil da have tænkt over vilkårene for hans fortsatte ophold hos os og jeg forventer jeres svar på det talproblem vi her er blevet beriget med."


Kapitel 7

I løbet af dagen kom flere af disciplene ind til ham i cellen. De måtte ikke tale om deres ordens hemmeligheder, men de lyttede interesserede til hans beretning om sine oplevelser på de mange rejser til fjerne lande, og han måtte ud med alle detaljer om Delfi og templet og oraklet. Han havde i hemmelighed gået og øvet sig på at få Pythias fortrukkede ansigt og dyriske lyde frem, og her gjorde hans kunststykke stor lykke - kvinderne gyste og mændene grinte.

Efter at han havde fået sin aftensmad fik han dog besked om at det aftalte møde er udsat indtil videre.

Omkring midnat, da han forlængst var faldet i søvn, blev han vækket. Hans hjerte stod næsten stille da han så at det var selveste Pythagoras som stod bøjet over ham. Det var tydeligt at Pythagoras forsøgte at skjule at han var stærkt oprevet. Han gik lige til sagen: "Min unge ven - du nævnte at det er klart at de to fliserækker aldrig vil kunne mødes - hvordan er det klart?" "Øh - joh altså", sagde Hippias fortumlet, "antag at der for eksempel skal 34 korte fliser til at give 21 lange fliser helt præcis - da vil det jo være sådan at når man går 21 trin frem i rækken af talpar, da skal det første tal i et talpar forøges med 34." At dette er rigtigt kunne den skrapsindige Pythagoras straks se. "Det første tal i det talpar som står på plads nummer 34 + 21 = 55, vil da være lig med det andet tal i det talpar som står på plads nummer 34 - og så har vi fundet et tal som forekommer to gange i rækken, men det strider jo imod den måde som jeg har vist at rækken kan dannes på uden at man gør brug af "Den gyldne Allé"."

Dette argument kunne Pythagoras ikke afvise - han forlod cellen uden et ord.


Kapitel 8

Hippias sov ikke mere den nat. Det gik nu op for ham at han havde rokket ved det dogme som var fundamentet under pythagoræernes verdensbillede, nemlig at alle størrelsesforhold kan udtrykkes i talforhold. Disse talforhold skal helst være enkle og harmoniske, men nu har det vist sig, at forholdet mellem en diagonal og en side i den regulære femkant - som jo er den mest guddommelige af alle geometriske figurer - at dette forhold slet ikke kan udtrykkes i et tal overhovedet. Denne erkendelse måtte for dem være intet mindre end en katastrofe.

Hippias anede ikke sit levende råd. Ville også de nu betragte ham som værende besat af en dæmon? Ville de dræbe ham? Ingen vidste at han var her. De ville i hvert fald aldrig kunne lukke ham ud. Hvis folk udenfor fik noget at vide om dette, ville al den respekt som man trods alt nærede for pythagoræerne blive forvandlet til hån og latter.

Han var nu mere skrækslagen end han havde været den foregående nat. Nu var han for alvor i livsfare. Han gik fortvivlet op og ned af gulvet i cellen og hans lille hjerne arbejdede som en rasende. Men nej - han kom ingen vegne. Ville guderne mon ikke hjælpe ham i denne nød? Den mest nærliggende mulighed var visdommens gudinde Athene.

Han bad:

Pallas Athene

- du smukkeste af alle gudinder

- du viseste af alle guder

- du som kender alle universets hemmeligheder

- du som utallige gange frelste den dumdristige Odysseus

- hjælp mig

- vis at du elsker den sandfærdige kundskab.

Straks efter hans bøn trådte en skikkelse frem foran ham - først tåget og så mere og mere klar - en kvinde som nåede helt op til loftet - hun havde lanse og skjold, men ingen hjelm. Athene talte:

Hippias

- når mennesker længe har haft en fejlagtig tro, så vil de altid sætte sig imod at den forandres, og de vil tit begå uret imod den som viser dem fejlen

- men når de er blevet ført til sandheden og har set dennes klarhed og harmoni, da vil de takke den som viste dem vejen

- lad os holde dem lidt hen med snak

- sig til dem: "Jeg har vist Jer to rækker af talpar - én dannet geometrisk og én dannet aritmetisk - de er endeløse og ens til at begynde med, men de kan jo blive forskellige når man går langt ud i dem."

Herefter forsvandt Athene. Hippias følte en uendelig lettelse, Athene havde jo ret: hans bevis er ugyldigt.

Han tilkaldte straks den vagthavende discipel. Til ham sagde han: "Jeg havde en sælsom drøm - jeg har vist Jer to måder at danne rækken af talpar på - én ved brug af "Den gyldne Allé" og én uden brug af "Den gyldne Allé" - talrækkerne er tilsyneladende ens, men jeg drømte at de blev forskellige hvis man går tilstrækkelig langt ud i dem - jeg har jo heller ikke bevist at de er ens - måske kan Jeres mester hjælpe med at besvare dette spørgsmål." Disciplen viderebragte straks denne oplysning til Pythagoras som gik rundt og rundt i klostergårdens søjlegang.

Efter denne brist i hans bevis for at der findes størrelsesforhold som ikke kan udtrykkes i talforhold, var det dilemma han havde sat pythagoræerne i blevet noget reduceret. Hvis forholdet mellem diagonalen og siden i den regulære femkant kan udtrykkes i tal, så vil de kunne finde disse tal. Hvis ikke, så vil deres undersøgelser føre dem til selv at indse en mangel i deres lære. Men uanset udfaldet af dette, var pythagoræerne bragt i en farlig situation - hvis årsag nok allerede er klar for læseren.


Kapitel 9

Det lykkedes Hippias at få sovet lidt om formiddagen. Da han vågnede ved middagstid meddelte den unge kvinde ham, at Pythagoras ville overveje vilkårene for hans ophold i klosteret i løbet af dagen og at han vil få besked når afgørelsen foreligger.

Først sent på aftenen modtog han besked af en højtstående discipel. Denne fortalte ham, at man følte et stort ansvar for hans liv og at man derfor ikke kunne lade ham forlade klosteret foreløbig. Man foreslog ham, at han - trods sin unge alder - blev discipel af Pythagoras ganske på linie med de andre disciple. Han ville da blive indviet i alle deres hemmeligheder og han ville få en god undervisning. Man havde sendt bud til hans slægt om hvor han befinder sig, og overfor disse påpeget den fare han vil være i i sit hjem - de kan besøge ham når som helst de ønsker det.

Hippias var begejstret for deres beslutning. Her var han i sikkerhed, her kunne han dyrke sin store interesse for tal, og skulle han engang ønske at komme bort herfra, så kunne han nok bare flygte.

I den følgende tid blev Hippias indviet i pythagoræernes liv og vist rundt i hele klosterområdet. Det var et storslået og fremmedartet syn der mødte ham. Foruden de meget simple celler hvor disciplene sov, var der et utal af værelser og sale hvor man næsten intet så af det man normalt ser i rum hvor mennesker færdes, men til gengæld de mest besynderlige instrumenter og opstillinger. Der var laboratorier hvor man udførte alle tænkelige fysiske forsøg. Man eksperimenterede med musikinstrumenter og mekaniske indretninger, man udforskede stjernehimmelen og man foretog udmålinger af alt lige fra bjergkrystaller og edderkroppespind til sneglehuse og menneskeskeletter. Og der var nøgne sale hvor der på væggene var optegnet sære geometriske figurer og indmuret sten som dannede særlige mønstre. I disse sale sad pythagoræerne hver dag i flere timer og betragtede figurerne.

Mest imponerende var den store pentagonsal. Denne var et kæmpemæssigt femkantet rum hvor der i loftet, som var fuldkomment plant, var aftegnet et sindrigt system af pentagrammer - først et stort der nåede helt ud til ydervæggene - inde i dette et mindre, og inde i dette et mindre og så videre - det var umuligt at tælle hvor mange, for tilsyneladende endte de aldrig. Præcis i midten af hver af væggene var der et stort cirkelformet vindue. I denne sal skulle disciplene hver dag - i tidsrummet fra et kvarter før middag til et kvarter efter middag - ligge på gulvet og betragte det indviklede system af pentagrammer - de skulle forundres over dets guddommelige harmoni.

Livet i klosteret var lagt meget nøje tilrette. Der var et utal af ritualer der skulle følges og alt foregik på præcise tidspunkter. Undervisningen som Hippias fik var krævende, men den var alsidig og den interesserede ham.


Kapital 10

Inden Hippias første gang skulle meditere i pentagonsalen fortalte den unge kvinde ham, at de korte og lange fliser i "Den gyldne Allé" er præcis lige så lange som siden og diagonalen i det femte pentagram.

Da han nu lå dér, og oplevede skaberens ufattelige storhed, fik han en følelse af at han havde ret da han havde hævdet, at uanset hvormange korte og lange fliser man lægger i to rækker, da vil disse to rækker aldrig nogensinde nå præcis lige langt. Denne følelse fik han fordi følgen af pentagrammer aldrig synes at ende. Han kunne dog ikke helt gennemskue sammenhængen mellem de to fænomener. Og når han nu tænkte nærmere over tingene, så kunne han slet ikke forstå hvorfor pythagoræerne ikke forlængst var kommet til klarhed over dette tal som jo måtte stå dem allernærmest. Mon ikke sandheden er, at Pythagoras udmærket véd at forholdet mellem diagonalen og siden i pentagrammet kun kan tilnærmes med tal? Da Hippias havde sagt dette med at de to fliserækker aldrig vil kunne nå præcis lige langt, var Pythagoras' forundring da ikke forstilt? Kunne det være noget disciplene ikke måtte vide? Noget der endnu ikke var helt klart, og som derfor måtte vente med at blive lagt frem? Og nu var der kommet noget frem som virkelig måtte sætte grå hår i hovedet på Pythagoras, og det var måske det der var grunden til at han var så oprørt: man kan kun komme til forholdet mellem diagonalen og siden i pentagrammet igennem en endeløs række af tilnærmelser, og en sådan række af tilnærmelser har man netop i spillets række. Spillets række er uløseligt knyttet til pentagrammet! Pythagoras har sikkert for længe siden begyndt sin søgen efter en endeløs række af talforhold som vil nærme sig mere og mere til forholdet mellem diagonalen og siden i et pentagram, og han har sikkert fundet en sådan række. Men da tallene jo bliver større og større jo længere man kommer ud i rækken, så kan man sige at de bliver grimmere og grimmere. Så hvis der virkelig er en skønhed her - og det er der jo nok - så må den ligge i måden hvorpå man kan regne tallene ud. Og Pythagoras' problem er måske, at den måde han har fundet er utilfredsstillende. Og nu har der vist sig en ny måde - spillets række - men den er aldeles bandlyst. Pythagoras må finde en helt anderledes måde, og indtil han har fundet den, må han overfor disciplene lade som om at der ikke er noget problem.

Hippias forsøgte nu at finde en sådan smuk måde - og den må nødvendigvis afvige stærkt fra spillets række. Han gik tilværks på samme måde som Pythagoras nok har gjort. Ved et simpelt geometrisk ræsonnement kunne Hippias se, at i den regulære femkant er kvadratet på diagonalen lig med kvadratet på siden plus rektanglet dannet af diagonalen og siden (se Iagtagelse 7). Og dette er en andengrads-ligning. Hippias havde af disciplene lært at løse enhver sådan ligning, og han kom frem til, at hvis siden er én enhed, så får man diagonalen ved at danne den retvinklede trekant med kateterne 1 og 2 enheder, og derefter forlænge hypotenusen med én enhed og halvere dette liniestykke. Det gælder om at finde en endeløs række af brøker som vil nærme sig ubegrænset til forholdet mellem dette liniestykke og enheden. Ifølge Pythagoras' sætning er kvadratet på hypotenusen i den retvinklede trekant 5 enhedskvadrater. Han skal altså først finde en brøk som ganget med sig selv er nær 5, og til denne skal han addere 1 og dividere resultatet med 2. Hvordan finder man en brøk som ganget med sig selv er så nær ved 5 som muligt? Jo, hvis brøken R er en tilnærmelse, så vil brøken 5/R også være en tilnærmelse, den er måske ikke bedre, men hvis man tager middelværdien af de to tilnærmelser, så vil denne brøk nok være en bedre tilnærmelse. Hippias lod den første tilnærmelse (til √5) være 2, og udførte proceduren to gange, så får man brøken 161/72. Til denne skal man lægge 1 og dividere med 2, så får man brøken 233/144. Det forekom ham at Pythagoras havde omtalt tallene 233 og 144. Med passer og lineal konstruerede Hippias en stor femkant hvor siden var 14 + 2/5 enheder, og diagonalen var virkelig 23 + 3/10 enheder. Det er altså dette Pythagoras har gjort. Metoden er muligvis effektiv, men den kan ikke kaldes smuk: man skal gøre for mange og forskelligartede ting. Der må findes en metode til at danne en endeløs række af tal som kan bruges til at danne talforhold som vil nærme sig ubegrænset til forholdet mellem diagonalen og siden i pentagrammet, og som er så enkel at det er helt utroligt.

Pythagoras og hans to nærmeststående disciple gik i den følgende tid påfaldende mange timer om dagen - og tit også om natten - i dybe tanker rundt og rundt i søjlegangen om klosterets gård - og de aflagde pentagonsalen hyppige besøg. Når de mødtes havde de af og til korte tankeudvekslinger.

Da dette havde stået på i en uges tid, så Hippias dog en bedring i deres humør. Og et par dage senere var det klart for alle, at de havde gjort en stor opdagelse. Der gik dog endnu et par dage med dyb spekulation.


Kapitel 11

Men så indkaldte Pythagoras alle sine disciple til et meget vigtigt møde i pentagonsalen.

"Brødre og søstre", sagde han, "mine kære og trofaste disciple - det er menneskets største lykke at gøre nye opdagelser, og en indsigt i den orden og harmoni som hersker i universet er en forudsætning for at sjælen kan komme i berøring med det guddommelige kosmos - intet sted i verden er der blevet gjort så mange nye opdagelser som her hos os - men vi har ikke blot gjort nye opdagelser, vi har også forkastet gamle og fejlagtige opfattelser og erstattet dem med nye og sande - dette har nogle gange haft til følge, at vi har måttet foretage korrektioner i vores lære, men når disse var foretaget, har resultatet altid været en lære af endnu større skønhed og fuldkommenhed.

I den seneste tid har jeg og to af mine disciple gjort en opdagelse af allerstørste betydning - det er en ting som jeg har kendt til i længere tid, og jeg har ikke været helt ene om mit kendskab - men da sagen er stærkt kontroversiel, har vi ment at den måtte forties selv overfor jer, mine disciple - der er tale om et sagforhold som før eller siden vil blive kendt i den lærde verden, og herved vil en bredere del af befolkningen vil få kendskab til det, og dette medfører at der er fare for at sagen vil blive misforstået - vi må omhyggeligt vælge vores ord - ikke mindst i denne svære tid - men denne sendrægtighed har - har vi nu måttet se i øjnene - fremkaldt gudernes irritation - ja mine disciple, guderne har spillet os et puds." Der var uro og mumlen i salen, og efter at have betragtet sine disciple i en god tid, gik Pythagoras hen til tavlen og skrev denne talrække

1   1   2   3   5   8   13   21   34

Hippias genkendte den straks - han har flere gange siddet og filosoferet over denne særlige række. Han vidste - og han fortalte pythagoræerne det ved det første møde - at er (a  b) et talpar i spillets række, da er (a + b  (a + b) + b) også et talpar i spillets række, og man kan fortsætte så man får en endeløs række af talpar, og når man begynder med det allerførste talpar (1  2), så får man netop de tal som Pythagoras har skrevet op.

I salen kom flere og flere udbrud af overraskelse, og der gik ikke mange sekunder førend alle i denne talkyndige forsamling havde indset hvordan rækken er dannet. Pythagoras talte: "Mine kære brødre og søstre: igennem vor nye unge discipel, som jeg med stor glæde hører trives her iblandt os, har guderne skænket os denne talrække som er den mest guddommelige af alle talrækker og som i allerhøjeste grad vil komme til at berige vor lære." Hippias var helt svimmel. "Igennem dette unge menneske har guderne bragt os til klarhed over et spørgsmål som måtte besvares inden jeg kunne røbe den omstændighed som jeg længe har kendt til - hvad er det for en omstændighed og hvad skal vi bruge denne talrække til, tænker I - det skal I få at vide - tag to på hinanden følgende tal i talrækken - for eksempel 8 og 13 - så vil det gælde, at en side og en diagonal i et af de pentagrammer som I ser i loftet næsten vil forholde sig til hinanden som 8 til 13 - tag to på hinanden følgende tal længere ud i talrækken - for eksempel 21 og 34 - så vil forholdet mellem disse to tal være endnu nærmere ved forholdet mellem siden og diagonalen i pentagrammet." "Næsten" og "nærmere" blev der mumlet rundt omkring. "Ja mine disciple, vor unge ven stillede os et spørgsmål, og nu har I fået svaret på det - jeg har for længe siden stillet mig selv det samme spørgsmål, men først nu er jeg kommet til kundskab om det helt rigtige svar."

Der var en besynderlig stemning i salen, fra flere steder hørte man ordet "guldmøntspillet" og ord som "skandale" og "profanation".

