Per Nørgård's uendelighedsrække

Af Gert Buschmann

I mange af Per Nørgårds værker lige siden 60-erne optræder som bekendt (fragmenter af) en (stort set) ganske bestemt uendelighedsrække, dvs. en række af toner som hver især er fremkommet ad ren konstruktiv vej ud fra de foregående og som i princippet kan fortsættes i det uendelige.

Denne u-række har ofte udgjort en væsentlig kompositorisk bestanddel af værket, og da også andre komponister end PN har betjent sig af u-rækkeprincippet er det en nærliggende tanke at man her står overfor en rig kilde til fremskaffelse af kompositorisk "råmateriale" - i lighed med det schönbergske rækkebegreb.

Det gør man sandsynligvis også. Men forsøger man sig med sådanne konstruktioner vil man erfare at det kræver megen snilde og eksperimenteren: samme lovmæssighed og harmoni som motiverer en musikalsk anvendelse af u-rækker, vanskeliggør nemlig deres konstruktion. Ønsker man f.eks. at rækken skal starte med en given tonefølge, skal man søge efter en algoritme der kan videreudvikle rækken på en musikalsk tilfredsstillende måde, og dette er ikke nogen let sag. Forhåbentlig vil man også erfare at nogle forsøg er mere vellykkede end andre, og at begrebet er værd at eksperimentere med. Under alle omstændigheder vil man blive ført til den erkendelse, at PN's u-række (i lighed med f.eks. Mandelbrot-mængden) må betragtes som naturskabt, og at det var Per Nørgård der (i lighed med Mandelbrot) opdagede den. Ingen anden (ikke-triviel) u-række lader sig konstruere på en så enkel og formfuldendt måde, og denne række er i besiddelse af alle de egenskaber en u-rækkekomponist kan ønske sig af en u-række. Nogle af disse egenskaber har PN og andre redegjort for ved talrige lejligheder, og det er ikke hensigten her at omtale alle disse, ejheller at analysere den måde rækken anvendes på i de enkelte værker, men udelukkende at forsøge at give en systematisk fremstilling af rækkens mest grundlæggende matematiske struktur. Endvidere vil jeg foreslå en metode til konstruktion af u-rækker som er en oplagt og forholdsvis bred generalisation af PN's metode.

Den oprindelige uendelighedsrække

Vi vælger indledningsvis en konstruktionsmetode til PN's u-række som er forskellig fra PN's egen, men som lader princippet i såvel denne som i vores generalisation træde klart frem.

De første 4 toner i u-rækken er vist ud for tallet 0:

Ud fra denne blok bestående af 4 toner kan vi danne en ny blok umiddelbart "over" denne, ved at hæve den første og den sidste tone et (kromatisk) tonetrin og sænke de to midterste toner et tonetrin. Umiddelbart over denne blok kan man på tilsvarende måde danne en ny blok, osv., og analogt kan man danne blokke under 0. Bemærk at der til enhver tone findes netop én blok som begynder med denne tone.

De første 4 toner i u-rækken består altså af den blok som har rækkens første tone (altså g) som sin første tone (blok 0).

De næste 4 toner skal nu bestå af den blok som har rækkens anden tone (altså as) som sin første tone (blok 1).

De næste 4 toner skal bestå af den blok som har rækkens tredie tone (altså fis) som sin første tone (blok -1).

Osv.

Ved hjælp af de viste blokke kan rækkens første 24 toner konstrueres:

Ønsker man at konstruere rækkens første 1024 toner behøves blot 16 sådanne blokke.

Ved anvendelse af en ren matematisk algoritme har vi altså konstrueret os frem til en række af toner som ikke bare ser "pæn" ud, og som vel at mærke vedbliver med dette (i hvert hvis man holder sig inden for rækkens flere tusinde første toner, f.eks. er tone nr. 4096 den første som afviger en oktav fra rækkens allerførste tone), men som tilmed er påfaldende melodisk og i besiddelse af blandt andet en hierarkisk struktur og en gentagelses struktur som må gøre den til et musikalsk interessobjekt.

Vi har her ladet u-rækken "udfolde sig" indenfor det kromatiske toneunivers, fordi den så er nemmest at håndtere matematisk, og denne version er derfor blevet den mest kendte. Men Per Nørgård har ikke indskrænket sig det denne udgave, ja den har faktisk været udtagelsen, og han opfatter rækken som et bevægelses-princip snarere end en konkret tonerække.

Vi vil nu vise at man istedet for at konstruere rækken succesivt ved hjælp af blokke bestående af 4 toner, ligeså vel kan benytte blokke bestående af 8 eller 16 eller 32 osv. toner, ja endda - og det er PN's oprindelige konstruktionsanvisning - blokke bestående af kun 2 toner.

Dette vil dels muliggøre en rationel konstruktion af rækken (PN har haft brug for at konstruere over 4000 toner, og det var før computerens tid) og dels give nogle værdifulde oplysninger om rækkens struktur.

For at få konstruktionsprincippet til at træde klarere frem vil vi konstruere nogle formskemaer som de nedenstående figurer viser. Ved at anvende et sådant formskema på en konkret tone fås en konkret toneblok.

Allerførst vil vi identificere toner og hele tal, nemlig således:

Tonen g¹ er altså valgt som nulpunkt - dens nodelinie er nullinien.

"Linien" imellem g og as vil vise sig at være symmetriakse for u-rækken. Den har talværdien (y-koordinaten) ½.

Ved spejlingen af tonen t (t spejl) vil vi forstå dennes spejling i 0-linien, altså tonen -t. Ved den modsatte af tonen t (t modsat) vil vi forstå dennes spejling i symmetriaksen, altså tonen -t+1. At to på hinanden følgende punkter i et formskema ligger symmetrisk om symmetriaksen anskueliggøres ved at disse forbindes med et liniestykke:

Sættes to formskemaer A og B i forlængelse af hinanden betegnes resultatet A v B.

Ved 0. formskema (med variabel t) vil vi forstå figuren:

eller forskriften: tonen t, dette symboliseres F⁰_t.

Ved 1. formskema (med variabel t) vil vi forstå F⁰_-t v F⁰_t+1, dette symboliseres F¹_t, og er altså figuren:

eller forskriften: t spejl → modsat.

Ved 2. formskema (med variabel t) vil vi forstå F¹_-t v F¹_t+1, dette symboliseres F²_t, og er altså figuren:

eller forskriften: t → modsat → 2 trin ned → modsat.

Ved 3. formskema (med variabel t) vil vi forstå F²_-t v F²_t+1, dette symboliseres F³_t, og er altså figuren:

eller forskriften: t spejl → modsat → 2 trin ned → modsat → t spejl modsat → t spejl → 2 trin ned → modsat.

Osv.

Det n-te formskema (med variabel t) symboliseres altså Fⁿ_t, det vil indeholde 2ⁿ punkter (handlinger) og ved første punkt (handling) skal der stå t hvis n er lige og -t (t spejl) hvis n er ulige. Det gælder altid at Fⁿ⁺¹_t = Fⁿ_-t v Fⁿ_t+1. Deles Fⁿ_t midt over og ombyttes halvdelene fås Fⁿ_-t-1.

Et formskema kan nu anvendes på en konkret tone (f.eks. t = es = 4), resultatet bliver en konkret toneblok. Denne toneblok vil have samme struktur som formskemaet, men geometrisk behøver den ikke altid at ligne dette - det kan dog altid opnås ved at vælge punkterne i formskemaet anderledes.