"Nej mine disciple, disse tal har intet med guldmøntspillet at gøre - guderne har som sagt spillet os et puds, men det må vi tage som en lærestreg - det er igennem talforholdene i vinderstrategien for guldmøntspillet at jeg er kommet til klarhed over det som jeg måtte komme til klarhed over - talforholdene i vinderstrategien for guldmøntspillet er fordærvede, ja, men lad os nu se helt nøgternt på tingene - det vanhellige ved denne række af talpar er ikke de enkelte talpar, det vanhellige er helheden - eller sagt med andre ord: det vanhellige er noget som finder sted i takt med at man konstruerer rækken - er det måske noget vanhelligt ved det første talpar (1  2)? - eller ved de to første (1  2) og (3  5)? - nej, der er ikke noget vanhelligt ved noget talpar i denne række - det vanhellige kommer når man danner rækken med henblik på at bruge den til at vinde i spillet - det blev meget hurtigt klart for mig at talforholdene i vinderstrategien for guldmøntspillet har en egenskab som også vores smukke talrække har, men det kompromiterer på ingen måde vores smukke talrække - egenskaben fik mig til at foretage en nærmere undersøgelse af spillets række - vor unge ven fortalte os, at når man har et talpar i denne række, så kan man ud fra dette danne en endeløs række af talpar - og talforholdene i enhver sådan række kan bruges til at danne ubegrænsede tilnærmelser til det gyldne forhold, men der er sandelig forskel på måden det foregår på - enhver af disse rækker af talpar har en ganske bestemt begyndelse, og jo længere ude i spillets række denne begyndelse ligger, jo mere uregelmæssig er den måde hvorpå talparrene danner tilnærmelser til det gyldne forhold - og omvendt, jo tidligere begyndelsen befinder sig i spillets række, jo mere regelmæssighed er der at finde i tilnærmelserne - og begynder vi med det allerførste talpar (1  2), er der den størst tænkelige regelmæssighed, og den række man kommer frem til, er netop den smukke række som I kan se på tavlen, og den har aldeles intet med dette spil at gøre - ja, mine kære disciple, det er ikke morsomt at måtte tilstå at det er igennem guldmøntspillets talrække at jeg er nået frem til den mest guddommelige talrække som findes - det har mishaget guderne at jeg længe har fortiet en indsigt som jeg har haft, men jeg har som sagt haft en vægtig grund til det - jeg havde opdaget, at noget som skal være der ikke er der - det har aldrig været der - og jeg måtte spørge mig selv: findes det virkelig ikke, eller findes det i en skikkelse som jeg ikke har lært at se? - jeg var sikker på at det måtte være det sidste som er tilfældet - kort fortalt går sagen ud på at der er tal som ikke er tal - og det mest guddommelige af alle tal er blandt disse tal - men så må det som træder i stedet for dette ikke-tal, også klart være af guddommelig natur, og det må lyse og åbenbare sig for den hvis sanser ikke er sløvede - det smukkeste og mest guddommelige talforhold er det gyldne forhold, men hvori består det? - det eksisterer ikke i sædvanlig forstand! - det eksisterer i en anden forstand, men så er det ikke entydigt bestemt - det eksisterer i skikkelse af en endeløs talrække, men en sådan kan vælges på ubegrænset mange måder - derfor måtte jeg finde den smukkeste endeløse talrække som opfylder den betingelse at danne ubegrænsede tilnærmelser til det gyldne forhold, og denne talrække er helt entydigt bestemt - vi kan ikke benægte at den smukke række så at sige kan "fiskes ud" af spillets række, men det skal slet ikke berøre os, thi uanset hvor grimt noget er, så kan man jo altid finde noget smukt hvis blot man skygger for det grimme - vor nye indsigt er på ingen måde i strid med vor lære - tværtimod - det gyldne forhold kan ikke udtrykkes på sædvanligvis ved to tal, det kan kun udtrykkes ved en endeløs række af tal, og vi har fundet en sådan endeløs række som er smukkest mulig - den varierer hele tiden og på en måde som behager sindet - men ethvert behag ved tallene, véd vi, forudsætter viden, derfor skal vi i den kommende tid studere denne talrække omhyggeligt - jeg har kendskab til flere ting, og én af dem skal I informeres om allerede nu - der er en meget enkel regel for hvor nær en tilnærmelse er ved det gyldne forhold - jeg kan illustrere reglen ved de gyldne fliser - de gyldne fliser er afstemt efter det gyldne forhold, og vor unge ven spurgte hvornår de mødes - de mødes som sagt slet ikke, så spørgsmålet må i stedet blive: hvormeget afviger de fra hinanden når de er tættest på at mødes? - det kan vi direkte aflæse af talrækken på tavlen - hvis vi tager to på hinanden følgende tal i rækken - for eksempel 21 og 34 - så gælder det, at hvis vi lægger 21 lange fliser i forlængelse af hinanden og 34 korte fliser i forlængelse af hinanden, da vil afvigelsen af disse længder være mindre end en 34-te del af en kort flise - og vi kan få afvigelsen til at blive lige så lille som det skal være, vi skal blot tage to på hinanden følgende tal meget langt ude i rækken, og så tage dette antal lange og korte fliser."

Der var dyb tavshed i salen. Nogle af disciplene vidste ikke hvad de skulle tro. Er manden blevet gal? Hvad er det for noget med tal og ikke-tal og eksisterer og ikke eksisterer? Og stod han ikke den dag lige foran af os allesammen og spillede dette djævelske spil sammen med denne knægt? Og nu står han og siger lige ud af posen at han takket være knægten og hans forbandede spil er blevet ledt frem til sit livs største opdagelse. Har denne dreng fordrejet hovedet på ham? Hvordan kan han tage ordet "guldmøntspillet" i sin mund? Og hvad skal det til med at han ikke véd hvornår fliserne i "Den gyldne Allé" mødes? Det véd han da udmærket: de mødes lige foran hans port - og de mødes lige så regelret som de begyndte. Hans ordre til stenhuggeren var 18 lange fliser og 29 korte. Og dette giver at en lang flise er 1/2 + 1/9 længere end en kort, og dette tal har han endda selv nævnt engang. Nu står han og siger noget andet. Men så må han da tage konsekvensen og få "Den gyldne Allé" lavet om, han kan ikke udsætte os for at skulle se en usandhed hver gang vi træder over tærsklen til vort kloster. Antallet af lange og korte fliser skal optræde i den række han taler om, og det gør tallene 18 og 29 jo langtfra - ja det skulle ikke undre én at de optræder i spillets række, så er han da rent på spanden. Og hvordan vil han få ændret "Den gyldne Allé" uden at hele egnen taler om det?

Pythagoras fortsatte: "Vor nye erkendelse går generelt ud på at der gives eksempler på to geometriske liniestykker således at intet liniestykke kan være indeholdt et helt antal gange i dem begge - hvis vi altså udregner længden af det ene liniestykke i forhold til det andet ved antanairesis ["vekselvis borttagning", se Appendiks 1], da kan det hænde at vi aldrig nogensinde vil blive færdige - proceduren kan fortsættes i det evige - i tilfældet diagonalen og siden i den regulære femkant er de tal vi får når vi anvender antanairesis hele tiden 1 - jeg har vidst det længe og det må nødvendigvis være sådan, fordi dette forhold er det mest guddommelige af alle størrelsesforhold - men jeg har indtil nu ikke vidst hvad dette manglende tal skal erstattes med - hvad vi skal i gang med nu, er at finde de størrelsesforhold som giver de næstsimpleste tal når man anvender antanairesis - og vi skal finde hvilke smukkest tænkelige endeløse talrækker som de svarer til - jeg håber at vor unge discipel vil deltage aktivt i dette arbejde." Hippias nikkede ivrigt. "Vi kan ikke forvente at det uoplyste folk uden for disse mure vil kunne fatte denne nye indsigt - der er grund til at frygte at denne forkastelse af en vedtaget lære vil forstærke den hetz der har været ført imod os fra mange sider - man vil mene at den strider imod vor lære om at "Alt er Tal" - jeg må derfor indtil videre på det strengeste forbyde mine disciple enhver omtale af vor nye erkendelse til noget menneske udenfor denne kreds - ganske som jeg tidligere har forbudt omtale af nye indsigter - og det må selvfølgelig under ingen omstændigheder komme frem at det er tallene i guldmøntspillet som har ledt os på sporet - jeg har klumret i det, og det har fremkaldt gudernes vrede, og vi må nu sætte alt ind på at gøre det som guderne forventer af os: vi må studere fænomenet meget nøje."

Den nye lære var en svær kamel at sluge for nogle af disciplene, men: "Han har jo selv sagt det." Deres novise Hippias, som var skyld i alt dette postyr, blev dog ikke destomindre optaget i det broder- og søsterlige fællesskab.


Kapitel l2

Straks efter dette blev "Den gyldne Allé" lavet helt om. Når folk spurgte til dette arbejde, oplyste pythagoræerne at fliserne skal skiftes ud fordi deres mester har hørt tale om en granitsort som indeholder guld og som findes på et meget utilgængeligt sted i Akarnanien. Og i den følgende tid rykkede Hippias' plads i hierarkiet nærmere og nærmere mod den store mester Pythagoras. Igennem Hippias gjorde Pythagoras flere skelsættende opdagelser som styrkede pythagoræernes følelse af at være et af guderne udvalgt folk.

Pythagoras og Hippias udregnede et utal af tal som ikke er rigtige tal. Således tallet for forholdet mellem diagonalen og siden i et kvadrat - det "tal" man kunne kalde "kvadratroden af 2". Vi skriver tallet som Hippias selv skrev det:

α,(β,(β,(β,...)')')'

α betyder tallet 1, β betyder tallet 2, x,y betyder x + y og x' betyder 1/x.

I denne notation bliver fremstillingen af det smukkeste af alle tal:

α,(α,(α,(α,...)')')'

Men i modsætning til dette tal hvis tilnærmelser kan dannes ud fra en enkelt endeløs talrække, nemlig:

1   1   2   3   5   8   13   21   34

så behøver forholdet mellem diagonalen og siden i et kvadrat en endeløs række af talpar:

(1  1)   (2  3)   (5  7)   (12  17)  ...

Et nyt talpar fås ved at gange det sidste med 2 og addere det foregående til. Hundrede år senere omtaler filosoffen Platon denne række af talpar, han kalder det første tal i et talpar for "siden" og det andet tal for "den rationale diagonal". Når siden i et kvadrat er 12, er den rationale diagonal 17. Han danner dog rækken på en anden måde, idet han kan finde et nyt talpar alene ud fra det sidste (se Efterskrift).

Og Hippias og Pythagoras viste, at hvis man skærer tolv femkanter ud af tynde plader, så vil de kunne sættes sammen til et kugleformet legeme:

- og forholdet mellem diameteren af kuglen og en diagonal i femkanterne, er "kvadratroden af 3" som kan skrives sådan:

α,(α,(β,(α,(β,...)')')')'

For dette tal danner denne række af talpar tilnærmelser:

(1  1)   (1  2)   (3  5)   (4  7)   (11  19)  ...

Her får man et nyt talpar ved skiftevis at addere det sidste og 2 gange det sidste talpar til det foregående.

Når man har et endeløst regneudtryk af denne art - altså dannet ved antanairesis - får man et nyt talpar ved at gange det sidste med tallet i udtrykket og addere det foregående talpar til (Appendiks 1).

Hippias' mærkeligste resultat gik ud på at hvis man fortsætter denne figur i det uendelige:

da vil den ikke vokse ubegrænset i udstrækning. Og det vil gælde, at forholdet mellem "radius" af den uendelige figur og radius af den store femkant er det samme som tre gange forholdet mellem siden og diagonalen i en femkant. Derimod vil omkredsen af figuren vokse ubegrænset når man lægger nye "lag" på. Udadtil vil figuren ikke blive meget større end den viste, men indadtil vil den sno sig mere og mere, og man kan let udregne hvor mange gange længere omkredsen bliver for hvert nyt lag der kommer på. Det er dog svært at gange så mange tal, men Hippias skønnede, at når der er hundrede lag, så er omkredsen af figuren større end Jordens omkreds.

Hippias og Pythagoras kunne dog ikke lade være med at undersøge spillets række - et studium som blev holdt skjult for diciplene - der var noget naturstridigt ved den. Pythagoras havde til sin store tilfredshed bemærket, at hans egen række af tal som nærmer sig mere og mere til det gyldne forhold, gør dette på den smukkest mulige måde, idet talforholdene nærmer sig jævnt og skiftevis er større og mindre end det gyldne forhold, hvorimod talforholdene fra spillets række nærmer sig på en skæv og uregelmæssig måde: de er altid større end det gyldne forhold, men de falder ikke jævnt, de fjerner sig af og til, og det er umuligt at forudse. Men så en dag kom et uhyggeligt paradoks frem:

Enhver véd at når man har en endeløs række af tal, så er det muligt at dele den op i flere rækker som også er endeløse. For eksempel kan rækken af de naturlige tal deles op i to dele: de lige tal og de ulige tal - eller i tre dele: de ulige tal og de lige tal som er delelige med 4 og de lige tal som ikke er delelige med 4. Man kan opdele en endeløs række af tal i lige så mange dele det skal være som hver er endeløs. Men den tanke at man kan opdele en endeløs række af tal i uendelig mange dele som hver er endeløs, er absurd. Men spillets række trodser fornuftens love. Hippias antydede fænomenet overfor Pythagoras - Pythagoras ville kigge på sagen. Men herefter hørte man ikke fra ham i flere dage - han var syg oplystes det. Men så tilkaldte han Hippias, og denne gang lagde han ikke skjul på at han var stærkt oprevet. Hippias' formodning er en ugendrivelig sandhed. Spillets række har denne egenskab:

Hippias havde vist pythagoræerne at man ud fra et talpar i spillets række kan danne et nyt talpar, og at dette kan fortsættes i det uendelige. Pythagoras talte om at enhver sådan række har en "ganske bestemt begyndelse", men han kom ikke nærmere ind på det. Det viser sig at et sådant begyndende talpar er karakteriseret ved at dets nummer er et første tal i et talpar. For eksempel er 4 det første tal i (4, 7), og talpar nummer 4 er (6  10), og ud fra dette kan vi danne rækken:

(6  10)     (16  26)     (42  68)     (110  178) ...

nr. 4        nr. 10        nr. 26        nr. 68

Men hvad Hippias og Pythagoras på dette tidspunkt ikke havde set, er at to sådanne rækker aldrig mødes og at ethvert talpar er i en af dem. Spillets række af talpar lader sig altså dele op i uendelig mange dele som hver er endeløs. Pythagoras og Hippias skrev flere hundrede talpar op, så de dannede lodrette kolonner der kunne fortsættes nedad og imod højre i det uendelige, og der var ingen tvivl om at ethvert talpar i spillets række er i én og kun én af kolonnerne. Pythagoras besluttede at der ikke skal tales om dette til diciplene - disse havde forlængst glemt spillets række, og fra nu af skal ingen mere beskæftige sig med den.

Udenfor klosteret bevægede livet sig imidlertid i en helt anden retning. Efter at denne dreng var sporløst forsvundet, var der atter kommet gang i spilleriet - og overalt hvor spillelidenskab stortrives, trives også ødselhed, drikkeri, voldshandlinger, hor og ugudelighed.

Denne udvikling bekymrede de fromme pythagoræere. Ikke mindst fordi den var farlig for dem, og af den grund var de meget forsigtige med at blande sig i forholdene.

Men de havde jo unægteligt et effektivt redskab i hænde til at få sat en stopper for den ulykkelige udvikling, men turde de bruge det?


Sidste Kapitel

Til sidst følte pythagoræerne dog at de ikke længere havde noget valg. Livet i Kroton var nu værre end livet i Sybaris. De nedfældede derfor talrækken og dens brug på et stort antal stykker papyrus og lod dem - i nattens mulm og mørke - opklæbe centrale steder i byen.

Hermed var tusinder af mennesker gjort arbejdsløse. Ikke bare de mange professionelle spillere, men også alle de der indirekte levede af spillet.

Men pythagoræerne slap ikke levende fra dette skridt.

En talstærk bande med tunge rambukke trængte en tidlig morgen ind i klosteret, dræbte flere af disciplene og stak klosteret i brand. Det lykkedes dog for Hippias at få hejset sin gamle mester og sig selv ned i klosterets brønd uden at nogen opdagede det. Dernede sad de i to døgn og hørte ilden knitre.

Så skrævede de grædende henover de forkullede rester af musikinstrumenter og meddisciple og søgte mod Hippias' barndomshjem. Her blev de skjult i et par trækasser og båret til faderens skib. De blev sejlet til byen Metapontion. Her grundlagde de en ny pythagoræerorden, og de hørte til deres store glæde at også andre disciple havde haft held med at flygte og havde grundlagt pythagoræerordener i andre byer. Pythagoras døde nogle år senere og Hippias blev den nye ordens overhoved.

Denne spredning af de oprindelige pythagoræere førte faktisk til en udbredelse af deres lære og virke. De fik en betydelig indflydelse på den følgende tids tænkning, ikke mindst på Platon.

Men hvorfra vidste man at det var pythagoræerne som stod bag spillets dødsdom? Det får vi aldrig at vide. Men denne beretning om pythagoræernes sidste dage i Kroton peger på, at Pythagoras først for sent fik pålagt sine disciple tavshed om at spillets hemmelighed befandt sig indenfor klosterets mure.




Efterskrift

I dag véd enhver at der er tal som hverken er hele tal eller brøker - det vi kalder de rationale tal - nemlig de irrationale tal, de tal hvis cifferfremstilling er uendelig og ikke-periodisk. De irrationale tal har naturligvis ikke altid været der - faktisk blot nogle få hundrede år. Men kendskabet til "utilstrækkeligheden af tallene" er 2500 år gammel, og første gang der blev gjort klart rede for denne utilstrækkelighed var i det antikke Grækenland - og det er ikke nogen tilfældighed.

Det 7. århundrede f.Kr. var i Grækenland en tid med fremgang i velstand og kultur. Og de følgende par århundreder var det antikke Grækenlands storhedstid. De begrænsede livsmuligheder i det egentlige Grækenland (som er et udpræget bjergland) tvang den voksende befolkning til at anlægge kolonier udenfor Grækenland, især i Syditalien og på Sicilien - man havde tidligere anlagt kolonier langs Lilleasiens vestkyst. Og håndværk, industri og handel fik en voksende betydning.

Det er dog ikke disse næringsdrivende vi har i tankerne når vi tænker på grækeren. Nej, det er denne tids frie mand som har fascineret eftertiden. Ikke fordi han var fri, men fordi han forstod den kunst at forvalte sin lediggang. En ny beskæftigelse havde nemlig vundet indpas: tænkning og diskuteren og studeren var blevet et mål i sig selv. Har man frihed og overskud, og lever man i et miljø hvor der er livlig samtale og hvor man er velforsynet med information fra den store verden, så vil man vide mere og så bliver man skeptisk overfor det overleverede. Fortidens myter der fremstillede verden som et resultat af guders virksomhed, begyndte grækeren at tvivle på. Og Homérs menneskelignende guder kom til at fremstå som latterlige: "Hvis heste kunne tegne, ville de afbilde guderne som heste." Men gudernes afskaffelse betød sandelig ikke det guddommeliges afskaffelse. Den guddommelige verden skulle tværtimod befries for det altfor menneskelige som den var blevet befængt med, for på den måde at komme højere tilvejrs. Den verden som mennesket umiddelbart har adgang til, er en ufuldkommen afspejling af en fuldkommen verden. I den fuldkomne verden er en cirkel en cirkel og ikke en ring af kridtpulver. Ved klar og logisk tænkning - og især den matematiske tænkning - og ved at hengive sig til den skønne kunst, bliver sjælen draget op imod det guddommelige. Og omvendt synker sjælen ned ved åndløs virksomhed. Den almindelige borger opfattede sig som et frit menneske, fordi han hverken var kvinde eller slave, men har var ikke fri, hans liv var ikke meget forskelligt fra slavens. Derfor så det sande frie menneske - aristokraten - på ham med afsky, og for ikke på nogen måde at være i berøring med manuelt arbejde, måtte aristokraten have slaver: "Mennesket kan ikke undvære redskaber, blandt disse er nogle levende, andre uden liv" (Aristoteles, ca. 350 f.Kr.). Enhver form for salg af sig selv var uværdigt for en fri mand: "Håndværkernes gerning er med rette ringeagtet, thi de som udøver den ødelægger deres legeme, og når legemet svækkes, da taber også sjælen sin kraft" (Xenofon, ca. 400 f.Kr.) - med tiden blev selv undervisning mod betaling fordømt.

Erkendelsen af tallenes utilstrækkelighed måtte komme meget tidligt i videnskabernes udvikling - nemlig på det tidspunkt hvor fortællingen i denne bog foregår - omkring 500 f.Kr. På den tid var det den almindelige opfattelse, at hvis man har to liniestykker, så kan længden af det ene i forhold til det andet angives ved tal. Man kunne således sige, at i et kvadrat forholder diagonalen sig til siden som 17 forholder sig til 12. Og man kunne sige, at 17/12 er en løsning til andengrads-ligningen x2 = 2. I ingen af tilfældene er tallet helt korrekt, men det var man måske ikke klar over, for ofte skrev man en brøk som en sum af stambrøker, og man vidst godt at tallet ikke var helt præcist - for eksempel kan 17/12 skrives 1 + 1/3 + 1/12, og dette er undtagelsesvist korrekt. Hvis man havde brug for en større nøjagtighed, så måtte man finde et tal som er bedre. Og hvis en eller anden har tænkt, at et tal som præcist løser problemet, nok ikke findes, så blev den sag ikke tillagt større betydning. Men det mest almindelige var vist, at man forestillede sig at der er et tal som løser problemet helt eksakt, og at man kan finde det hvis man undersøger sagen nøjere.