Ved hjælp af disse formskemaer kan u-rækken nu konstrueres således, idet vi betegner tone nr. p (= 0, 1, 2, 3, ...) i rækken ved U_p: Vælg et naturligt tal n og konstruer det n-te formskema. For ethvert tal p (= 0, 1, 2, 3, ...) vil de 2ⁿ toner fra og med tone nr. p∙2ⁿ og fremefter være den blok der fås ved at anvende formskemaet på den konkrete tone U_p:

Lad os demonstrere dette helt konkret, idet vi antager at vi ønsker at konstruere rækkens første 1024 toner. Vi vælger n = 3, både for at nå hurtigt frem og for at se hvilket tonemateriale af passende længde rækken består af. Formskemaet består af 8 punkter (handlinger) og er beskrevet ovenfor. Vi får brug for at anvende dette på de 1024/8 = 128 første toner i rækken. Vi skal senere se at vi af tallet 127 (næsten) direkte kan aflæse at der kun vil forekommer 14 forskellige toner blandt disse 128 første. De 14 toner og formskemaet anvendt på dem ser således ud:

Bemærk at på hinanden følgende blokke fremgår af hinanden ved at hver tone hæves eller sænkes ét trin.

Rækkens første 8 toner er den til tone nr. 0, altså g, svarende blok. Rækkens næste 8 toner er den til tone nr. 1, altså as, svarende blok. Rækkens næste 8 toner er den til tone nr. 2, altså fis, svarende blok. Osv.

De anførte 14 blokke udgør altså alt tonematerialet i de første 1024 toner. Måden de følger hinanden på afspejler selve rækkens struktur. Bemærk at blokkene svarende til tonerne t og -t-1 fremgår af hinanden ved at de deles midt over og halvdelene ombyttes. Disse blokke med 4 toner er dem vi skulle have benyttet hvis vi havde valgt n = 2. Omvendt kan vi nu også umiddelbart konstruere de blokke med 16 toner vi skulle have benyttet hvis vi havde valgt n = 4.

Rækken lader sig altså opspalte i lige store og på hinanden følgende stykker som alle er konstrueret efter ét og samme princip og som er entydigt bestemt når blot man kender en af dens toner og dennes plads i stykket. Disse stykker kan vælges ligeså lange det skal være.

Det følger af konstruktionsprincippet at rækken til stadighed vil gentage dele af sig selv: Da f.eks. tone nr. 3 er lig tone nr. 9, vil stykke nr. 3 bestående af 2ⁿ toner være lig stykke nr. 9 bestående af 2ⁿ toner.

Vi vil nu beskrive alle de væsentligste gentagelsesrelationer i rækken. Disse kan man nå frem til ved at studere relationerne imellem rækkens 8 første toner og ved at benytte regelen at hvis Fⁿ_t deles midt over og halvdelene ombyttes fås Fⁿ_-t-1.

Vælg en potens af 2, altså 2ⁿ (n = 1, 2, 3, ...), da gælder:

1. De 2ⁿ toner fra og med tone nr. 5∙2ⁿ og fremefter vil være identiske med rækkens 2ⁿ første toner (samme rækkefølge).

2. De 2ⁿ toner der kommer umiddelbart før tone nr. 5∙2ⁿ vil være identiske med de 2ⁿ toner der kommer umiddelbart efter rækkens 2ⁿ første toner (samme rækkefølge).

3. De 2ⁿ toner der kommer umiddelbart efter den i pkt. 1 nævnte tonerække vil være identisk med den i pkt. 2 nævnte tonerække blot skal denne deles midt over og halvdelene skal ombyttes.

Disse relationer er illustreret øverst i den følgende figur.

Med da dette jo også må gælde hvis vi erstatter n med n-1, fås yderligere nogle relationer som er illustreret nedenunder.

Ialt får vi altså, at når vi er nået frem til tone nr. 7∙2ⁿ vil alt tonematerialet undtagen højst 1/14 være fremkommet ved flytning af sammenhængende portioner af tonemateriale fra de første 2/7 af rækken, illustreret nederst:

Egentlig nyt tonemateriale bliver altså kun "tilført" rækken i mellemrum af den slags som er markeret ved 1/14. Dette mellemrum fås ved i det (n-1)-te formskema at indsætte tonen b (tallet 3, rækkens 8-tende tone).

Rækken vil således til stadighed hente det meste af sit tonemateriale fra forholdsvis tidlige steder i rækken (med bevarelse af tonerækkefølge) blot vil dette indgå i stadig nye sammenhænge, og de længste gentagelsesstrækninger vil vokse efterhånden som man når frem i rækken.

Næstsidste og sidste tone umiddelbart før en tone hvis nr. er en potens af 2 er henh. den dybeste og højeste tone indtil nu, og intervallet imellem disse to toner er altså det største interval der er forekommet indtil nu. Og da i det hele taget toneforløbet op imod toner hvis nr. er en potens af 2 er præget af store intervaller, hvorimod de nærmest efterfølgende intervaller vil være ganske små, kan man kalde disse steder for rækkens kritiske punkter. De bemærkes tydeligt ved lytning til musikken.

Hvis vi definerer den omvendte række som den række der fås ved at spejle u-rækken i 0-linien:

gælder at hvis vi vælger et naturligt tal n, så vil den række man får ved at tage hver 2ⁿ-te tone fra rækken være identisk med rækken selv hvis n er lige og identisk med den omvendte række hvis n er ulige. Tages således hver anden tone fås den omvendte række og tages hver fjerde tone fås rækken selv. Endvidere gælder en mangfoldighed af relationer hvoraf den simpleste siger, at tages hver anden tone fra og med rækkens anden tone (tone nr. 1) fås rækken selv transponeret ét trin op (se efterskriftet om flere af sådanne egenskaber).

Denne hierarkiske opbygning af rækken har Per Nørgård udnyttet blandt andet på den måde, at én instrumentgruppe spiller rækken forholdsvis hurtigt, en anden gruppe spiller rækken 4 gange så langsomt, en tredie gruppe spiller rækken 16 gangde så langsomt, osv. (kun de to første grupper spiller kontinuerligt). Når en gruppe sætter ind med en ny tone vil alle de underliggende grupper i hierarkiet også sætte ind med den samme tone. Dette - kombineret med nogle af rækkens øvrige hierarkiske egenskaber - kan rendyrket høres i 2. sats af "Rejse ind i den gyldne skærm".

Per Nørgårds uendelighedsrække kan naturligvis også konstrueres ad ren talmanipulatorisk vej. Der gælder nemlig følgende formler som entydigt bestemmer rækken:

U₀ = 0 U₁ = 1

U_2p = -U_p

U_2p+1 = U_p + 1

Ved hjælp af disse lader U_p sig beregne således: skriv tallet p i det binære talsystem (altså f.eks. 43 = 101011, da 43 = 1∙2⁵ + 0∙2⁴ + 1∙2³ + 0∙2² + 1∙2 + 1), 1-tallerne lægges nu sammen eller trækkes fra hinanden alt efter om antallet af 0-er efter et 1-tal er lige eller ulige. F.eks. U₄₃ = 1-1+1+1 = 2 = tonen a.

Alle egenskaber ved rækken kan naturligvis udledes af disse formler. De ovennævnte omvendigs- og transpositionsegenskaber fremgår direkte af formlerne. Her er yderligere et eksempel: Den sidste og den næstsidste tone umiddelbart før det kritiske punkt med nr. 2ⁿ har numrene henh. 2ⁿ - 1 og 2ⁿ - 2. Disse tal har den binære fremstilling henh. 11...11 (n 1-taller) og 11...10 (n-1 1-taller) og (højden af) disse toner er altså henh. n og -(n-1). Disse må være den højeste og den dybeste tone indtil nu. Vælges specielt n = 7 ses at der blandt de første 128 toner vil være 7-(-6)+1 = 14 forskellige toner.

Udover at lade u-rækkens bevægelsesprincip foregå indenfor det regulære kromatiske toneunivers, lader Per Nørgård det også foregå indenfor det diatone univers, og endda det toneunivers som udgøres af over/undertone-rækken til en given tone.