Man har givetvis både langt tidligere og i andre kulturer undret sig over at det er påfaldende svært at finde længden af diagonalen i et kvadrat, når man kender siden - såvel som at finde en eksakt løsning til ligningen x2 = 2. Og hvis man har kendt til en systematisk måde at udregne et sådant tal på, har man bemærket at udregningerne aldrig ender: Hvis x er en tilnærmelse til √2, så er 2/x også en tilnærmelse, og (x + 2/x)/2 er en bedre tilnærmelse til √2 end x - proceduren er en anvendelse af Newton iteration: en løsning til f(x) = 0 findes ved x → x - f(x)/f'(x), sættes f(x) = x2 - 2 fås x → (x + 2/x)/2. Startes med x = 1 og gøres dette 4 gange, fås en tilnærmelse som afviger mindre end 0,000002 fra √2 - denne tilnærmelse var kendt i Indien på Pythagoras' tid. På en lertavle fra Babylon fra omkring 1700 f.Kr. er et kvadrat med diagonaler og tallet med cifrene 1 24 51 10 i 60-talsystemet, hvilket i 10-talsystemet er 1,41421296... - lommeregneren viser 1,414213562. Hippias' uendelige kædebrøksudvikling (side ...) er fremkommet ved antanairesis ("vekselvis borttagning" - Appendiks 1) baseret på geometriske overvejelser. Kædebrøkskonvergenterne er 1, 3/2, 7/5, 17/12, ..., og skriver man disse tal op på samme måde som tallene i spillets række: (1  1), (2  3), (5  7), (12  17), ..., ser man at hvis (S  D) er et talpar i denne række, så er (S+D  2S+D) det næste talpar. Denne række af talpar taler Platon om i "Staten" (546c): i et kvadrat med siden S er "den rationale diagonal" tallet D. Disse systematiske måder at udregne √2 på viser ikke at √2 er irrational, da brøkerne jo kunne konvergere imod en brøk. Sådanne opdagelser om diagonalen i et kvadrat har sikkert været fremme flere gange, men er derefter gået tabt.

Størrelsesforholdet i denne fortælling, altså "det gyldne snit" (svarende til det irrationale tal (1 + √5)/2 = 1,61803...), og forholdet mellem diagonalen og siden i et kvadrat, må være de første inkommensurable forhold man har opdagedet. Den simpleste stjerne man kan tegne har fem spidser, og stregerne udgør netop diagonalerne i den regulære femkant. Det er fristende inde i en sådan stjerne at tegne endnu en stjerne, og at fortsætte. Hvis man lader den første stjerne være stor og nøjagtig, kan man prøve hvormange stjerner man kan få plads til. I ideernes verden kan man fortsætte i det uendelige. Dette må give et vink om at der er størrelsesforhold som aldrig "går op". At diagonalen i et kvadrat er inkommensurabel med siden, er straks vanskeligere, her må et argument til. En geometrisk figur kan vise det, men det er nemmere at se aritmetisk: Ifølge Pythagoras' sætning er kvadratet på diagonalen lig med to gange kvadratet på siden, og dette betyder at hvis diagonalen forholder sig til siden som p til q, så forholder kvadratet på diagonalen sig til kvadratet på siden som p2 til q2, og da dette skal være lig 2, er p2 = 2 gange q2. Vi kan antage at p og q ikke begge er lige, men af denne ligning følger at såvel p som q må være lige, og det er jo en modstrid som forslår. Beviset findes hos Aristoteles.

Menneskets trang til dramatik har ført til farverige beretninger om opdagelsen af det inkommensurable - alle sikkert stammende fra langt senere tider. Således skulle opdagelsen være gjort af Pythagoras, som herefter sønderknust opgav al videre syslen med tal. Og ifølge en anden beretning skulle Hippasos være omkommet på havet, fordi han til uindviede havde omtalt "umålbarhedens væsen".

De første helt sikre oplysninger om tallenes utilstrækkelighed har vi fra Platon som levede et århundrede senere end Pythagoras. Han siger et sted (dialogen "Lovene", 819a) at grækerne skulle skamme sig over deres ukendskab til at liniestykker kan være inkommensurable (denne latterlige uvidenhed som fra naturens hånd råder hos alle mennesker), thi om dette véd ethvert ægyptisk skolebarn besked. Og han siger et andet sted (dialogen "Thaitetos", 147d) at Theodoros har bevist uløseligheden af en række ligninger af formen x2 = n. Den første udtalelse siger nok mere om Platons utilfredshed med sine landsmænds kundskabsniveau end om de ægyptiske skolebørn, men udtalelserne fortæller os, at man i de dannedes kreds på det tidspunkt har været godt bekendt med tallenes utilstrækkelighed (og at den jævne borger troede at ethvert geometrisk størrelsesforhold kan angives eksakt i talforhold, men hvor mange er den dag i dag klar over problematikken omkring de irrationale tal? - hvor mange tror ikke at π = 22/7?).

Hvis man vil sammenligne to geometriske størrelser af samme art (for eksempel to liniestykker eller to trekanter), og hvis man ikke kender til at geometriske størrelser kan være inkommensurable, så kan man for eksempel sige at den ene er fem syvendedele af den anden. Men hvad gør man hvis man kender til det inkommensurble og vil være eksakt? Så erkender man at man ikke altid kan være eksakt. Men hvad gør man hvis man vil sammenligne sådanne to forhold? For så findes der jo et eksakt svar på om det ene forhold er større end eller lig med eller mindre end det andet forhold, og hvordan finder man det svar? Til at begynde med har grækeren måske brugt antanairesis, denne metode resulterer i en række naturlige tal, og to sådanne rækker kan umiddelbart sammenlignes. På den måde får for eksempel denne sætning mening: "I to ensvinklede trekanter har hvert par af ensbeliggende sider samme forhold." Men det er en utilfredsstillende metode. Derfor var det et stort fremskridt, da Eudoxos (som var elev af Platon) grundlagde proportionslæren. Den bygger på et elegant teoretisk kriterium som kan bruges til at sammenligne forholdet mellem A og B med forholdet mellem C og D (som måske er af en anden art end A og B): Forholdet mellem A og B er mindre end eller lig med forholdet mellem C og D, hvis det for ethvert par af naturlige tal m og n gælder, at hvis nC er indeholdt i mD, så er nA indeholdt i mB. Man kunne altså sammenligne forholdet mellem A og B med forholdet mellem C og D, men et forhold var ikke en genstand i sig selv. Men hvis grækerne havde opfattet et forhold som en genstand (i ideernes rige), så ville forholdene svare til vores reelle tal (eller en delmængde af disse), og man kunne med lethed have defineret de fire regnearter: For to størrelser A og B skriver vi A:B for deres forhold. En meget benyttet konstruktion var at finde "fjerdeproportionalen" til tre størrelser, det vil sige - hvis A, B og C er givne - at finde D således at A:B = C:D. Da kan summen og produktet af A:B og C:D defineres således: hvis A' konstrueres således at C:D = A':B, så er summen (A+A'):B, og hvis D' konstrueres således at C:D = B:D', så er produktet A:D'.

Men den idé at udvide talbegrebet var ikke nærliggende for grækeren. Grækernes notationssystem for tal var ikke praktisk. De naturlige tal blev noteret i et ti-tal-system, men det var ikke et positionssystem: de små græske bogstaver (og et par ekstra tegn, 30 ialt) angav hvormange enere, tiere og hundreder der er, så man med højst tre cifre kunne fremstille et naturligt tal op til 999. En brøk kunne være skrevet som to naturlige tal efter hinanden, tæller og nævner - den første med en streg over, den anden efterfulgt af et mærke '. Var brøken den mindre end 1, kunne den være skrevet som en sum af stambrøker - naturlige tal efterfulgt af et '. Var brøken større end 1, var den gerne skrevet som et naturligt tal plus en ægte brøk eller en sum af stambrøker. I astronomien, hvor der var brug for stor nøjagtighed, brugte man det babyloniske 60-talsystem for den ikke-hele del at tallet. En brøk kunne bruges til et eller andet, men den var ikke et tal, heller ikke enheden (tallet 1) var et egentligt tal, tallene var: 2, 3, 4, .... Opfattelsen stammer fra pythagoræerne, og den var enerådende i flere hundrede år. Den praktiske regnekunst hørte det arbejdende folk til, og den var forvist fra den fine matematik som hørte ind under filosofien. Matematikerne udførte kun i begrænset omfang konkrete taludregninger, og da kun "for erkendelsen skyld, og ikke til brug ved torvehandel" (Platon). I Euklids "Elementerne" på 700 sider forekommer konkrete tal stort set ikke. Vores decimale positionssystem stammer fra Indien, hvor det første gang ses i tekster fra omkring 600 e.Kr. Det blev overtaget af araberne, og vandt efter renæssancen udbredelse i Europa, som indtil da i vest havde brugt romertallene og i øst grækernes tal. Nullet kommer fra at man havde brug for at markere en tom plads i en cifferfølge. Babylonierne brugte et punkt, og fra det 2. århundrede e.Kr. ses hos grækerne et lille o som er forbogstavet i ordet for intet. De negative tal var benyttede i Kina før Kr. fødsel, og er kommer til os via inderne og araberne. Betragtet som gæld kunne de have en vis realitet, men de blev i almindelighed betragtet som "absurde" eller "fiktive", idet et sådant tals opdukken kunne være tegn på at problemet var formuleret forkert. For eksempel: "En far er 56 år og hans søn 29, hvornår er faderen dobbelt så gammel som sønnen?" Da da den ligning i x som man kan opstille - 56 = 58 + x - ikke har nogen løsning, skulle spørgsmålet have været "for hvor lang tid siden var faderen dobbelt så gammel som sønnen". Hvad de negative tals størrelse angår sammenlignet med de rigtige tal, forestillede man sig oftest at de lå ude forbi uendelig.

I matematikkens storhedstid i grækenland lå talopfattelsen altså langt fra vores talopfattelse, og den uensartede noteringsmåde gjorde det ikke nemmere for brøkerne. Men lad os nu antage at man havde anerkendt brøkerne som tal og at man havde haft en positions-cifferfremstilling af tal (Appendiks 5), og lad grundtallet være e - for eksempel 10 (decimal fremstilling) eller 2 (digital fremstilling). Kunne grækeren så ikke have indset at der er en intim forbindelse mellem punkterne på et liniestykke L og cifferfølgerne af formen 0,...? Man kan gå tilværks på denne måde: L deles op i e lige store dele, og hver del deles igen op i e lige store dele, og så videre. Et punkt på L kan indkredses mere og mere, og man får en cifferfølge af formen 0,.... Og omvendt, til en cifferfølge af formen 0,... vil svare et bestemt punkt p på L. Hvis punktet et delepunkt, er cifferfølgen endelig, hvis ikke er cifferfølgen uendelig. Hvis begyndelsespunktet af L er q, ville man have opdaget, at hvis punktet p er således at linistykket qp er kommensurabelt med L, så er cifferfølgen periodisk, og omvendt. Hvis cifferfølgen er periodisk på den måde at den fra et vist trin kun består af cifret e-1, så kan den omskrives således at cifret lige før det første e-1 forøges med 1 og alle de følgende cifre er 0. Så er forbindelsen imellem punkterne på L og cifferfølgerne af formen 0,... helt entydig - dog får slutpunktet på L cifferfølgen 1,000....

Nej, dette lå ikke ligefor. Et konstrueret punkt p (skæringspunkt) kunne være beliggende på L, men L var ikke "mængden af punkter på L". Og selvom L identificeres med "mængden af punkter på L", hvem siger så at alle punkterne kommer med ved tilknytningen 0,... → p? Hvis man ikke kender til det inkommensurable, må en cifferfølge tillades at være uendelig hvis den er periodisk, men på et tidspunkt måtte man erkende, at der er punkter på L som kan konstrueres, men som kun kan nåes med en ikke-periodisk cifferfølge. Og det kunne også være tydeligt, at der er punkter på L som ikke kan nåes med en cifferfølge overhovedet, nemlig hvis man har en forestilling om infinitesimale liniestykker - den forestilling er mulig og den kan være særdeles nyttig som vi skal se (Appendiks 3). I vor tid har man løst dette problem ved at vedtage (Cantor) at den omtalte korrespondance skal være bijektiv: vi definerer de geometriske genstande ud fra tallene. For grækeren kom et konkret geometrisk sted fra en håndgribelig procedure som præcist kunne forklares. Men der var sandelig forskel på forklaringernes status. Idealet var konstruktion med passer og lineal. Diagonalen i et kvadrat er inkommensurabel med siden, men den kan konstrueres med passer og lineal. Omkredsen af en cirkel er inkommensurabel med diameteren, men man kan ikke ud fra diameteren og med passer og lineal konstruere et liniestykke som har samme længde som omkredsen. Dette problem er ækvivalent med cirklens kvadratur, som går ud på at konstruere et kvadrat med samme areal som en given cirkel, og umuligheden af dette problem blev bevist i 1800-tallet, idet det blev bevist at π er et trancendent tal, hvorimod de afstande som man kan nå frem til med passer og lineal er algebraiske tal (herom senere). Grækerne var ganske klare over umuligheden af cirklens kvadratur, men denne klarhed gik tabt, og det er vist ikke mange årtier siden at der stadig var mennesker som forsøgte at løse cirklens kvadratur - eller andre uløselige problemer såsom vinklens tredeling og terningens fordobling. Den almindelige opfattelse hos grækerne var at det pågældende liniestykke ikke findes. Generelt blev en krum linie anset for at være usammenlignelig med en ret linie, idet et liniestykke med samme længde som den krumme linie ikke nødvendigvis findes. Det var altså ikke sandt at "Arealet af en cirkel er det samme som arealet af en trekant som har cirklens radius som højde og cirklens omkreds som grundlinie". Sætningen findes ikke hos Euklid, den tilskrives Arkimedes, som ikke havde den nævnte opfattelse: for ham havde ethvert ikke-ret kurvestykke en ganske bestemt længde. Derfor måtte Arkimedes medtage et aksiom som ikke findes hos Euklid: "Den rette linie er den korteste vej imellem to punkter." Hvis man deler et kurvestykke op i dele, og trækker rette liniestykker fra det ene delepunkt til det næste, så er længden af kurvestykket større end den samlede længde af liniestykkerne, og vi kan (med vore dages sprogbrug) definere længden af kurvestykket som det mindste overtal (Appendiks 3) for den talmængde som udgøres af længderne af kurverne sammensat af rette liniestykker. Når Arkimedes skulle bevise at længden af et kurvestykke K er lig med længden af et ret liniestykke L, så måtte han, foruden disse "indre" approksimationer med kurver sammensat af rette liniestykker, også indkredse K med kurver sammensat af rette liniestykker som beviseligt har større længde end enhver af de indre approksimationer, og dette på en sådan måde at forskellen mellem en ydre og en indre approksimation kan gøres lige så lille som det skal være. Og så måtte han bevise at længden af enhver indre approksimation er mindre end L og at længden af enhver ydre approksimation er større end L. Denne idé gående ud på at gøre differensen mellem to længder eller to arealer eller to rumfang ubegrænset lille, kaldes exhaustionsmetoden, og den tilskrives Eudoxos. Ønskes blot to grænser for længden af K, vælges en indre og en ydre approksimation, så er K længere end den indre og kortere end den ydre - på den måde viste Arkimedes at 223/71 < π < 22/7.

For en given cirkel mente Arkimedes altså, at der findes et ret liniestykke med samme længde som dens omkreds. Dette var ikke den almindelige opfattelse - i hvert fald ikke før hans tid - og den gænse opfattelse betød at den rette linie manglede punkter, men hvorfor indførte man så ikke bare de punkter igennem et aksiom som siger at "For enhvert kurvestykke findes et ret liniestykke som har samme længde"? Måske fordi man så måtte præcisere hvordan kurvestykket er fremkommet. Der fandtes kun én slags helt legale ikke-rette linier, og det var keglesnittene (ellipse, parabel og hyperbel). Et keglesnit er skæringen mellem en plan og en kegle, og en kegle kan konstrueres med passer og lineal i den forstand at den er givet ved en cirkel og en ret linie igennem cirklens centrum og vinkelret på cirklens plan samt et punkt på den rette linie. Aksiomet kunne begrænses til en begrænset del af et keglesnit, men hvad så med den arkimediske spiral og kardioiden og alle de andre kurver som kan tegnes med sære redskaber? Et kurvestykke på disse måtte da også have en længde. Men det behøvede det åbenbart ikke, for man beskæftigede sig ikke seriøst med dem. På samme måde ville grækeren have problemer med cifferfølger. En uendelig cifferfølge kunne måske være accepteret, men så ville der være en geometrisk grund det. Men egentlig ville problemet med cifferfølger være mindre, fordi eksistensproblemet kan synes nemmere og fordi cifferfølger er noget ensartet. Her drejer det sig ikke om konstruktion med redskaber som forekommer at være for nær ved den fysiske verden, her drejer det sig om at give en præcis beskrivelse af en talfølge som kan fortsættes i det uendelige. Burde alle ikke være enige om at dette tal eksisterer: 0,101001000100001000001...? Og det samme med √2's decimalfremstilling: metoden vi har vist til at danne rationale tilnærmelser til √2 er særdeles effektiv, og at omskrive en brøk til en decimalbrøk er en rent mekanisk procedure (Appendiks 5).

Grækerne kendte ikke til begrebet "mængde". Man kunne tale om en samling af matematiske genstande, men samlingen selv var ikke en matematisk genstand. Det revolutionerende ved mængdelæren, da den kom frem i 1800-tallet, er at enhver matematisk genstand er en mængde. En funktion fra en mængde A til en mængde B er en delmængde f af AxB som opfylder den betingelse at for ethvert a ε A findes ét og kun ét b ε B således at (a, b) ε f - dette b noteres f(a). Og et element (a, b) i AxB er en mængde, for eksempel {a, {a, b}} (således at for a ≠ b er (a, b) ≠ (b, a)). Et naturligt tal, et helt tal, et rationalt tal og et reelt tal kan defineres som værende ganske bestemte mængder. At en ret linie er en mængde af punkter som er knyttet sammen med mængden af de reelle tal IR, er en opfattelse som fra matematikerne har bredt sig til hele befolkningen. Vi taler om "den reelle talakse": de reelle tal opfattes som liggende på en ret linie, hvor et punkt svarer til 0 og hvor de positive tal ligger tilhøjre for 0 og de negative tal tilvenstre. Vi har som sagt aritmetiseret matematikken. Et liniestykke kan opfattes som et interval på den reelle talakse, planen kan defineres som IRxIR (når man indlægger et koordinatsystem), og så videre. Men grækerne har slet ikke tænkt i sådanne baner. De naturlige tal kan fortsættes i det uendelige, og det samme gælder primtallene, men sådanne uendeligheder findes ikke som eksisterende genstande. På et liniestykke er der uendelig mange punkter i den forstand at man hele tiden kan konstruere sig frem til et nyt punkt, men dette gør ikke et liniestykke til noget uendeligt. Man havde en forestilling om det kontinuerte (sammenhængende) i modsætning til det diskrete (adskilte). Aristoteles definerede det kontinuerte således: "En ting siges at være kontinuert, når de grænser som berører den, bliver én og den samme." Liebniz (1600-tallet) havde en mere klar definition: "Et kontinuum er et hele, hvor to vilkårlige dele som tilsammen udgør helheden, har et stykke eller i det mindste en grænse fælles." Og hans forestilling bliver helt klar igennem denne sætning (som han dog ikke beviste): "Når en kontinuert kurve ligger delvis indenfor og delvis udenfor et fladestykke, så skærer den fladestykkets rand." Kurven deles altså op i to dele som har en fælles grænse, nemlig skæringspunktet med fladestykkets rand. Det karakteristiske for det kontinuerte er, at for ethvert punkt p på det og for enhver cirkel med centrum i p (uanset hvor lille), har delen indenfor cirklen uendelig mange punkter i den forstand at man uophørligt kan udtage punkter fra det. Men hvordan er denne uendelighed i sammenligning med de naturlige tals uendelighed? Hvis vi har et liniestykke L, så kunne grækeren vel have gjort den opdagelse, at de rationale punkter på L, som svarer til de ægte brøker, kan opstilles på rad og række: man kan udtænke et opskrivnings-system for de ægte brøker således at enhver ægte brøk (når den er skrevet på uforkortelig form) kommer med præcis én gang. Rækken kan for eksempel begynde således: 0, 1, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 1/6, .... Det er altså kun tilsyneladende at der er flere rationale tal end der er naturlige tal, i virkeligheden er der lige mange - mængderne er tællelige som vi siger i dag. Men hvad med de irrationale tal som svarer til de inkommensurable punkter? Ja når først den opdagelse er gjort, at de rationale tal kan opskrives på rad og række, så kan de irrationale tal nok også opskrives på rad og række, for de kommer jo hver især fra en klart beskrivelig konstruktion, og en beskrivelse kan formuleres i et eller andet sprog, og da en beskrivelse er endelig, kan beskrivelserne ordnes på samme måde som ordene i et leksikon (et leksikografisk princip). Sådan begyndte matematik-filosofferne i hvert fald at tænke i slutningen af 1800-tallet. Disse tankebaner førte til et paradoks: For grækeren var der en væsensforskel på uendeligheden af kontinuet og uendeligheden af en diskret uendelighed (som de naturlige tal), idet der var tale om usammenlignelige størrelser. Vi har ophævet grækerens væsensforskel - vi kan udmærket sammenligne disse størrelser - og vi når frem til at de strengt taget har samme størrelse, men vi har gjort en opdagelse som gør at vi bør tilskrive dem forskellig størrelse. Vi skal ligestraks forklare dette fænomen.