Endvidere behøver de fragmenter PN benytter af en u-række ikke nødvendigvis at tage deres begyndelse ved u-rækkens begyndelse, ja de behøver endda ikke engang at være sammenhængende indenfor den oprindelige række: hvis k er et naturligt tal, er "bølgelængde k-rækken" (BLk) den u-række man får ved at tage hver k-te tone fra den oprindelige række. Når k er en potens af 2, er BLk-rækken som sagt den oprindelige række når eksponenten er lige og den omvendte række når eksponenten er ulige. For den omvendte række gælder også en transpositionsegenskab, idet tallet 1 skal erstattes med -1: der skal transponeres nedad i stedet for opad (bølgelængde-rækkerne omtales nærmere i efterskriftet). PN gør naturligvis udstrakt brug af transponering af fragmenterne.

Ved at indskrænke u-rækkens toneunivers til kun at bestå af to toner har PN skabt en slagtøjs- og danseforskrift: toner der afviger et lige antal tonetrin fra rækkens første tone identificeres med begrebet "lys" og toner der afviger et ulige antal tonetrin identificeres med begrebet "mørk". Den fremkomne række er den enkleste ikke-trivielle hierarkiske 2-symbol u-række. Den kan konstrueres ved en formskema-metode som er analog til den viste, men nu er toneblokkene naturligvis meget enklere, og der er kun 2 slags for enhver n-værdi. De kan f.eks. bestå af hvide og sorte brikker, og i ethvert formskema vil de to halvdele fremgå af hinanden ved at ombytte hvid og sort. Hvis vi lader lys svare til tallet 1 og mørk svare til tallet -1, og hvis vi betegner 2-tone-rækken T_p (p = 0, 1, 2, ...), er den karakteriseret ved disse tre formler: T₀ = 1, T_2p = T_p og T_2p+1 = -T_p. Og af den ovenfor viste metode til at udregne PN-rækkens værdier ved at skrive nummeret i det binære talsystem, kan man se at T_p = 1 henh. -1, når antallet af 1-taller i p's binære fremstilling er henh. lige og ulige. Dette betyder at rækken er meget let at konstruere: når man har dannet de 2^k første tal, får man de 2^k næste ved at ombytte fortegnene i disse tal.

Til slut skal nævnes at Per Nørgård som rytmisk modstykke til den melodiske u-række ofte har benyttet varighedsforhold og afsnitsinddelinger baseret på "gyldne-snit"-proportioner, dvs. forhold som er på hinanden følgende tal i fibonnaci-rækken 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ....

Her er de første 96 toner af Per Nørgård's uendelighedsrække (i den kromatiske version) og med anførelse af gentagelsesrelationerne:

Computerprogram til Per Nørgård's uendelighedsrække

En generalisation af Per Nørgård's metode

Vi identificerer som tidligere tonerne med de hele tal - en hvilken som helst tone kan naturligvis vælges som 0-tone. Vælg et naturligt tal k (> 1) og en toneblok bestående af k toner hvoraf den første er 0-tonen. Vedtag en procedure der gør det muligt at danne nye blokke således at blokken umiddelbart "over" den givne fås ud fra denne ved at dens toner hver især hæves eller sænkes et antal tonetrin - den første tone hæves eller sænkes - lad os sige - m trin.

Vi kan nu på to forskellige måder knytte en blok til enhver tone, nemlig ved til tonen t at knytte den blok der enten har tonen m∙t eller tonen -m∙t som sin første tone.

De første k toner i u-rækken skal være den givne blok. De næste k toner i rækken skal være den til rækkens anden tone knyttede blok. Osv.

Talteoretisk kan dette formuleres således:

Vælg to "k-sæt" af hele tal:

a₀, a₁, ..., a_k-1

b₀, b₁, ..., b_k-1

hvor a₀ = 0. Tone nr. p (= 0, 1, 2, ...) i u-rækken betegnes U_p.

De k første toner i u-rækken er da a₀, a₁, ..., a_k-1 (altså U₀ = a₀, U₁ = a₁, ..., U_k-1 = a_k-1). De k næste toner i rækken er a₀ + b₀∙U₁, a₁ + b₁∙U₁, ..., a_k-1 + b_k-1∙U₁. Osv. Der gælder altid U_p∙k+q = a_q + b_q∙U_p.

PN's u-række fås ved her at sætte k = 2, a₁ = 1, b₀ = -1 og b₁ = 1 (eller k = 4, a₁ = 1, a₂ = -1, a₃ = 2, b₀ = b₃ = 1 og b₁ = b₂ = -1, eller k = 8, osv.).

Den generaliserede u-række kan ligesom PN's u-række konstrueres ved hjælp af større blokke:

Ved 0-te blok knyttet til tonen t, F⁰_t, forstås tonen t. Ved 1-te blok knyttet til tonen t, F¹_t, forstås den til t knyttede oprindelige blok eller - om man vil - tonerækken F⁰_{a₀+b₀∙t}, ..., F⁰_{a_k-1+b_k-1∙t}. ... Ved n-te blok knyttet til tonen t, Fⁿ_t, forstås den tonerække der fås ved til enhver af tonerne i den til t knyttede oprindelige blok at knytte den (n-1)-te blok og sammensætte disse eller - om man vil - tonerækken F^n-1_{a₀+b₀∙t}, ..., F^n-1_{a_k-1+b_k-1∙t}. Blokken Fⁿ_t indeholder kⁿ toner og dens første tone er b₀ⁿ∙t.

Rækken kan nu konstrueres således, idet man først vælger et naturligt tal n: De kⁿ første toner i rækken er blokken Fⁿ_U₀. De kⁿ næste toner i rækken er blokken Fⁿ_U₁. Osv. Der gælder altid U_p∙kⁿ+q = q-te tone i Fⁿ_{U_p}.

Hvis vi i vores indledningsvise dannelse af nye blokke kun hæver og sænker hver tone ét trin eller hvad der kommer ud på det samme, hvis ethvert af tallene b_i enten er 1 eller -1, kan et formskema i lighed med det tidligere introduceres og anskueliggøre konstruktionen.

Også i de generaliserede u-rækker vil gentagelsesrelationer naturligvis i almindelighed forekomme, men da sådanne er bestemt ved forløbet af rækkens første toner, vil billedet i almindelighed se helt anderledes ud end i PN's u-række, men fremgangsmåden til at finde dem er den samme. Hvis b₀ = ±1 vil de generaliserede u-rækker have en hierarkisk struktur der er ganske analog til den i PN's u-række.

Talmanipulatorisk kan tone nr. p (0, 1, 2, ...) findes således: Skriv tallet p i k-talsystemet, altså p = c₀c₁...c_d, da gælder:

U_p = a_c₀b_c₁...b_{c_d}

= + a_c₁...b_{c_d}

= + ...

= + a_{c_d-1}b_{c_d}

= + a_{c_d}

Vi viser to eksempler på generaliserede u-rækker som skulle opfylde nogle af de krav man må stille. Første og andet formskema samt gentagelsesrelationerne er tegnet. Denne første række har en triviel melodi, men den viser nogle karakteristiske træk ved bevægelsesprincippet. Den anden række er mere nuanceret og den har en overraskende egenskab som opdages ved lytning (ifølge teorien skulle den lade sig dele naturligt op i stykker á 4 takter). I første eksempel er k = 3, a₁ = 2, a₂ = 3, b₀ = b₁ = b₂ = -1. I andet eksempel er k = 4, a₁ = -3, a₂ = -1, a₃ = 2, b₀ = b₁ = b₂ = -1, b₃ = 1.