Når grækeren havde et (enheds)liniestykke E og to naturlige tal m og n, så kunne han konstruere et liniestykke L således at L forholder sig til E som m forholder sig til n, men det omvendte lader sig ikke altid gøre: hvis man har et liniestykke L, så behøver der ikke at findes naturlige tal m og n, således at L forholder sig til E som m til n. Og det var en kendsgerning at en andengrads-ligning som x2 = 2 kan løses geometrisk, men ikke aritmetisk. Og da ydermere tallene ikke var noget ensartet, hvorimod linier og trekanter og kegler var noget ensartet, så foretrak man de geometriske genstande: man geometriserede matematikken. Hvis grækeren blev bedt om at løse ligningen x2 = 5/3, anså han problemet for at være geometrisk, og han kunne for eksempel formulere det således: Konstruer for et givet (enheds)liniestykke 1 et liniestykke x således at kvadratet på x forholder sig til kvadratet på 1 som 5 forholder sig til 3. Og han kunne for eksempel gå således til værks (idet han gjorde flittigt brug af Pythagoras' læresætning):

Liniestykket x kaldte han kvadratroden af 5/3, og hvis det kunne bevises at x er inkommensurabelt med enhedsliniestykket, så kunne kvadratroden af 5/3 ikke udtrykkes ved tal.

At den græske kulturs blomstringstid fik en afslutning (på grund af indre stridigheder) betød på ingen måde at det var slut med græsk videnskab. Omkring år 300 f.Kr. samlede Euklid sin tids elementære matematik til en systematisk lærebygning ("Elementerne"), og oldtidens største matematiker Arkimedes levede i det 3. århundrede f.Kr - han fandt et utal af arealformler som vi i dag bruger integralregning til at finde. Men fra dette tidspunkt og to århundrede frem blev hele området omkring Middelhavet gradvist underlagt Romerriget, og romerne havde ingen sans for videnskab. Der blev dog syslet med matematik lige indtil Romerrigets fald i det 5. århundrede e.Kr. Nu fulgte næsten tusind års middelalder i Europa, hvor teologien var den altdominerende videnskab. Men takket være den kulturelle enhed og opblomstring der fandt sted i den arabiske verden i takt med islams udbredelse, blev en mængde skrifter fra oldtiden oversat til arabisk, og den græske matematik overlevede således i Orienten.

I den europæiske renæssance (det vil sige fra det 14. århundrede) begyndte man atter at interessere sig for videnskab og for den antikke græske kultur. Matematikken var præget af den græske ånd, men man var ikke mere afvisende overfor praktisk regnekunst. Notationssystemet for tal blev forbedret, og i 1500-tallet dukkede vore nuværende decimalbrøker så småt op og vandt udbredelse i de følgende århundreder - hertil medvirkede især en lille regnebog af Stevin fra 1885. Da udregninger kan føre til decimalbrøker som aldrig ender, og da regneoperationerne umiddelbart lader sig generalisere til de endeløse decimalbrøker - og da man nu havde frigjort sig fra den strenge græske eksakthed - da anerkendte man med tiden også uendelige decimalbrøker som værende tal. Men dog kun nølende: I midten af 1500-tallet skriver Stifel: "Det er med rette blevet diskuteret om irrationale tal er sande tal eller ikke. For siden, når vi beskæftiger os med geometriske figurer, det jo gælder at når rationale tal ikke slår til, så kan irrationale tal udfylde deres plads og vi kan bevise nøjagtig de ting som vi ikke kunne med de rationale tal ..., så er vi tilskyndede og tilbøjelige til at antage at de i virkeligheden er tal, tilbøjelige, ud fra de resultater som følger af deres brug - resultater som vi opfatter som virkelige, sikre og uforanderlige. På den anden side er der andre synsvinkler som gør os tilbøjelige til at benægte at irrationale tal er tal overhovedet. Nemlig, når vi søger at underkaste dem en talfremstilling [som decimalbrøk] ... opdager vi at de ustandselig undslipper os, således at ikke et eneste af dem kan blive forstået præcist i sig selv .... Derfor, noget sådant som er af en natur der i den grad unddrager sig præcision kan vi ikke kalde sande tal .... Så, ligesom et uendeligt tal ikke er et tal, således er heller ikke et irrationalt tal et virkeligt tal, det ligger skjult i en slags sky af uendelighed." Et århundrede senere fastholdt Pascal at et "tal" som √3 kun kan forstås som en geometrisk længde, et irrationalt tal er blot et symbol som ikke har nogen eksistens uafhængigt af geometriske størrelser, og regneoperationerne med irrationale tal kan kun retfærdiggøres af Eudoxos' proportionslære. Fra omkring år 1600 begyndte man at studere irrationale tal som er fremkommet ved uendelige regneudtryk, såsom uendelige kædebrøker, summer og produkter (Appendiks 1 og 2). Nogle betragtede disse regneudtryk som anvisninger på approksimationer, andre (for eksempel Wallis) anerkendte fuldt ud irrationale tal som sande tal.

Men hvis man anerkendte irrationale tal, hvordan kunne et sådant se ud? Var π et irrationalt tal? Til at begynde med, nej. De første irrationale tal man anerkendte, var dem dannede ved rationale tal og de fire regnearter og generelle roduddragninger n√m. Da man fornemmede at ikke alle rødder i et n-te-grads-polynomium med rationale koefficienter kan findes ved roduddragning, betragtede man også enhver løsning til en sådan ligning som et tal - disse tal kaldes de algebraiske tal. π derimod er et trancendent tal, et sådant er ikke løsning til nogen ligning i x dannet af potenser af x og rationale tal og brug af de fire regnearter. Et trancendent "tal" kunne approksimeres med rationale og irrationale tal, men det var ikke selv et irrationalt tal. Med tiden blev også de trancendente tal betragtet som rigtige tal, men man har næppe forestillet sig andet, end at ethvert tal kan beskrives på en håndgribelig måde. Ja måske ligefrem at det er beregneligt, hvilket vil sige at man kan angive en procedure (for eksempel et computerprogram) der producerer en følge af rationale tal som konvergerer imod tallet. I 1930-erne kom der flere forslag til hvordan beregnelighed bør defineres, men det viste sig at hvis definitionen blot er en smule rummelig, kommer man til det samme resultat. En håndgribelig beskrivelse af et tal kan imidlertid godt være af en sådan art at tallet ikke kan findes - er for eksempel dette tal rationalt eller irrationalt: hvis der i √2's decimalbrøk ikke forekommer 100 0-er på stribe, er tallet √2, i modsat fald er det det rationale tal som fås ved at standse cifferfølgen første gang der kommer 100 0-er på stribe?

En helt tilfredsstillende definition af hvad et irrationalt tal er, blev givet i 1800-tallet:

Dedekind bemærkede (1872) at et irrationalt tal x deler mængden af alle de rationale tal op i to klasser, nemlig dem der er mindre end x og dem der er større end x. Og at omvendt en opdeling af de rationale tal i to klasser bestemmer et irrationalt tal - opdelingen skal være således at ethvert tal i den ene klasse er mindre end ethvert tal i den anden klasse, og således at den "venstre" klasse ikke indeholder et største tal og den "højre" klasse ikke indeholder et mindste tal. Idet han udvidede denne definition af et snit i de rationale tal, således at også et rationalt tal er givet ved et snit, definerede han et reelt tal som værende et snit i de rationale tal.

Cantor bemærkede (1882) at et irrationalt tal (og for den sags skyld også et rationalt tal) kan tilnærmes ubegrænset med en fundamentalfølge af rationale tal. Herved forstås en talfølge hvori afstanden mellem dens tal er vilkårlig lille når blot man befinder sig tilstrækkelig langt ude i rækken. Forskellige fundamentalfølger kan dog bestemme det samme tal, dem betragtede han som værende ækvivalente, og han definerede et reelt tal som værende en ækvivalensklasse af fundamentalfølger.

I løbet af 1800-tallet fik ikke bare tallene, men også de øvrige begreber som der havde hersket uklarhed over de definitioner som vi bruger i dag. For eksempel de komplekse tal som indtil da blev kaldt imaginære tal og opfattet som sådanne. De opstod i renæssancen i forbindelse med løsning af tredie-gradsligninger. I en løsningsformel kunne der forekomme negative tal under kvadratrodstegn, men hvis man regnede med dem som om de var tal, så kunne de forsvinde igen, og i så fald var resultatet virkelig en løsning til ligningen. Og begreber som grænseovergang, kontinuitet, differentiabilitet og integral fik præcise definitioner. Den almindelige opfattelse var, at matematikken kan forsynes med et helt tilfredsstillende fundament. Grækerne havde taget det første og væsentlige skridt: man udgår fra definitioner og aksiomer (altså sætninger som vedtages, men som ikke bevises), og så betjener man sig af nogle logiske slutningsregler. Det er bare et spørgsmål om at præcisere definitionerne og aksiomerne og de logiske slutningsregler, og ikke mindst at give en klar definition af hvad et bevis er. Men der var problemer som var begyndt at spøge. For grækerne var de naturlige tal genstande som kan stilles op på en række der kan fortsættes i det uendelige, men de kendte som sagt ikke til begrebet "mængden af de naturlige tal" - den mængde som vi betegner IN. At en samling af genstande kan være uendelig - og således en størrelse i sig selv - blev afvist med den begrundelse, at det strider imod at "Det hele er større end en del af det", som et af aksiomerne i Euklid lyder. For man vidste selvfølgelig at der kan etableres en korrespondance mellem alle de naturlige tal og en del af disse, for eksempel de lige tal eller primtallene. Ifølge Aristoteles kan "det uendelige" kun være potentielt, men ikke aktuelt: en (endelig) samling kan successivt udvides, men det har ikke mening at tale om en uendelig samling i sin helhed. Denne opfattelse fastholdt teologen Aquinas (1200-tallet) og også Galilei (omkring år 1600), men kirkefaderen Augustinus (omkring år 400 e.Kr.) anerkendte de naturlige tal som en aktuel uendelighed (i sit hovedværk "Gudstaten"). Men man kunne jo have defineret det uendelige som en størrelse der er således at "det hele har samme størrelse som en del af det". Hvis man accepterer det uendelige i denne forstand, så vil det være en kendsgerning at det uendelige kan deles op i flere dele som hver er uendelig: de naturlige tal kan deles op i de lige tal og de ulige tal. Men hvad med Hippias' opdeling af spillets række i uendelig mange uendelige dele? Vi har hørt at Hippias og Pythagoras for at blive helt sikre i deres sag, skrev talpar fra spillets række op i lodrette kolonner, og konstaterede, at kolonnerne kan fortsættes nedad i det uendelige og at også rækken af kolonner kan fortsættes imod højre i det uendelige, og at disse rækker er disjunkte. Denne opdagelse - som (med vores dages sprogbrug) betyder at der er etableret en bijektiv afbildning fra IN til INxIN - måtte virkelig sætte grækeren grå hår i hovedet, og bekræfte ham i hans skræk for det uendelige, fordi den ikke bare siger at en uendelig lille del af det hele har samme størrelse som det hele, men at to størrelser af forskellig art kan have samme størrelse. Grækeren ville blive bekræftet i sin opfattelse, at størrelser som IN og INxIN ikke eksisterer. Men vi lader ham ikke slippe så let: et liniestykke L og kvadratet på L eksisterer, og hvad vil han gøre hvis vi præsenterer ham for en bijektiv afbildning fra L til kvadratet på L? Den vil vise at disse to størrelser er af samme art. Grækeren ville sige, at denne logiske modsigelse kommer af at vi opfatter L og kvadratet på L på en forkert måde, idet vi opfatter dem som "mængderne af deres punkter". Den første påstand - den bijektive afbildning fra IN til INxIN - kan visualiseres således:

For at kunne forklare en sådan tilsyneladende modsigelse, må man altså få en idé af den slags som er indlysende når man først har fået den, men som ikke kan siges at ligge lige for. En bijektiv afbildning fra L til LxL kan konstrueres således: Hvis vi har et ciffersystem, så kan vi som sagt til enhver cifferfølge af formen 0,... knytte et punkt på L, og omvendt. Hvis et punkt på L svarer til cifferfølgen 0,..., så kan vi ud fra den danne to cifferfølger, den ene bestående af cifrene på de ulige pladser og den anden bestående af cifrene på de lige pladser. Disse to cifferfølger bestemmer et punkt i kvadratet på L. Og omvendt bestemmer et punkt i kvadratet på L to cifferfølger formen 0,... som kan sættes sammen til én cifferfølge af formen 0,... og som bestemmer et punkt på L. Disse bijektive afbildninger giver os et problem, thi for os betyder dette at størrelser er af forskellig art, at der ikke findes nogen bijektiv afbildning fra den ene til den anden, men i denne forbindelse må IN og INxIN siges at være af forskellig art, og L og kvadratet på L er da klart af forskellig art. Hvordan skal vi definere begrebet "art" i denne sammenhæng? For grækeren betød dette at størrelserne A og B er af samme art, at de "har et forhold til hinanden", og dette betød at de "ved at mangfoldiggøres kan overgå hinanden": der findes naturlige tal m og n således at A er indeholdt i mB og B er indeholdt i nA. For at begrebet art kan have en mere naturlig mening, må vi altså vænne os af med vores aritmetiske tænkemåde, og vende tilbage til den geometriske tænkemåde, idet vi gør brug af parallelforskydning.

De to bijektive afbildninger er (som alt andet i mængdelæren) mængder, og de kan måske overraske os først gang vi møder dem, men når vi har vænnet os til dannelse af uendelige mængder, vil vi opleve dem som harmløse. Men vi kan fortsætte med at danne uendelige mængder, og se hvornår vi begynder at blive usikre. Når vi har en mængde M, kan vi danne "mængden af alle delmængder af IN". Den kaldes potensmængden af M og betegnes P(M) eller 2M hvor 2 = {0, 1}, idet mængdeproduktet af {0, 1} taget M gange er det samme som en funktion f(m) fra M ind i {0, 1}, og en sådan er det samme som en delmængde af M, nemlig mængden af de elementer m i M for hvilke f(m) = 1. Her opstår et eksistensproblem: hvordan kan en delmængde konkret se ud? Men dette eksistensproblem er ganske det samme som eksistensproblemet for uendelige cifferfølger, for i tilfældet M = IN er en delmængde det samme som en cifferfølge af formen 0,... i det binære talsystem: delmængden A svarer til cifferfølgen hvor det n-te ciffer er 1 hvis n tilhører A og ellers 0. Og da disse cifferfølger står i bijektiv korrespondance med punkterne på et liniestykke L, har mængden P(IN) den samme mægtighed som mængden af punkter på et liniestykke, og eksistensspørgsmålet for en delmængde af IN er det samme som eksistensspørgsmålet for et punkt på et liniestykke og eksistensspørgsmålet for en cifferfølge. Det kan diskuteres hvornår en delmængde af M eksisterer, men der synes ikke at være grund til at sætte spørgsmål ved dannelsen af mængden P(M) af alle delmængder af M. Men hvad nu med den følgende mængde? I enhver lærebog i matematisk analyse kan man finde denne sætning, som giver to betingelser der kan bruges som definition af at en reel funktion f(x) er kontinuert i x = t:

Sætning Lad f(x) være en reel funktion af x som er defineret i intervallet ]a, b[ og lad t være et tal i ]a, b[, da er følgende to betingelser ensbetydende:

1. For ethvert ε > 0 findes et δ > 0, således at |x - t| < δ medfører |f(x) - f(t)| < ε.

2. For enhver talfølge t1, t2, t3, ... i ]a, b[ som konvergerer imod t, gælder at den tilsvarende følge af funktionsværdier f(t1), f(t2), f(t3), ... konvergerer imod f(t).

Bevis At 1 => 2 er let at se. For at se at 2 => 1, antager vi at 1 ikke gælder og udleder en modstrid. Da 1 ikke gælder findes et tal ε > 0 således at der indenfor enhver (nok så lille) omegn af t findes tal x for hvilke |f(x) - f(t)| > ε. Vi kan derfor vælge tal t1, t2, t3, ... i ]a, b[ således at |t1 - t| < 1 og |f(t1) - f(t)| > ε, |t2 - t| < 1/2 og |f(t2) - f(t)| > ε, |t3 - t| < 1/3 og |f(t3) - f(t)| > ε, og så videre. Da vil talfølgen t1, t2, t3, ... konvergere imod t, men talfølgen f(t1), f(t2), f(t3), ... konvergerer ikke imod f(t), og dette strider imod forudsætningen at 2 gælder.

I beviset er stiltiende gjort brug af denne sætning, kaldet udvalgsaksiomet: "For en mængde af ikke-tomme mængder kan man vælge et element i hver af mængderne." Eller udtrykt mere korrekt: "For en mængde M af ikke-tomme mængder findes en funktion u: M → "foreningsmængden af mængderne i M" således at det for enhver mængde N i M gælder at u(N) tilhører N." Men hvordan kan man påstå at en sådan funktion findes, når man ikke har konstrueret den? Hvis den reelle funktion f(x) er bygget op af elementære funktioner, så kan man konstruere talfølgen t1, t2, t3, ...: de rationale tal kan som sagt numereres, og i hver af de pågældende ikke-tomme mængder kan man vælge det rationale tal som har det laveste nummer. Men funktionen f(x) kan udtænkes sådan, at man ikke kan bevise at der er rationale tal i hver af de ikke-tomme mængder af reelle tal. Så vi kan med fuld ret hævde at sætningen om kontinuitets-betingelsen er ugyldig. Udvalgsfunktionen u er (som enhver anden funktion) en mængde, og vi kan hævde at denne mængde ikke eksisterer.

Men nu til beviset for at punkterne på et liniestykke (for eksempel) bør tilskrives en større mægtighed end IN. Det er en kendsgerning at en matematisk genstand først eksisterer som en konkret ting, når den er fastlagt ved en klar og entydig beskrivelse, og i så fald kan vi sige at genstanden er beskrivelsen, idet vi dog betragter beskrivelser som ækvivalente når de fastlægger den samme genstand. Da der kun kan være tællelig mange beskrivelser, har en matematisk teori kun tællelig mange konkrete genstande. Men denne kendsgerning kan godt forenes med den opfattelse, at der findes højere grader af uendelighed end det tællelige. Punkterne på liniestykket L kan som sagt identificeres med cifferfølgerne af formen 0,..., og vi lader ciffersystemet være det binære system. Hvis vi antager der findes en bijektiv afbildning fra IN til L, så svarer denne afbildning til at vi har opstillet alle cifferfølgerne af formen 0,..., på rad og række. Nu danner vi en cifferfølge af formen 0,... på følgende måde (Cantors diagonalbevis): første ciffer efter kommaet er det modsatte af det første ciffer i den første cifferfølge, andet ciffer er det modsatte af det andet ciffer i den anden cifferfølge, og så videre. Denne cifferfølge er forskellig fra alle cifferfølgerne i rækken, så derfor er vi nået frem til en modstrid, altså er mængden af punkterne på liniestykket ikke numerabel. Men dette bevis behøver ikke at genere os: I virkeligheden er mængden af punkterne på liniestykket numerabel, men det er i en særlig forstand: det er kun de beskrivelige punkter som eksisterer, og da en beskrivelse er endelig kan beskrivelserne ordnes på rad og række, men for det første er denne konstruktion meta-matematisk - den finder sted i et andet sprog end den matematiske teoris eget sprog - og for det andet kan ordningen ikke fuldføres, af samme grund som en ordbog ikke kan fuldføres, så derfor har vi ikke konstrueret en bijektiv afbildning fra IN til L i den matematiske teori - en sådan findes ikke. Og derfor forestiller vi os at punkterne på L har større mægtighed end mængden af de naturlige tal.

Der eksisterer med andre ord punkter på et liniestykke som ikke er beskrivelige, men de er uspecificerede: de eksisterer kun i skikkelse af variable. Den ovennævnte talfølge t1, t2, t3, ... er af samme natur som de ikke-beskrivelige punkter, og den skal forståes på følgende måde: For ethvert naturligt tal n gælder (ifølge antagelsen) at mængden af reelle tal s således at |s - t| < 1/n og |f(s) - f(t)| > ε er ikke-tom. Ifølge udvalgsaksiomet kan vælges et tal i hver af disse mængder, lad t1, t2, t3, ... være et sådant valg, da gælder at t1, t2, t3, ... er en talfølge som konvergerer imod t, således at talfølgen f(t1), f(t2), f(t3), ... ikke konvergerer imod f(t). Talfølgen t1, t2, t3, ... optræder ikke som konkret genstand, men som variabel, nemlig som knyttet til eksistens-kvantoren. Og herefter anvendes al-kvantoren, idet det siges at enhver af disse variable genstande {t1, t2, t3, ...} er en talfølge konvergerende imod t således at talfølgen f(t1), f(t2), f(t3), ... ikke konvergerer imod f(t). I dette konkrete tilfælde er den genstand som man har brug for, tilfældigvis identisk med den genstand som man har postuleret eksisterer. Normalt vil man ud fra den eksisterende genstand konstruere en ny genstand og vise at denne opfylder en bestemt betingelse, så véd man at der eksisterer en genstand som opfylder denne betngelse. Men genstanden eksisterer ikke nødvendigvis i virkeligheden. Den er godt nok konstrueret ud fra en eksisterende genstand, men denne genstand eksisterer måske ikke i virkeligheden, i den forstand at den ikke er konstrueret, men kun postuleret. Hvis den ikke er konstrueret, men kun kan takke et aksiom for sin eksistens, så eksisterer den kun i skikkelse af en variabel, med mindre at man kan bevise at der kun eksisterer én genstand som opfylder betingelsen. I så fald eksisterer genstanden i virkeligheden, idet den er den bestemte genstand som opfylder den og den betingelse, og så er den håndgribelig i bogstavelig forstand, den er nemlig en tegnstreng uden frie variable (hvis der kun findes endelig mange genstande som opfylder betingelsen, så bør man betragte dem som eksisterende, selvom man ikke kan skelne imellem dem).

Tegnstrenge er genstandene i en formal teori, og en sådan bygger på den erkendelse at det afgørende ikke er hvordan matematikkens genstande konkret defineres, men alene deres egenskaber og relationer til andre genstande - ting som kan udtrykkes i formler. Der var først og fremmest Cantor som med sine revolutionerende ideer om mængders eksistens, må siges at tænke i klart formale baner. Men formalismens fader er Hilbert. Han havde "opdateret" Euklids "Elementerne", og han kaldte naturligvis genstandene i sin teori for "punkter", "linier", "planer", ..., men han sagde, at han også kunne have kaldt dem "borde", "stole", "vaser", .... Hilbert havde dog den opfattelse at enhver matematisk teori må afspejle virkeligheden - denne opfattelse var enerådende på hans tid. Den første helt konsekvente formalist var Curry, som i 1930-erne proklamerede at matematik er ren manipulation med tegn som ikke behøver at have nogen relation til "virkeligheden". I en formal teori starter man med et sæt af tegn og et sæt af regler for hvordan tegnene kan sammensættes til tegnstrenge (se Appendiks 3). Der er to typer af tegnstrenge: termer som er de matematiske genstande og udsagn som er påstande om termer. Nogle udsagn er "sande" per definition, de kaldes teoriens aksiomer. Ved hjælp af et sæt af logiske slutningsregler kan man ud fra aksiomerne danne "sande" udsagn. Et udsagn som er sandt i denne forstand, kaldes et teorem. Et teorem forekommer (til slut) i et bevis, som er en række af udsagn dannet successivt efter slutningsreglerne.

På den tid (slutningen af 1800-tallet) hvor Cantor teoretiserede over hvordan en mængde kan se ud og hvor Hilbert indførte den formale tænkemåde, grundlagde Frege den matematiske logik. For eksempel skelnede Frege imellem dette at fremsætte et udsagn og at hævde det, altså at sige at det er sandt. Og han erstattede det aristoteliske begreb "prædikat" med "udsagn med en fri variable", således at hvis p(x) er udsagnet "x er et grundstof", så betyder dette at "lithium er et grundstof" at p(x) = sand når x = lithium. Og Frege udformede mængdelæren så den hørte ind under logikken - en opfattelse som kaldes logicismen. Her er udgangspunktet "en samling af individer", og den kan bestå af "alle ting i hele verden". I logicismen defineres et naturlig tal n som "mængden af de mængder som har n elementer", idet det er forklaret hvad det vil sige at en samling består af n genstande. Ulykkeligvis var der en ting som Frege havde overset, hvilket betød at man kan udlede en logisk modsigelse af hans system. Det var Russell som gjorde opmærksom på modsigelsen. Russells paradoks lyder: Har "mængden af alle mængder der ikke har sig selv som element" sig selv som element? Russell og Whitehead udgav i årene 1910-13 trebindsværket "Principia Mathematica", som er et (næsten) uangribeligt fundament for mængdelæren, og som bygger på logicismen. Det viste sig dog at Russells system er unødigt besværligt, så det blev et andet aksiomsystem som med tiden blev det foretrukne, nemlig Zermelo-Fraenkels aksiomsystem - det betegnes ZF.

Imidlertid var der i begyndelsen en voldsom modstand imod den formalistiske kurs. Den kom fra de såkaldte intuitionister, som talte nogle af tidens førende matematikere. Intuitionisterne holdt fast ved grækernes opfattelse af matematikkens genstande: 1. kun endelige mængder eksisterer, en mængde kan successivt udvides, men den kan ikke være uendelig, og 2. en matematisk genstand eksisterer først når den er konstrueret ved en håndgribelig procedure, man kan ikke bare postulere at den eksisterer, og nøjes med at bevise at postuleringen ikke kan give anledning til en logisk modsigelse.

Det blev Hilberts formalistiske kurs som gik af med sejren. Men der er nogle betingelser som ubetinget må opfyldes, mente Hilbert. Nemlig: 1. ethvert sandt udsagn må kunne bevises, 2. teorien må bevises at være modsigelsesfri, og 3. teoriens (intuitive) "univers af genstande" må være bestemt ved den formale teori - eller sagt med andre ord: den formale teori må kun have én model. Disse krav er opfyldt for den euklidiske geometri. At de er opfyldt for aritmetikken og mængdelæren, forsøgte Hilbert og andre at bevise ved omhyggeligt at studere den matematiske ræsonneren. Men sagen trak i langdrag, og i 1931 rystede Gödel verden ved at bevise at ingen af Hilberts tre krav kan opfyldes: 1. der vil altid være udsagn som er sande, men som ikke kan bevises, 2. mængdelæren (og aritmetikken) kan ikke bevises at være modsigelsesfri og 3. mængdelæren (og aritmetikken) har mere end én model (faktisk uendelig mange).

Ad 1: At der er sande udsagn som ikke kan bevises er der ikke noget mærkeligt i, for udgangspunktet er et endeligt antal aksiomer som man er nået frem til igennem erfaringen, og man kan ikke forvente at alt hvad der er sandt kan bevises ud fra et system givet én gang for alle: af og til må man medtage et nyt aksiom. Goldbachs formodning er det mest elementære eksempel på et udsagn som er sandt, men som måske ikke kan bevises ud fra de sædvanlige aksiomer. Formodningen siger at ethvert lige tal er summen af to primtal, for eksempel er 10 = 3 + 7 = 5 + 5. Hvis formodningen ikke kan bevises ud fra de sædvanlige aksiomer, så kan vi nemt finde et nyt aksiom som gør det muligt at bevise formodningen, nemlig formodningen selv. Da formodningen kan siges med sikkerhed at være sand, vil dette nye aksiom ikke kunne give anledning til en logisk modsigelse. Men det vil først være rigtigt at medtage et nyt aksiom, når det er bevist at Goldbachs formodning ikke kan bevises (se Ad. 3). Der er to aksiomer som man af og til gør brug af, men som normalt ikke er nødvendige:

Det ene er udvalgsaksiomet som vi lige har omtalt, og som siger, at hvis man har en mængde af ikke-tomme mængder, så findes en funktion som til enhver af mængderne knytter et element i mængden. En sådan funktion kan være umulig at konstruere hvis der er uendelig mange mængder, i så fald må funktionen postuleres, og dette får vidtrækkende konsekvenser, idet det fører til at sære mængder eksisterer. Ifølge udvalgsaksiomet findes en funktion som til enhver ikke-tom delmængde af de reelle tal knytter et element i den. Når en sådan funktion u er givet, kan man danne en uendelig følge af reelle tal: det første er t1 = u(IR), det næste er t2 = u(IR\{t1}), det næste er t3 = u(IR\{t1, t2}), og så videre. Når de naturlige tal er sluppet op, fortsætter man: tIN = u(IR\{t1, t2, t3, ...}), tIN+1 = u(IR\{t1, t2, t3, ..., tIN}), .... Idet alle de reelle tal kommer med, er der etableret en ordensrelation « på de reelle tal: for to forskellige reelle tal a og b gælder enten a « b eller b « a. Og denne ordensrelation er en velordnethedsrelation, hvilket vil sige at enhver delmængde af de reelle tal har et første element med hensyn til «. De reelle tal kan med andre ord opstilles på en række der uendelig mange gange når forbi uendelig. Udvalgsaksiomet er ensbetydende med velordnethedssætningen, som siger at enhver mængde kan forsynes med en velordnethedsrelation.

Det andet aksiom som man af og til medtager, er kontinuum-hypotesen, som siger, at der ikke findes nogen mængde hvis mægtighed er større end mægtigheden af de naturlige tal og mindre end mægtigheden af de reelle tal - eller mere generelt: for en uendelig mængde M findes ingen mængde som har større mægtighed end M og mindre mægtighed end P(M). Kontinuum-hypotesen kan bevises at være uafhængig af de sædvanlige aksiomer, så den kan ikke føre til (nye) logiske modsigelser. Man kan altså medtage et aksiom som er en negation af kontinuum-hypotesen, og det kan for eksempel lyde: "For enhver uendelig mængde M findes en mængde A som har større mægtighed end M og mindre mægtighed end P(M)." Men man kan også fordrer at der er flere af sådanne mængder, ja uendelig mange. Man kan medtage dette aksiom: "For enhver uendelig mængde M og for en velordnethedsrelation på M findes en følge af mængder Ai (i ε M) som hver har større mægtighed end M og mindre mægtighed end P(M) og hvis mægtighed indbyrdes er strengt voksende med ordensrelationen."

Ad 2: Mængdelæren kan ikke bevises at være modsigelsesfri. Det kan ske at et kvikt hoved en dag udleder en logisk modsigelse ud fra de sædvanlige aksiomer, men ingen tror på at det vil ske. Russells måde at redde Freges teori på, var at indføre en type-inddeling af mængderne: et element i en mængde må tilskrives en anden type end mængden selv - så er "mængden af alle mængder der ikke har sig selv som element" udelukket. Russell indførte et uendeligt hierarki af typer, men senere opdagende man at man kan udelukke paradokser ved at skelne imellem mængder og klasser, idet en klasse ikke kan være element i noget (eller hvis den kan, så er dette noget en klasse af en højere orden). Men Zermelo-Fraenkels aksiomsystem bygger på en ganske enkel idé: Hvis man har et udsagn p(x) med en fri variabel x, så er problemet "mængden af alle x således at p(x) (er sand)", men man kan forhindre paradokser ved at kræve at denne mængde er indeholdt i en i forvejen dannet mængde. Hvis man altså har dannet mængden A, så eksisterer "mængden af de elementer x i A således at p(x)" - den betegnes {x ε A | p(x)}.

Ad 3: Mængdelæren kan have flere modeller. Denne kendsgerning er både nyttig og nødvendig. Den er nyttig blandt andet på den måde at der findes modeller for mængdelæren hvor mængderne har infinitesimale elementer. Dette betyder at differential- og integralregningens infinitesimale størrelse som normalt betegnes dx og dy, kan bringes til at eksistere, således at man kan jonglere med disse ting uden hele tiden at skulle bruge det beværlige begreb grænseovergang (se Appendiks 3) - en sådan model for ZF kaldes en ikke-standard model, den er intenderet (standard) model for en udvidelse af ZF som betegnes *ZF. Enhver formal teori har uendelig mange modeller som kun har nummerabelt mange genstande. En sådan model konstrueres på følgende måde: for et udsagn p (uden frie variable) således at p hverken kan bevises eller modbevises, medtages et af udsagnene p eller non-p som aksiom, og denne procedure fortsættes i det uendelige, så har man en model for den oprindelige teori, idet enhvert udsagn er enten sandt eller falsk. I en model for en formal teori er sandhedsbegrebet nemlig vores sædvanlige opfattelse af sandhed: en påstand er sand når den er en kendsgerning (det vil sige i overensstemmelse med et forhold i virkeligheden), og en påstand er således altid enten sand eller falsk. Et teorem er selvfølgelig sandt i enhver model, men det omvendte gælder også (det beviste Gödel): hvis et (formalt) udsagn er sandt i enhver model, så er det et teorem - så findes der altså et bevis. Hvis Goldbachs formodning ikke kan bevises, findes en model for aritmetikken således at der i denne model er et lige tal som ikke er summen af to primtal, men i denne model er der "naturlige tal" som ikke er sædvanlige naturlige tal: de er større end ethvert sædvanligt naturligt tal (Appendiks 3). Det er ved at konstruere en model for aritmetikken hvori der er et lige tal som ikke er summen af to primtal, at man ville bevise at Goldbachs formodning ikke kan bevises. Så i lyset af den indsigt der kom frem, kan man sige at Hilberts krav var tåbelige.

I Zermelo-Frankels aksiomsystem for mængdelæren er der 9 (eksplicite) aksiomer som fastlægger hvilke mængder der kan dannes ud fra allerede dannede mængder. Hvis man har en mængde A, så eksisterer den mængde der har A som eneste element, den betegnes {A}, og hvis man har to mængder A og B, så eksisterer foreningsmængden af A og B. Det mest brugte aksiom er det ovennævnte som siger, at hvis man har en mængde A og et udsagn p(x) med en fri variabel x, så eksisterer {x ε A | p(x)}. Ud fra disse tre aksiomer kan vi konstruere de naturlige tal: Vi forudsætter der er en mængde M. Lad udsagnet p(x) være "x ≠ x". Så følger at {x ε M | x ≠ x} eksisterer, men den har ingen elementer, den kaldes den tomme mængde og betegnes Ø. Nu kan vi successivt definere de naturlige tal: Tallet 0 defineres som mængden Ø, tallet 1 defineres som mængden {0}. Tallet 2 defineres som "foreningsmængden af 1 og {1}", altså mængden {0, 1}. Tallet 3 defineres som "foreningsmængden af 2 og {2}", altså mængden {0, 1, 2}, og så videre. Tallet n er en mængde med n elementer, nemlig tallene fra 0 til n - 1.

Et naturligt tal n defineret på denne måde har disse to egenskaber: 1. ethvert element i n er en delmængde af n, og 2. ordensrelationen på n bestemt ved mængdeinklusion er en velordnethedsrelation på n. Hvis man har en endelig mængde M og en bijektiv afbildning fra M til det naturlige tal n, så bestemmer afbildningen en orden af M's elementer, idet tallene i n = {0, 1, 2, ..., n-1} optræder som ordenstal eller ordinaltal. Ses bort fra den konkrete afbildning, så gives den information at M har n elementer: n optræder som mægtighedstal eller kardinaltal. Et generelt ordinaltal o er en mængde som har de nævnte to egenskaber (Cantor, 1883). Det første ordinaltal lige efter alle de naturlige tal betegnes ω, og er IN = {0, 1, 2, ...}, de næste ordinaltal betegnes ω+1, ω+2, ω+3, ..., og efter alle disse kommer ω+ω = 2ω, og så videre. Ethvert ordinaltal er mængden af de foregående ordinaltal: n = {0, 1, 2, 3, ..., n-1}, ω = {0, 1, 2, ...}, ω+1 = {0, 1, 2, ..., ω}, .... Til enhver velordnet mængde svarer et entydigt bestemt ordinaltal således at der er en bijektiv afbildning fra mængden til ordinaltallet som bevarer ordensrelationen. Et generelt kardinaltal er et ordinaltal som ikke er mængde-ækvivalent med et mindre ordinaltal - et naturligt tal n og ω er kardinaltal, men ω+n og ωn er ikke kardinaltal, disse mængder er mængdeækvivalente med IN. Til ethvert ordinaltal o er der et største kardinaltal som er indeholdt i o. Hvis der er en bijektiv afbildning fra mængden M til kardinaltallet K, er K entydigt bestemt og kaldes M's kardinaltal og betegnes #(M). Udvalgsaksiomet er som sagt ensbetydende med at enhver mængde M kan velordnes, og når en velordnethedsrelation vælges, fås et entydigt bestemt ordinaltal, og dermed også et kardinaltal, og dette kardinaltal er uafhængigt af ordensrelationen. Medtages udvalgsaksiomet ikke, kan man ikke nødvendigvis sammenligne to mængder med henblik på mægtighed, det kan man derimod når udvalgsaksiomet medtages. Også kontinuum-hypotesen bør medtages hvis man på en elegant måde vil kunne håndtere mængders mægtighed - den siger som sagt at der for enhver uendelig mængde M ikke findes nogen mængde som har større mægtighed end M og mindre mægtighed end P(M). Dette betyder at alle kardinaltallene er følgende: først 1, 2, 3, ..., herefter #(IN) som betegnes ข0 (aleph 0), herefter #(P(IN)) som betegnes ข1 (aleph 1) eller 20, herefter #(P(P(IN))) som betegnes ข2 (aleph 2) eller 21, og så videre. Til ethvert ordinaltal o svarer et kardinaltal ขo, og der gælder 2o = ขo+1, eller: hvis #(M) = ขo er #(P(M)) = ขo+1.

I Appendiks 3 vil vi indføre de reelle tal (og regneoperationerne) på to måder: dels som en del af mængdelæren ved at bygge videre på konstruktion af IN, og dels aksiomatisk som en selvstændig teori, idet vi opremser de grundlæggende regler som vi følger når vi arbejder med reelle tal.




Iagtagelser

1 Andengrads-ligningen x2 - x - 1 = 0, har to løsninger: g = (1 + √5)/2 (= 1,61803...) og 1 - g (= -0,61803...). Tallene g og g - 1 (= 0,61803...) er hinandens inverse, og de kaldes begge "det gyldne snit". Ligningen x2 - x - 1 = 0 kan også skrives x2 = x + 1 og x = 1 + 1/x, så g er også karakteriseret ved g2 = g + 1 og g = 1 + 1/g. Tallet g er irrationalt, for hvis g = p/q, er p2 = pq + q2, og så vil p og q have de samme primfaktorer.

I det følgende lader vi [x] for et reelt tal x være den hele del af x (altså det største hele tal ≤ x). Vi danner to uendelige rækker af naturlige tal - kaldet a-rækken og b-rækken:

an = [ng] og bn = [n(g + 1)] (n = 1, 2, 3, ...)

Da 1/g + 1/(g + 1) = 1, følger at de to rækker kompleterer hinanden: ethvert naturligt tal vil tilhøre præcis én af rækkerne (det vises i 7). Og desuden har rækkerne den egenskab at bn - an = n. De to rækker kan skrives som en række af talpar (an  bn) (n = 1, 2, 3, ...), og denne række er "spillets række", for da forholdet mellem de lange og korte fliser i "Den gyldne Allé" er g, er an (det første tal i talpar nummer n) givet ved Hippias' tolkning af Pythias svar:

2 Vinderstrategien er illustreret i dette diagram.

Hvert felt er en stilling i spillet - sort når stillingen tilhører spillets række. Da bunkernes orden er uden betydning, kan tallene i talparrene ombyttes, derfor symmetrien omkring linien y = x.

At føre stillingen ind i spillets række, svarer til at komme fra et hvidt felt til et sort, og det kan altid ske ved kun ét træk (hvis stillingen ikke er der i forvejen) - og ofte på mere end én måde (dog højst tre). Dette kan bevises således:

Vi antager at parret (m, n) er en stiling hvor m ≤ n. For m er der to muligheder: m tilhører b-rækken eller m tilhører a-rækken. Hvis m tilhører b-rækken, er n større end det til b hørende a, og vi kommer ind i spillets række ved at trække n - a fra n. Hvis m tilhører a-rækken, er der tre muligheder: 1. n er større end det til a hørende b, i så fald trækkes n - b fra n. 2. n er lig med det til a hørende b, i så fald er stillingen i spillets række. 3. n er mindre end det til a hørende b, i så fald dannes det til r = n - m hørende tal i a-rækken ar, og tallet m - ar trækkes fra både m og n, så fås parret (ar  ar + r) = (ar  br) i spillets række.

Spillet er sikkert ældgammelt. Dets række blev fundet af Wythoff i 1907. Han konstruerede den på samme måde som Hippias i hans konstruktion uden brug af "Den gyldne Allé" (side ...). Først bagefter opdagede Wythoff at rækken kan konstrueres ved hjælp af det gyldne snit.

3 Hvis vi fra et sort felt (over diagonalen) spejler i diagonalen og derefter går lodret opad vil vi komme til et (hvidt) felt som er nabo til et sort felt. Hvis vi ser på talparrene i rækken som svarer til disse to sorte felter, ser vi at det andet talpars nummer er det første tal i det første talpar, og at det første tal i det andet par er én mindre end det andet tal i det første par. Rækken synes at have denne egenskab

aan = bn - 1

Bevis: Det skal vises at an + n - 1 = ang - ε' for 0 < ε' < 1, men dette følger af at an = ng - ε for 0 < ε < 1, og g2 = g + 1, idet ε' = 1 - (g - 1)ε < 1.

Dette er den anden af de måder som Hippias fortalte at man kan danne talpar længere ude i spillets række: Hvis (a  b) er et talpar i spillets række, så er talpar nummer a givet ved (b - 1  (b - 1) + a). Hippias første måde at danne talpar længere ude i spillets række lyder: Hvis (a  b) er et talpar i spillets række, så er talpar nummer b givet ved (a + b  (a + b) + b):

abn = an + bn

Bevis: Det skal vises at 2an + n = (an + n)g - ε' for 0 < ε' < 1, men dette følger af at an = ng - ε for 0 < ε < 1, og g2 = g + 1, idet ε' = ε(2 - g) < 1.

Denne egenskab ved fliserækken kan illustreres således

4 Hvis (a  b) altså er et talpar i spillets række, og hvis (a'  b') er talpar nummer b i spillets række, da er a' = a + b og b' = a' + b. Denne procedure kan (som Hippias fortalte) fortsættes i det uendelige. Hvis for eksempel (a  b) er (9  15), kan vi danne den uendelige række

9    15    24    39    63    102 ...

- hvor man kommer til det næste tal ved at addere de to foregående (rækken har "fibonacci-egenskaben" - se nedenfor). Når denne række deles op i par, forekommer disse par i spillets række og et pars nummer er det foregående tal, altså det foregående pars b-tal. Hvis vi omvendt har et par (a'  b') i spillets række hvis nummer b er et b-tal, så vil parret (a  b) med dette b-tal, opfylde a + b = a' (da a' = ab) og b + a' = b'. Ved at arbejde os tilbage, kommer vi tilsidst til et par hvis nummer er et a-tal. Et par i spillets række hvis nummer er et a-tal, kalder vi primitivt. Det første par i rækken ovenfor (9  15) er primitivt, da dets nummer 15 - 9 = 6 er a-tal i et forudgående par, nemlig (6  10). Til ethvert primitivt par kan vi altså danne en uendelig række af naturlige tal, nemlig den hvor ethvert tal er summen af de to foregående, og den kan deles op i par tilhørende spillets række. Og omvendt vil ethvert par i spillets række forekomme i præcis én sådan række. Dette er egenskaben omtalt på side ....

Af reglen abn = an + bn følger at reglen aan = bn - 1 kan formuleres

abn = ban + 1

5 Det n-te tal i talrækken på side ... betegnes fn:

1   1   2   3   5   8   13   21   34

fn er altså bestemt ved f1 = 1, f2 = 1 og fn+1 = fn + fn-1. Denne talrække kaldes Fibonaccis talrække (efter Fibonacci som levede i 1200-tallet). Denne række (uden det første 1-tal) er rækken frembragt af det første primitive par i spillets række: (1  2). Der gælder: f2n = ∑ fi (i ulige < 2n) og f2n+1 = 1 + ∑ fi (i lige ≤ 2n). Og endvidere at

fn/fn-1 = 1/((fn+1/fn) - 1)

Af denne egenskab følger at hvis rækken fn+1/fn (n = 1, 2, 3, ...) konvergerer, så vil grænseværdien opfylde ligningen for g: g = 1/(g - 1). At rækken konvergerer, følger af at den er en fundamentalfølge (dette vises i 12 og i Appendiks 1). Rækken fn+1/fn (n = 1, 2, 3, ...) konvergerer altså imod "det gyldne snit".

6 Fibonaccirækken kan (bortset fra det første 1-tal) deles op i par som optræder i spillets række, og et sådant pars nummer vil være på en ulige plads i fibonaccirækken. Har man altså et fibonaccital hvis nummer er ulige, så vil de to følgende fibonaccital danne et talpar i spillets række. Men faktisk kan ethvert talpar i spillets række dannes ud fra fibonaccirækken. Ethvert tal, for eksempel 19, kan skrives som en sum af fibonaccital: 19 = 13 + 5 + 1, dem sætter vi en streg under:

1   1   2   3   5   8   13   21   34

Det kan altid gøres således at den første streg er på en ulige plads og således at to streger ikke følger lige efter hinanden. Hvis disse streger rykkes én plads til højre og fibonaccitallene lægges sammen, så fås det første tal i det 19-ende talpar, altså 1 + 8 + 21 = 30, og hvis stregerne rykkes endnu én plads til højre og fibonaccitallene lægges sammen, så fås det andet tal i det 19-ende talpar, altså 2 + 13 + 34 = 49. At bevise dette er meget vanskeligt - det synes umuligt at vise ved induktion. Opspaltningen af et tal n som en sum af fibonaccital fås således: den sidste streg (altså stregen længst til højre) sættes under det største fibonaccital f ≤ n, den næste streg sættes under der største fibonaccital ≤ n - f, og så videre, hvis den første streg er på en lige plads erstattes den med streger under hveranden af de foregående fibonaccital (da f2n = ∑ fi (i ulige < 2n) - en streg under 8 skal altså ændres til 1 1 2 3 5 8 ...).

7 Ved at studere pentagrammet kan man se at relationen mellem en side S og en diagonal D kan illustreres således

- hvor den største og den mindste trekant er ensvinklede. Heraf følger at D/S = S/(D - S), så hvis vi sætter g = D/S, er g = 1 + 1/g, og dette er ligningen for "det gyldne snit". D/S = S/(D - S) kan formuleres D2 = S2 + SD - dette er Hippias' andengrads-ligning på side .... Når D/S udregnes ved antanairesis (Appendiks 1), giver alle divisionerne 1, så derfor er Hippias' udtryk for tallet D/S (side ...) korrekt, idet det i nutidigt tegnsprog ser således ud: 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + ...))) - altså kædebrøken som noteres [1, 1, 1, ...].

8 Lad A og B være to rationale tal større end 1 således at

1/A + 1/B = 1

Så vil de to talrækker

[mA] m = 1, 2, 3, ...

og

[mB] m = 1, 2, 3, ...

"næsten kompletterer" hinanden, forstået på den måde at ethvert naturligt tal enten forekommer i den ene eller i den anden række, men ikke i begge - der er dog uregelmæssigheder (små, hvis A og B har store tællere og nævnere), idet visse tal optræder i begge rækker og andre tal ikke optræder i nogen af rækkerne. Der gælder nemlig følgende:

For et naturligt tal n er der tre muligheder: 1. For naturlige tal a og b er n = aA og n = bB - i så fald er n = a + b. 2. n forekommer i den ene række, men så forekommer n ikke i den anden række. 3. n forekommer ikke i nogen af rækkerne, men så forekommer n + 1 i den ene af rækkerne (men ikke i den anden ifølge 2).

Bevis: Lad n være et naturligt tal, og lad a og b være de mindste naturlige tal således at n ≤ aA og n ≤ bB. Lad ε og ε' være (positive rationale tal) således at n + ε = aA og n + ε' = bB. Da er ε < A og ε' < B, og det mindste af tallene ε og ε' må være < 2, og endvidere er n + (ε/A + ε'/B) = a + b, og dette betyder at ε/A + ε'/B må være 0 eller 1. Er ε/A + ε'/B = 0, er ε = ε' = 0 og n = aA = bB. Er ε/A + ε'/B = 1, gælder at hvis det mindste ε er mindre end 1, så er det andet ε større end 1, og dette betyder, at hvis n forekommer i a-rækken, så forekommer n ikke i b-rækken, og hvis n forekommer i b-rækken, så forekommer n ikke i a-rækken. Og dette at det mindste af tallene ε og ε' er < 2 betyder, at hvis n hverken forekommer i a-rækken eller b-rækken, så forekommer n + 1 i en af rækkerne.

Hvis A og B er irrationale vil de to talrækker vil præcis komplettere hinanden.

Sæt nu A = g, så er B = g + 1 og vi får den tidligere a-række og b-række, og vi har hermed bevist egenskaberne i 1.

Antag at liniestykker altid var indbyrdes kommensurable. Da er g (= D/S) et rationalt tal p/q, og det må gælde at p korte fliser vil nå præcis lige så langt som q lange fliser. Betingelsen 1/A + 1/B = 1, for A = g og B = g + 1, kan ikke mere være præcist opfyldt. Så derfor kan enhver geometrisk konstrueret række af talpar kun blive en tilnærmelse til spillets række. Denne mulighed foreligger indtil det er blevet bevist at der findes liniestykker D og S således at 1/A + 1/B = 1 er opfyldt for A = D/S og B = A + 1. Ligningen indebærer at D og S er inkommensurable, og at D/S er forholdet mellem diagonalen og siden i et pentagram. Men indtil denne egenskab ved "de gyldne fliser" er blevet bevist, er Hippias' første måde at danne rækken på (oraklets svar) kun en tilnærmelse til spillets række. Heraf Athenes ord.

9 Hvormange korte fliser kan der ligge langs en væg i pentagonsalen?

10 Forholdet mellem tilsvarende liniestykker (for eksempel sider) i på hinanden følgende pentagrammer i figuren på side ... er 1/g2.

Den korteste vej fra et hjørne til centrum i pentagonsalen langs (uendelig mange) linier i pentagrammerne er netop længden af en væg (man kan benytte at 1 + k + k2 + k3 + ... = 1/(l - k) for |k| < 1 for k = 1/g2 (Appendiks 2) eller man kan argumentere geometrisk).

11 Der gælder:

fn-1fn+1 = fn2 + (-1)n

for n = 2, 3, 4, .... Det kan ses ved induktion (Appendiks 4): sæt Hn = fn-1fn+1 - fn2, da har vi at H2 = 1 og at Hn+1 = -Hn, formlen er derfor korrekt for n = 2, og hvis den er korrekt for n, er den korrekt for n + 1.

12 Af 11 følger at

|fn+1/fn - fn/fn-1| = 1/fn-1fn

Endvidere at alle tallene fn+1/fn for n ulige er mindre end alle tallene fn+1/fn for n ulige. Af disse to egenskaber følger at talfølgen fn+1/fn (n = 1, 2, 3, ...) er en fundamentalfølge. Den har derfor en grænseværdi, den har vi kaldt g. Vi har altså fn+1/fn < g for n ulige og g < fn+1/fn for n lige. For alle n gælder:

|fn - fn-1g| < 1/fn

Dette er Pythagoras' påstand på side ....

13 For et naturligt tal n forestiller vi os at n forskelige objekter stilles på rad og række. Vi tillader nu ombytning af naboobjekter. Eksempel: n = 5, oprindelig række 15423, række med ombytninger 15432 eller 51243. Ved hele tiden at udgå fra den oprindelige række, kan dannes ialt fn+1 rækker (den oprindelige række er inkluderet). Det kan ses induktion når man udnytter, at antallet af ombytninger er lig antallet af ombytninger hvor det sidste objekt bliver stående plus antallet af ombytninger hvor de to sidste objekter bytter plads.

Af denne egenskab ved fn (anvendt på m + n - 1 objekter delt op i m - 1 og n objekter) følger at

fm+n = fm-1fn + fmfn+1

specielt

f2n = fn(fn-1 + fn+1)

Af den første formel følger, at hvis m går op i n, så går fm op i fn (skriv n = km og benytte induktion med hensyn til k).

For to naturlige tal m og n betegner sfd(m, n) deres største fælles divisor, altså det største naturlige tal som går op i både m og n. m og n er indbyrdes primiske hvis sfd(m, n) = 1.

To på hinanden følgende fibonaccital fn og fn+1 er altid indbyrdes primiske (dette kan ses ved induktion: 1. f1 og f2 har ikke fælles divisorer, og 2. hvis fn og fn+1 ikke har fælles divisorer, så har fn+1 og fn+2 = fn + fn+1 heller ikke fælles divisorer). Mere generelt gælder at hvis m og n er indbyrdes primiske, så er fm og fn indbyrdes primiske. Det følger af denne smukke formel:

sfd(fm, fn) = fsfd(m, n)

Bevis: Anvendes formlen fm+n = fm-1fn + fmfn+1 på km + r, ses at sfd(fm, fn) = sfd(fm, fr) (for n = km + r). Herefter anvendes Euklid's algoritme (Appendiks 1) på tallene m og n.

Et fibonaccital er kun sjældent et primtal, men for ethvert primtal findes et fibonaccital som har dette som primfaktor (ikke svært at vise). Og for ethvert nyt fibonaccital "introduceres" (mindst) et nyt primtal, bortset fra 1, 8 og 144 (meget vanskeligt at vise).

14 Af 11 følger at i talrækken fn (n = 1, 2, 3, ...) er kvadratet på et tal næsten lig produktet af dets to nabotal. Men en talrække hvor denne betingelse præcis er opfyldt, er en kvotientrække, det vil sige en talrække af formen akn (n = 0, 1, 2, ...)(Appendiks 2). Så fn er altså næsten en kvotientrække, og der syntes at være en ganske bestemt kvotientrække som nærmer sig mere og mere til rækken fn. Vi skriver dette fn ≡ akn. Kvotienten k skal være g, da fn+1/fn nærmer sig mere og mere til g. Vi lader som om at fn = agn, og indsætter dette i formlen fn-1 + fn+1 = f2n/fn (13), og får at a må opfylde a(g + 1/g) = 1, altså a = g/(g + 2) = 1/√5. fn er nok tilnærmelsesvist lig (1/√5)gn. Det bevises her:

15 De to kvotientrækker

1    g    g2    g3 ...

og

1    -1/g    (-1/g)2    (-1/g)3 ...

har begge den egenskab at et tal er summen af de to foregående. Derfor må rækken f'n = agn + b(-1/g)n, n = 0, 1, 2, ... (a og b vilkårlige tal) have den samme egenskab. Hvis tallene a og b er således at a + b = 0 og ag + b(-1/g) = 1 er f'0 = 0 og f'1 = 1, og f'n er lig fibonaccirækken fn. Betingelserne for a og b betyder at a = 1/√5 og b = -1/√5. Vi har altså

fn = (1/√5)(gn - (-1/g)n)

- Binét's formel (1843).

16 Der gælder

∑ fn+1tn (n ≥ 0) = 1/(1 - t - t2)

for t tilhørende intervallet ]-g, 1/g[ (-g og 1/g er de to løsninger til andengrads-ligningen t2 + t - 1 = 0). Bevis: Ved at benytte definitionen af fn kan formlen skrives 1 + (∑ fntn - ∑ fn+1tn+1) = 1 + t(∑ fn+1tn+1 - ∑ fn-1tn-1), og her er tallene i parenteserne 0.

Hvis (n m) er koefficienterne i binomialformlen (a + b)n = ∑ (n i) an-ibi (sum over i fra 0 til n) (det vil sige (n m) = n(n - 1)...(n - (m-1))/m! = n!/(m!(n - m)!)), er

fn+1 = ∑ (n - i i) (sum over i fra 0 til [n/2])

Dette kan ses ved at skrive 1/(1 - t(1 + t)) = 1 + t(1 + t) + (t(1 + t))2 + ... (uendelig kvotientrække) og sætte (t(1 + t))n = ∑ (n i) tn+i og sammenligne med ∑ fn+1tn.

17 Det kugleformede legeme omtalt på side ... er et dodekaeder. Der kan indskrives en terning i det, og ved hjælp af denne kan man se at forholdet mellem diameteren i kuglen og diagonalen i femkanterne er √3. For h = √3 er h + 1 = 2 + 1/(1 + 1/(h + 1)), heraf fås Hippias' kædebrøk for √3.

18 Hippias' første påstand om den besynderlige figur på side ..., altså at forholdet mellem "radius" af den uendelige figur og radius af den store femkant, er tre gange forholdet mellem en side og en diagonal i en femkant - det vil sige 3/g - følger af at forholdet mellem tilsvarende liniestykker i på hinanden følgende femkanter er 1/g2 og af formlen for summen af en uendelig kvotientrække. Omkredsen af hver af disse figurer er en polygon og disse vil nærme sig mere og mere til en bestemt punktmængde. Et punkt i denne vil vi kalde endeligt hvis det ligger på en af polygonerne, i modsat fald vil vi kalde det et grænsepunkt. Til et endeligt punkt kan man knytte et (entydigt bestemt) "ordenstal" n (= 0, 1, 2, ...). For n = 2, 3, ... er længden af alle n-te ordens punkter lig med 3/g2 (= 1,1459...) gange længden af alle (n-1)-te ordens punkter - det kan ses uden udregninger. Men så kan vi udregne hvormange "lag" der skal medtages førend omkredsen overstiger Jordens omkreds - hvis figuren har samme størrelse som den på forsiden af bogen, er antallet omkring 140.

Til ethvert grænsepunkt svarer et punkt på en femkant, og omvendt - og dette således at "rækkefølgen" af punkterne bevares. Til et grænsepunkt kan nemlig knyttes en side i femkanten og en uendelig følge af tal a1, a2, a3, ..., hvor an er et af tallene 0, 1, 2 - og omvendt. Men en sådan uendelig talfølge er en cifferfølge af formen 0,... i 3-tal-systemet, og disse cifferfølger kan knyttes sammen med punkterne på et (vilkårligt) liniestykke (side ...) - vi finder punktet ved successiv 3-deling af liniestykket. Et delingspunkt ved en sådan deling af en side i femkanten vil dog svare til to forskellige grænsepunkter. Visse grænsepunkter kunne man kalde rationale eller periodiske - for eksempel er toppunktet rationalt. For et givet antal lag er figuren en polygon (og alle dens punkter er endelige), og omkredsen af disse polygoner vokser som sagt imod det uendelige når antallet af lag vokser. Mængden af grænsepunkter derimod, er en ganske bestemt mængde, og da denne mængde står i nær forbindelse med punkterne på en (vilkårlig) femkant, bør den siges at have endelig udstrækning.

19 Denne opgave er for forskeren. Goldbachs formodning (side ...) siger at "ethvert lige tal kan skrives som summen af to primtal" (for eksempel 18 = 5 + 13). Følgende problem er inspireret af Goldbachs formodning: "ethvert naturligt tal kan skrives som summen af et a-tal og et b-tal" (for eksempel 18 = 8 + 10). Når man skal løse et sådant problem starter man naturligvis med en computerundersøgelse. Man laver et program som for et naturligt tal n optæller hvor mange par (i, j) (i,j ≥ 1) der findes således at n = ai + bj - vi kalder dette antal tn. Det viser sig at for nogle n er tn = 0, så vores formodning er altså forkert. Men det viser sig også, at rækken af de n-er for hvilke tn = 0 er uendelig og sammensat af par fra spillets række

(1    2)    (4    7)    (12    20) ...

- og det bemærkes at denne talrækkes struktur er version af fibonacci-måden, idet ethvert tal er summen af de to foregående + 1. Rækken af de n-er for hvilke tn = 1 og rækken af de n-er for hvilke tn = 2 er indrettet på ganske samme måde - rækkerne begynder med henh. (3  5) og (6  10). Men herefter kommer der uregelmæssigheder. Der findes kun ét n således at tn = 3, nemlig n = 8. Der er mange n således at tn = 4, og rækken har ingen genkendelig struktur. Der er ingen n således at tn = 5. Der er kun ét n således at tn = 6, nemlig n = 16. Rækken af de n-er for hvilke tn = 7, er indrettet på samme regelmæssige måde som de tre første, og den begynder med parret (19  31) i spillets række. Men herefter synes det at være slut med regelmæssigheden.




Appendiks

1 Kædebrøker Vi ved ikke om der i oldtiden har forekommet noget som svarer til vore uendelige kædebrøker (jvf. Hippias' kædebrøker), vi ser dem først fra omkring år 1600, men kædebrøksprincippet har været kendt. Hvis vi har to pinde A og B, således at A er længere end B, og skal finde forholdet mellem deres længder, men ikke har noget redskab udover at vi kan sætte mærker på pindene, så finder vi først hvor mange hele gange B er indeholdt i A - dette antal kaldes k1. Der bliver muligvis en rest r som er mindre end B. Vi finder hvor mange hele gange denne rest er indeholdt i B - dette antal kaldes k2. Der bliver muligvis igen en rest r som er mindre end den første rest. Vi finder hvor mange hele gange denne sidste rest er indeholdt i den foregående rest - dette antal kaldes k3. Og så videre. Efter et antal n gange er den sidste rest i praksis lig med 0. Længden af A i forhold til B er da givet ved kædebrøken

k1 + 1/(k2 + 1/(k3 + 1/(k4 + 1/( ... + 1/kn)...))).

I figuren er A/B = 1 + 1/(2 + 1/3) = 1 + 3/7 = 10/7.

Bemærk at hvis processen ender, er den sidste rest ≠ 0 netop det største liniestykke som er indeholdt et helt antal gange i både A og B.

Denne fremgangsmåde er - i hvert fald når det gælder det simpleste tilfælde n = 2 - ældgammel. Aristoteles omtaler den og kalder den antanairesis ("vekselvis borttagning"). Under navnet Euklids algoritme bruges den til at finde den største fælles divisor for to naturlige tal A og B, denne er den sidste rest ≠ 0.

Hvis de to liniestykker A og B er inkommensurable vil ingen rest blive 0, og processen kan fortsættes i det uendelige. Tilfældet hvor A og B er diagonalen og siden i et pentagram, er det tilfælde hvor antanairesis lader sig udføre med simplest mulige geometriske overvejelser, idet alle k-værdier er 1. Muligvis har Theodoros (side ...) brugt antanairesis i sine beviser for at √n for visse naturlige tal n er irrationalt. Han ville da have bemærket en gentagelsesstruktur i talrækken k1, k2, k3, ... (jvf. Hippias' kædebrøker) - dette skyldes at tallet er "kvadratisk".

Kædebrøken ovenfor noteres [k1, k2, k3, ..., kn], ki er naturlige tal, k1 kan dog være 0.

Enhver kædebrøk - endelig [k1, k2, k3, ..., kn] eller uendelig [k1, k2, k3, ...] - bestemmer et positivt reelt tal x. Tallet x er rationalt hvis og kun hvis kædebrøken er endelig:

Endelig kædebrøk Hvis kædebrøken er endelig findes x således: sæt x = kn og gør følgende fra i = n - 1 ned til i = 1: "udregn ki + 1/x og kald dette tal x".

Eksempel: Kædebrøken 1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + 1/2))) skrives [1, 2 ,2, 2, 2], og vi får følgende x-er: 2 + 1/2 = 5/2, 2 + 1/(5/2) = 12/5, 2 + 1/(12/5) = 29/12 og 1 + 1/(29/12) = 41/29. Hvis vi kvadrerer dette tal får vi 1,99881..., så den uendelige kædebrøk [1, 2, 2, 2, ...] fremstiller nok √2. Hvis vi kalder den uendelige kædebrøks tal x, ser vi at x + 1 = 2 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + ...)))). Men da tallet i den yderste parentes er lig hele tallet på højre side, som igen er lig x + 1, ser vi at x + 1 = 2 + 1/(x + 1), altså (x + 1)2 = 2(x + 1) + 1 eller x2 = 2.

Uendelig kædebrøk Hvis kædebrøken er uendelig skal vi se at talfølgen an = [k1, k2, k3, ..., kn] (n = 1, 2 , 3, ...) er en fundamentalfølge. Hvis talfølgerne pn og qn (n = 0, 1, 2, ...) defineres rekursivt ved:

p0 = 1, p1 = k1, pn = pn-1kn + pn-2 (for n = 2, 3, ...)

og

q0 = 0, q1 = 1, qn = qn-1kn + qn-2 (for n = 2, 3, ...)

er an = pn/qn. Dannes talpar af pn og qn, kan rekursionsformlen skrives (pn  qn) = kn(pn-1  qn-1) + (pn-2  qn-2) (se side ...). Talfølgerne pn og qn opfylder:

pnqn+1 - pn+1qn = (-1)n

(kan vises ved induktion). Denne ligning kan skrives

pn/qn - pn+1/qn+1 = (-1)n/qnqn+1

Heraf følger at alle an for n ulige er mindre end alle an for n lige. Derfor er |am - an| < 2/q2, hvor q er det mindste af tallene qm og qn, og da qn-erne vokser imod uendelig er talfølgen an en fundamentalfølge. Den bestemmer et reelt tal x som vi kalder værdien af den uendelige kædebrøk. an-erne nærmer sig til x således:

a1 < a3 < a5 < ... < x < ... < a6 < a4 < a2

Og da enhver brøk i intervallet ]an, an+1[ har nævner større end qn, kan x ikke være rational.

Da an+1 - an = (-1)n+1/qnqn+1, har vi en uendelig rækkefremstilling af x:

x = k1 + 1/(q1q2) - 1/(q2q3) + 1/(q3q4) - ...

For den uendelige kædebrøk [1, 1, 1, ...] er pn = fn+1 og qn = fn, og vi har formlerne i Iagtagelse 12.

Omvendt kan ethvert positivt reelt tal x skrives entydigt på kædebrøksform (der bliver dog en lille tvetydighed når tallet er rationalt). k-erne i kædebrøksudviklingen for x fås ved successivt at gøre følgende: "k = [x], udregn 1/(x - k) og kald dette tal x" (det kan skrives k := [x], x := 1/(x - k)).

Eksempel: For tallet π er lyder proceduren:

[π] = 3      x := 1/(π - 3) (x = 7,06251...)

[x] = 7      x := 1/(x - 7) (x = 15,99659...)

[x] = 15      x := 1/(x - 15) (x = 1,00341...)

[x] = 1      x := 1/(x - 1) (x = 292,65471...)

[x] = 292 og så videre.

Altså π = [3, 7, 15, 1, 292, ...].

Hvis vi udregner denne del af den uendelige kædebrøk (som ovenfor) får vi: 293/292, 4687/293, 33102/4687, 103993/33102 = 3,141592653..., dette tal afviger mindre end 0,000000001 fra tallet π. Bemærk at [3, 7] = 3+1/7 = 22/7.


2 Uendelige rækker og produkter Et konkret irrationalt tal er ofte givet i form af en uendelig række eller et uendeligt produkt.

En uendelig række er et symbolsk udtryk a1 + a2 + a3 + ... bestemt ved en uendelig følge af reelle tal a1, a2, a3, .... Rækken kaldes konvergent med summen s, hvis talfølgen sn = a1 + a2 + ... + an (n = 1, 2, 3, ...) er konvergent med grænseværdien s, og man skriver s = a1 + a2 + a3 + ....

Hvis tallene a1, a2, a3, ... er skiftevis positive og negative og deres absolutværdi aftager jævnt imod 0, er rækken konvergent.

Eksempel: Rækkeudvikling for g (Appendiks 1):

g = 1 + 1/(1∙1) - 1/(1∙2) + 1/(2∙3) - 1/(3∙5) + ... + (-1)n+1/(fnfn+1) + ...

Eksempel: Rækkeudvikling for π (Leibniz, 1600-tallet):

π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... (sum over de ulige tal)

Rækkerne 1 - 1 + 1 - 1 + ... og 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... er divergente (der vil sige ikke-konvergente) - for den sidste ses dette ved at man opspalter den i blokke af formen 1/(n + 1) + 1/(n + 2) + ... + 1/(2n) og udnytter at dette tal er > 1/2.

En endelig eller uendelig sum hvor hvert led er det foregående led gange et bestemt tal k (kvotienten) kaldes en kvotientrække (eller geometrisk række):

a + ak + ak2 + ak3 + ... + akn

For k ≠ 1 er summen af disse tal a(1 - kn+1)/(1 - k) (gang med 1 - k på begge sider af lighedstegnet). Når |k| < 1 vil kn konvergere imod 0 når n går mod uendelig, så derfor er

a + ak + ak2 + ak3 + ... = a/(1 - k)

Hvis der for den uendelige række a1 + a2 + a3 + ... findes tal c > 0 og k < 1 således at |an| ≤ ckn for alle n større end et vist tal, da er rækken konvergent.

Eksempel: En uendelig decimalbrøk mellem 0 og 1 (c = 9 og k = 1/10).

Eksempel: 1 + 1/1 + 1/(1∙2) + 1/(1∙2∙3) + .... Her kan c og k vælges helt vilkårligt, og summen er grundtallet e = 2,718281828... for den naturlige logaritme.

Eksempel: Rækken i udviklingen for g hvor minus-tegnene erstattes med plus-tegn. Vælg k således at 1/g2 < k < 1, da er 1/(fnfn+1) < 1/fn2 < 5kn, for n større end et vist tal (se Iagtagelse 15). En computerudregning viser at summen er 1,773877....

Et uendeligt produkt er et symbolsk udtryk a1∙a2∙a3∙... bestemt ved en uendelig følge af positive relle tal a1, a2, a3, .... Produktet kaldes konvergent med produktet p, hvis talfølgen pn = a1∙a2∙...∙an (n = 1, 2, 3, ...) er konvergent med grænseværdien p, og man skriver p = a1∙a2∙a3∙....

Hvis tallene er skiftevis større end og mindre end 1 og deres afstand fra 1 aftager jævnt imod 0, er produktet konvergent.

Eksempel: Produktudvikling for g:

g = (1 + 1/12)(1 - 1/22)(1 + 1/32)(1 - 1/52)...(1 + (-1)n+1/fn+12)...

= 2∙(3/4)∙(10/9)∙(24/25)∙(65/64)∙...

(Af formlen fn-1fn+1 = fn2 + (-1)n (Iagtagelse 11) ses at 1 + (-1)n+1/fn+12 = (fn+12 + (-1)n+1)/fn+12 = fnfn+2/fn+12 =(fn/fn+1)(fn+2/fn+1), hvilket betyder at produktet af de n første faktorer er fn+2/fn+1, idet det øvrige ophæver hinanden.)

Eksempel: Produktudvikling for π (Wallis, 1600-tallet):

π/4 = (2/3)(4/3)(4/5)(6/5)(6/7)(8/7)...((2n)/(2n+1))((2n+2)/(2n+1))...

Hvis der for det uendelige produkt a1∙a2∙a3∙... findes tal c > 0 og k < 1 således at max(an,1/an) ≤ ckn for alle n større end et vist tal, da er produktet konvergent. Dette følger af at produktet a1∙a2∙a3∙... er konvergent hvis og kun hvis rækken log a1 + log a2 + log a3 + ... er konvergent, og ovennævnte resultat anvendt på denne række.

Eksempel: Produktet i produktudviklingen for g hvor minus-tegnene erstattes med plus-tegn. Vælg k som i rækkeudviklingen for g hvor minus-tegnene erstattes med plus-tegn, da er 1 + 1/fn2 ≤ 1 + 5kn ≤ (1 + 5)kn. En computerudregning viser at produktet er 2,9622238....


3 Eksakt definition af de naturlige tal, de hele tal, de rationale tal og de reelle tal Vi har set hvordan Dedekind og Cantor gav præcise definitioner af de reelle tal. Disse definitioner forudsætter dog at de rationale tal er præcist defineret, og for at definere de rationale tal må vi allerførst definere de naturlige tal, og dette kan indenfor mængdelæren gøres således (som tidligere skitseret):

Lad Ø betegne den tomme mængde, og, hvis x er en mængde, lad x' betegne mængden "x forenet med {x}" - x er altså både element i x' og indeholdt i x'. En mængde E kaldes en efterfølgermængde, hvis Ø ε E og hvis x ε E => x' ε E.

Eksistensen af mængden af de naturlige tal bygger på følgende aksiom fra mængdelæren

Uendelighedsaksiomet: Der findes en efterfølgermængde

Vi vælger en sådan og kalder den E. Fællesmængden af alle delmængder af E som selv er efterfølgermængder, er en efterfølgermængde, og den er minimal med den egenskab at være efterfølgermængde (og er derfor entydigt bestemt), og den betegnes IN.

Elementet Ø betegnes 0, elementet 0' = "Ø forenet med {Ø}" = {0} betegnes 1, elementet 1' = "1 forenet med {1}" = {0, 1} betegnes 2, elementet 2' = "2 forenet med {2}" = {0, 1, 2} betegnes 3, og så videre. Bemærk at 0 ε 1 ε 2 ε .... Da IN er minimal med den egenskab at være efterfølgermængde, indeholder IN ikke andre elementer end dem vi kan nå frem til på denne måde, altså er IN = {0, 1, 2, 3, ...}.

Denne mængde betegnes dog normalt IN0, idet IN betegner mængden uden tallet 0. IN kaldes "mængden af de naturlige tal" og er altså mængden {1, 2, 3, ...}. Vi kan godt opfatte IN som en efterfølgermængde, da der er et første naturligt tal og da ethvert naturligt tal har en efterfølger.

Additionen (på IN0) kan defineres således: n + 0 = n, n + 1 = n', n + 2 = (n + 1)', n + 3 = (n + 2)', og så videre. Og når additionen er defineret, kan multiplikation defineres således: 0n = 0, 1n = n, 2n = n + n, 3n = 2n + n, og så videre. Ordensrelationen ≤ er simpelthen givet ved m ≤ n <=> m indeholdt i n (eller m ε n).

Når de naturlige tal er defineret, kan et helt tal defineres som et ordnet par (a, b) hvor a og b er naturlige tal, og hvor (a, b) regnes for at være lig (a', b') hvis a + b' = a' + b ((a, b) svarer til det hele tal a - b). Summen af (a, b) og (a', b') defineres som (a + a', b + b') og produktet af (a, b) og (a', b') defineres som (aa' + bb', a'b + ab'). Ordensrelationen ≤ defineres ved (a, b) ≤ (a', b') <=> a + b' ≤ a' + b.

Et rationalt tal kan herefter defineres som et ordnet par (p, q) hvor p og q er hele tal og q > 0, og hvor (p, q) regnes for at være lig (p', q') hvis pq' = p'q ((p, q) svarer til det rationale tal p/q). Summen af (p, q) og (p', q') defineres som (pq' + p'q, qq') og produktet af (p, q) og (p', q') defineres som (pp', qq'). Ordensrelationen ≤ defineres ved (p, q) ≤ (p', q') <=> pq' ≤ p'q.

Et reelt tal kan defineres enten som en "venstre Dedekind-klasse uden største element" eller som en ækvivalensklasse af "fundamentalfølger af rationale tal".

En venstre Dedekind-klasse er en ikke-tom delmængde V af de rationale tal, således hvis et rationalt tal q er mindre end et element i V, så er q selv element i V. Og at V ikke har noget største element betyder at for ethvert element v i V findes et element i V som er større end v. En fundamentalfølge an (n = 1, 2, 3, ...) er en følge således at for ethvert (lille) positivt tal ε findes et (stort) naturligt tal N således |ai - aj| < ε når i,j > N, og fundamentalfølgerne er opdelt i ækvivalensklasser, idet {an} og {bn} er ækvivalente når der for ethvert (lille) positivt tal ε findes et (stort) naturligt tal N således |ai - bi| < ε når i > N.

Hvis man i det første tilfælde har to venstreklasser V og W, så defineres deres sum og produkt som mængden af de rationale tal som er henh. sum og produkt af et tal i V og et tal i W, og ordensrelationen ≤ defineres ved V ≤ W hvis V er indeholdt i W. Hvis man i det andet tilfælde har to fundamentalfølger {an} og {bn}, så defineres deres sum og produkt som ækvivalensklassen indeholdende henh. følgen {an + bn} og følgen {anbn}, og ordensrelationen ≤ defineres ved {an} ≤ {bn}, hvis der for ethvert (lille) positivt tal ε findes et (stort) naturligt tal N således ai < bi + ε når i > N.

De grundlæggende regneregler for +, ∙ og ≤ er (vi skriver ab i stedet for a∙b):

a + b = b + a (additionen er kommutativ)

(a + b) + c = a + (b + c) (additionen er associativ)

0 + a = a (0 er neutralt element for addition)

for ethvert a findes et b således at a + b = 0 (ethvert element har et modsat element ved addition, b er entydigt bestemt og betegnes -a)

ab = ba (multiplikationen er kommutativ)

(ab)c = a(bc) (multiplikationen er associative)

1a = a (1 er neutralt element for multiplikation)

for ethvert a ≠ 0 findes et b således at ab = 1 (ethvert element forskelligt fra 0 har et modsat element ved multiplikation, b er entydigt bestemt og betegnes a-1)

a(b + c) = (ab) + (ac) (additionen er distributiv over multiplikationen)

a ≤ a (ordensrelationen er refleksiv)

a ≤ b og b ≤ c => a ≤ c (ordensrelationen er transitiv)

a ≤ b og b ≤ a => a = b (ordensrelationen er ikke-symmetrisk)

a ≤ b eller b ≤ a (ordensrelationen er total)

a ≤ b => a + c ≤ b + c (ordensrelationen bevares ved addition)

a ≤ b og 0 ≤ c => ac ≤ bc (ordensrelationen bevares ved multiplikation med positive tal)

Disse regneregler er ganske de samme for de rationale tal. Det der adskiller de reelle tal fra de rationale tal er præcis følgende egenskab

Kontinuitetsegenskaben: enhver opad begrænset mængde af reelle tal har et mindste overtal

Opad begrænset betyder at der findes et reelt tal som er større end alle tallene i mængden, og mindste overtal betyder at der findes et mindste sådant tal. Egenskaben kan naturligvis erstattes med: enhver nedad begrænset mængde af reelle tal har et største undertal.

Denne egenskab er ensbetydende med

Arkimedesegenskaben: for ethvert reelt tal findes et naturligt tal som er større end dette tal

Bevis

Fuldstændighedsegenskaben => arkimedesegenskaben: Hvis der er et reelt tal som er større end ethvert naturligt tal, er mængden af de naturlige tal opad begrænset, og har derfor et mindste overtal x. For et naturligt tal n gælder n ≤ x, og ligeledes n + 1 ≤ x, men så er n ≤ x - 1 < x, og så er x ikke et mindste overtal for mængden af de naturlige tal.

Arkimedesegenskaben => fuldstændighedsegenskaben: Lad A være en mængde af reelle tal som er opad begrænset, vi kan antage at A indeholder positive tal. Lad q være et (stort) naturligt tal, da A er opad begrænset findes et naturligt tal p således at p/q ≥ ethvert tal i A, og vi kan vælge p således at p er mindst muligt. Derfor findes et tal x i A således at x > (p - 1)/q, og x opfylder altså (p - 1)/q < x ≤ p/q. Differensen mellem x og p/q er mindre end 1/q. Hvis vi vælger q større og større får vi på denne måde en følge af rationale tal p/q som er en fundamentalfølge (da de følgende tal tilhører [(p - 1)/q, p/q]) og som derfor bestemmer et reelt tal a. Tallet a er mindste overtal for A (da alle p/q er et overtal for A og da hvert interval [(p - 1)/q, p/q] indeholder et tal i A).

Vi har i ovenfor defineret de reelle tal, nemlig ud fra de naturlige tal, og det er sket indenfor mængdelæren, og mængdelæren har vi indført aksiomatisk som en formal teori (for eksempel Zermelo-Fraenkels aksiomsystem ZF). Vi kunne imidlertid også have indført de naturlige tal eller de reelle tal aksiomatisk som selvstændige formale teorier - uden den komplette mængdelære. En formal teori for de naturlige tal kaldes aritmetikken, og en formal teori for de reelle tal kaldes analysen. I aritmetikken kan man bevise en stor mangfoldighed af talteoretiske sætninger (men næppe Goldbachs formodning), og i analysen kan man bevise de fleste af den matematiske analyses sætninger (men der er sætninger som kun kan bevises hvis man udvider teorien til de komplekse tal). I en sådan teori må vi dog have noget mængdelære med, da vi jo skal kunne tale om en mængde af tal. Men en sådan er det samme som et udsagn p(x) hvor x er et tal (idet p(x) er sandt når x tilhører mængden og ellers falsk). Vi må altså, foruden de variable som repræsenterer tal, have variable som repræsenterer udsagn - endda udsagn af alle tænkelige typer, da der i teorien skal kunne dannes udsagn med variable som kan være af alle tænkelige kombinationer af tal og udsagn. Vores formale teori består af tegnstrenge, og det må præciseres hvilke tegn de består af og hvilke regler der skal følges ved deres dannelse:

1. Tegnene er blandt andet: talvariable og udsagnsvariable, talkonstanter og udsagnskonstanter: 0 (tallet 0) og ' (efterfølger) i tilfældet aritmetikken, og < (mindre end), s (sum) og p (produkt) i tilfældet analysen. De logiske tegn (for eksempel =>), samt parenteser, komma, ^(cirkumflex).

2. Reglerne for dannelse af termer er blandt andet: talvariable og 0 er taltermer, udsagnsvariable og udsagnskonstanter er udsagnstermer, hvis p(x) er et udsagn eller en udsagnsterm er p(x^) en udsagnsterm (i p(x^, y) er x bundet og y fri).

3. Reglerne for dannelse af udsagn er blandt andet: hvis a og b er termer er "a = b" et udsagn, en udsagnsterm uden variable med ^ er et udsagn, hvis p og q er udsagn er "p => q" et udsagn.

4. De implicite (= logiske) aksiomer er blandt andet "x = x" og "p => (p eller q)" og hvis p(x) er et udsagn og a er en talterm, gælder "p(x^)(a) <=> p(a)".

5. De logiske slutningsregler er blandt andet modus ponens: hvis p og "p => q", så q.

6. De eksplicite aksiomer er blandt andet: for "x findes et og kun et y således at '(x, y)" (efterfølgeren, y skrives x') og "x' ≠ 0" i tilfældet aritmetikken, og "for x og y findes et og kun et z således at s(x, y, z)" (sum, z skrives x + y) og "x + y = y + x" i tilfældet analysen.

Aritmetikken og analysen vil (ligesom mængdelæren) have uendelig mange modeller. Dette er som sagt nødvendigt, for hvis et formalt udsagn ikke kan bevises, så må der findes en model hvori udsagnet er falsk, og det er ved at konstruere en sådan model, at man kan bevise at udsagnet ikke er et teorem. Der er dog entydigt bestemte modeller som er det vi sædvanligvis forstår ved "de naturlige tal" og "de reelle tal" - disse er teoriernes intenderede modeller. I de øvrige modeller for aritmetikken og analysen kan der være uendelige naturlige tal - en sådan model kaldes en ikke-standard model.

En ikke-standard model *IR for analysen har infinitesimale reelle tal, det er tal dx således at |dx| er mindre end ethvert positivt standard reelt tal. Når man betjener sig af ikke-standard analyse kan alt hvad der har med grænseovergang at gøre forenkles. Der er en efterfølgermængde *IN i *IR, indeholdene IN og svarende til IN, idet der for ethvert x ε *IR er et n ε *IN således at x < n. Men ordensrelationen på *IN er ikke en velordnethedsrelation: for et uendeligt naturligt tal N er tallene N+n og N-n (n ε IN) også naturlige tal, de uendelige naturlige tal kan altså opdeles i "eksemplarer" af de sædvanlige hele tal, og disse eksemplarer kan parametriseres ved de sædvanlige rationale tal. To ikke-standard reelle tal x og y tilhører samme monade hvis deres differens er infinitesimal - det skrives x ≈ y. Hvis x ε *IR er endeligt, indeholder dets monade et standard reelt tal, dette kaldes standarddelen af x og betegnes °(x). En standard talfølge an (n = 1, 2, 3, ...) kan entydigt udvides til en talfølge af ikke-standard reelle tal hvor n-erne gennemløber *IN, og at an er konvergent med grænseværdien a er ensbetydende med at an ≈ a når n er uendelig. En standard reel funktion f(x) kan entydigt udvides til en ikke-standard reel funktion, og at f(x) er kontinuert i x = a er ensbetydende med at f(x) ≈ f(a) når x ≈ a. f(x) er differentiabel i x = a med differentialkvotient k hvis (f(a + dx) - f(a))/dx ≈ k for dx infinitesimal og ≠ 0. Reglen dxn/dx = nxn-1 bevises således (idet vi benytter binomialformlen): ((x + dx)n - xn)/dx = (nxn+1dx + ... + (dx)n)/dx = nxn+1 + dx(...), og her er dx(...) ≈ 0 og kan derfor bortkastes - på samme måde som vi bortkaster decimaler når vi kun er interesserede i hele tal. Sumformlen for en kvotientrække: 1 + x + x2 + x3 + ... + xn = (1 - xn+1)/(1 - x) gælder for alle x ≠ 1 - også selvom n er uendelig. Hvis x er et standard reelt tal og |x| < 1 og n er uendelig, er xn+1 ≈ 0 og kan bortkastes. Eksponentialfunktionen kan defineres ved exp(x) = °((1 + x/n)n) for n uendelig. Mængden af ikke-standard reelle tal *IR kan for eksempel konstrueres således: Lad U være en mængde af delmængder af IN således at fællesmængden af to mængder i U tilhører U og således af hvis en mængde ikke tilhører U så tilhører dens komplementærmængde U (U er et ultrafilter på IN, U må dog ikke være principal, altså således at U består at alle de mængder som indeholder et givet naturligt tal - U kan kun dannes ved brug af udvalgsaksiomet). Så består *IR af mængden af funktioner x fra IN ind i IR, idet x, y ε *IR er ækvivalente hvis {n | x(n) = y(n)} ε U. Ordensrelationen < på *IR defineres ved: x < y <=> {n | x(n) < y(n)} ε U. Til et standard reelt tal x svarer den identiske funktion n → x. Funktionen c(n) = n er et uendeligt (naturligt) tal, og 1/c er et infinitesimalt reelt tal. For ethvert positivt standard reelt tal x gælder altså 1/c < x < c.

Analysens entydigt bestemte model IR således at dens naturlige tal er den mindste efterfølgermængde IN, kan karakteriseres således: Lad IR være en mængde, lad +: IRxIR → IR og ∙: IRxIR → IR være funktioner og lad ≤ være en delmængde af IRxIR (en relation), således at alle de anførte regneregler samt kontinuitetsegenskaben gælder. De neutrale elementer 0 og 1 mht. addition og multiplikation er entydigt bestemte, og IN = {1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, ...}. Det ordnede kvadrupel (IR, +, ∙, ≤) er i så fald et kommutativt og fuldstændigt ordnet legeme, og (IR, +, ∙, ≤) er entydigt bestemt ved disse krav: hvis (IR', +', ∙', ≤') opfylder de samme betingelser, findes en entydigt bestemt bijektiv afbildning fra IR til IR' som overfører +, ∙ og ≤ i +', ∙' og ≤'.

4 Induktionsbeviset Mængden af de naturlige tal IN har som nævnt følgende fundamentale egenskab

Hvis A er en delmængde af IN således at 1 ε A og således at n ε A => n + 1 ε A, da er A = IN

Denne egenskab kan generaliseres til de hele tal: Lad A være en mængde af hele tal og lad m være et helt tal i A: hvis n ε A => n + 1 ε A , da er mængden af de hele tal n ≥ m indeholdt i A, og tilsvarende, hvis n ε A => n - 1 ε A , da er mængden af de hele tal ≤ m indeholdt i A.

Ved hjælp af denne egenskab kan man af og til bevise at et udsagn p(n) som har mening for alle hele tal n ≥ m (eller n ≤ m) er sandt for alle disse tal: man beviser at p(m) er sand, og hvis man kan bevise at p(n) sand => p(n + 1) sand, så er det bevist at p(n) er sand for alle n ≥ m. Denne bevismåde er først omtalt af Pascal.

Eksempler:

For et naturligt tal n er

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2

Formlen er sand for n = 1. Ved at addere n + 1 til på begge sider af lighedstegnet får vi at 1 + 2 + 3 + ... + n + (n + 1)= n(n + 1)/2 + (n + 1) = (n + 1)(n + 2)/2, så hvis formlen er sand for n, så er den sand for n + 1.

For et naturligt tal n er

1/(1∙1) - 1/(1∙2) + 1/(2∙3) - ... + (-1)n+1/(fnfn+1) = fn/fn+1

Formlen er sand for n = 1. Ved at addere (-1)n+2/(fn+1fn+2) til på begge sider af lighedstegnet og benytte formlen i Iagtagelse 11, ses at hvis formlen er sand for n, så er den sand for n + 1.


5 Cifferfremstilling af et reelt tal Lad e være et naturligt tal > 1. For 0 og ethvert af de naturlige tal mindre end e vælges et skrifttegn - et ciffer - (således at forskellige tal har forskellige cifre og således at cifrene hørende til 0 og 1 betegnes 0 og 1). Vi identificerer et tal med dets ciffer og betegner denne mængde C (for eksempel e = 10 og C = {0, 1, 2, ..., 9}). Lad m være et helt tal og lad ai være en funktion fra de hele tal ≤ m ind i C, da er den uendelige række

amem + am-1em-1 + ... + a1e + a0 + a-1e-1 + ...

konvergent (Appendiks 2), og dens sum (som er et reelt tal ≥ 0) symboliserer vi

amam-1...a1a0,a-1a-2...

(hvis m < 0 skriver vi 0,0...0amam-1...).

Ethvert reelt tal x ≥ 0 kan skrives på denne måde: m er det største hele tal således at em ≤ x, og funktionen ai findes ved at gøre følgende for i = m, m - 1, m - 2, ...: "lad ai være det største ciffer således at aiei ≤ x og erstat x - aiei med x".

Tallet er rationalt hvis og kun hvis dets cifferfremstilling er periodisk, hvilket vil sige at der findes et helt tal j ≤ m og et naturligt tal k (periodelængden) således at cifrene for i ≤ j - k er en gentagelse af blokken ajaj-1...aj-(k-1). Hvis j = m kaldes tallet rent periodisk.

Bevis

x periodisk => x rational:

Hvis x er periodisk er x = a + y, hvor a har endelig cifferfremstilling og y er rent periodisk. Hvis y har periodelængde k er eky - y hel, og hvis dette hele tal er h, er y = h/(ek - 1), altså er y og dermed x rational.

x rational => x periodisk:

Lad x være brøken p/q. For et naturligt tal n er enp/q = N + a/q, hvor N og a er naturlige tal eller 0 og a < q, og en sådan dekomposition er entydig. Der må findes to forskellige n-er som giver samme a-er, da der er uendelig mange n-er men kun endelig mange a-er, altså: enp/q = N + a/q og en'p/q = N' + a/q (n' > n). Sættes k = n' - n, har vi en'p/q = (N' - N)/(1 - 1/ek). 1/(1 - 1/ek) er periodisk, da dette tal er 1,0...010...010... (k-1 0-er imellem 1-tallerne)(fordi dette at gange eller dividere med e svarer til at rykke kommaet én plads til henh. venstre og højre), og da et periodisk tal gange et naturligt tal er periodisk, er en'p/q periodisk, så derfor er p/q periodisk.




De sidste minutter af en matematiktime

    Læreren: ... når vi altså skriver et irrationalt tal som en decimalbrøk, vil den være uendelig og ikke-periodisk - for hvis den er periodisk har vi jo set at den svarer den til et rationalt tal - de irrationale tal er altså præcis alle de ikke-periodiske uendelige decimalbrøker - og alle tallene - altså det vi kalder de reelle tal - udgøres af alle tænkelige endelige eller uendelige decimalbrøker.

    En elev: Alle tænkelige? - hvordan skal det forstås? - der kan jo være uendelig mange cifre i et tal - der skal vel være et eller andet system i cifferrækken, så man i det mindste i princippet kan skrive tallet op.

   — Jah - øh - næh - der behøver ikke at være noget system i cifferrækken - øh - som vi kan fatte - cifferrækken kan godt være uendelig indviklet - det er ikke alle irrationale tal man kan skrive op - ja det er faktisk kun de færreste - vi har jo set at mængden af de reelle tal er ikke-tællelig, og ...

   — Ja, men hvis man ikke på en eller anden måde kan redegøre for tallet - for eksempel lave et computerprogram som spytter cifrene ud en efter en, eller lave en beskrivelse som helt udtømmende karakteriserer tallet, så eksisterer tallet da ikke.

   — Joh - man har vedtaget at de reelle tal er alle tænkelige endelige og uendelige decimalbrøker - også de uendelige decimalbrøker som er uendelig indviklede og som vi mennesker ikke kan gøre rede for.

   — Jamen hva' ska' vi bruge et tal til som vi ikke ka' fatte? - og hvis jeg nu siger at jeg kun tror på noget som jeg ka' ta' og føle på - hva' så?

   — Så er du ikke i overensstemmelse med matematikernes praksis - og så kan det komme til at gå dig meget ilde til eksamen - haha.

   — Jamen hør nu her! - alle de irrationale tal som vi overhovedet støder på - for eksempel √2 eller π - dem er der et bestemt system i - vi kan i princippet udregne lige så mange cifre det skal være - og uanset hvordan vi regner og regerer med irrationale tal, så vil vi da aldrig kunne komme frem til et som der ikke er noget system i.

   — Man har vedtaget at alle de uendelige decimalbrøker skal med.

   — Jamen hvorfor? - hvad skal de gøre godt for?

   — Øh - jo, hvis vi har en voksende kontinuert funktion f(x) som er defineret på intervallet [0, 1] og som er mindre end 0 for x = 0 og større end 0 for x = 1, så skal den skære x-aksen - der skal være en x-værdi a således at f(a) = 0, men vi kan kun være sikre på at der findes et sådant tal a, når vi lader de reelle tal være alle tænkelige uendelige decimalbrøker.

   — Jatak! - alle tænkelige - lige netop! - men for fanden da ikke også de utænkelige - enhver tænkelig funktion ka' beskrives på en eller anden måde - hvor sku' en funktion der ikke ka' beskrives komme fra? - og hvis funktionen f(x) ka' beskrives, så ka' tallet a også beskrives - så er a jo "dét tal a således at f(a) = 0" - og det er en beskrivelse der er til at forstå.

   — Øh - jah - øh jeg kan se at vi ikke når mere i dag - jeg skal uddybe det om tallene i næste time (pyh - det var sgu' heldigt - jeg må finde et sted hvor der står noget om irrationale tal).