Computerprogram til de generaliserede uendelighedsrækker

Efterskrift: Roel-rækkerne

Denne artikel er skrevet i begyndelsen af 80-erne. Og jeg har betragtet den som den første tilfredsstillende fremstilling af det matematiske grundlag for Per Nørgård's uendelighedsrække. Men den behandler kun rækkens helt elementære egenskaber. Der er skrevet et utal af artikler om såvel rækkens egenskaber som Per Nørgård's anvendelse af den. Nærværende artikel har cirkuleret, men har ikke været trykt, og anledningen til at jeg nu "trykker" den, er en nyligt udgivet bog af Ane Dorthe Roel og Per Nørgård: "Nye aspekter i uendelighedsrækken" (Edition Wilhelm Hansen, 2006 - der er foruden udgiverne 4 bidragydere). Jeg havde i den oprindelige artikel antydet, at der kun kan være idé i at anvende regulære delrækker hvis bølgelængde er en potens af 2. Dette har vist sig at være usandt: der findes delrækker hvis bølgelængde ikke er delelig med 2 og som har de værdifulde og karakteristiske egenskaber ved rækken. Men en sådan række skal ikke begynde i tone nr. 0. Den enkleste af disse rækker er denne (her er den diatone version af PN-rækken vist):

Tonerne forbundet af den nederste bjælke er BL3 ("bølgelængde3")-rækken begyndende i tone nr. 2, men hver anden tone i denne række, tonerne forbundet af den øverste bjælke, er netop selve BL3-rækken transponeret ét trin. Egenskaben er nem at eftervise med formlerne der bestemmer rækken:

Den viste BL3-række er rækken U_3m+2 (m = 0, 1, 2, ...). Og når vi transponerer den ét trin får vi rækken U_3m+2 + 1, men denne række er ifølge formlen U_2p+1 = U_p + 1, rækken U_2(3m+2)+1, altså rækken U_3(2m+1)+2 (m = 0, 1, 2, ...), og dette er netop de ulige toner i BL3-rækken.

For et givet naturligt tal k, er BLk-rækken ud fra rækkens begyndelse, rækken V_m = U_km (m = 0, 1, 2, ...). Og det fremgår af grundegenskaben U_2p = -U_p, at V_m har den samme egenskab, den udviser altså omvendingsegenskaben. Men lad os undersøge betingelsen for at V_m udviser en transpositionsegenskab, dvs. en egenskab hvis prototype er grundegenskaben U_2p+1 = U_p + 1. Vi vil generalisere problemet lidt, idet vi vil lade bølgelængde-rækken begynde i tone nr. f, som ikke nødvendigvis behøver at være første tone (tone nr. 0). Dvs. BLk-rækken ud fra tone nr. f er rækken V_m (m = 0, 1, 2, ...) givet ved:

V_m = U_k∙m+f

Endvidere vil vi lade transposition kunne være mere end ét trin. Problemet lyder: Hvis V_m transponeres et antal h tonetrin, er denne række da en bølgelængde-række i V_m, dvs. har den formen V_k'∙m+f' (m = 0, 1, 2, ...) for en ny bølgelængde k' og et nyt begyndelsespunkt f'?

Vi antager altså at V_m + h = V_k'∙m+f' for m = 0, 1, 2, .... Dette betyder at U_km+f + h = U_{k(k'∙m+f')+f} for m = 0, 1, 2, .... Og dette betyder at vi skal have:

2(...2(2(2(k∙m+f)+1)+1)+1)...)+1 = k(k'∙m+f') + f

hvor der på venstre side er h 1-taller og 2-taller, og dette skal gælde for alle m = 0, 1, 2, .... Tallet på venstre side vil have formen 2^h(k∙m+f) + g_h, hvor g_h er tal nr. h i rækken 1, 3, 7, 15, 31, .... Hvert tal i denne række fremgår af det foregående ved at gange med 2 og lægge 1 til. Det betyder for det første at den nye bølgelængde k' må være tallet 2^h, og for det andet at:

(2^h- 1)∙f + g_h = k∙f'.

Et sådant resultat har kun musikalsk interesse for de allermindste værdier af h: allerede for h = 3 er den nye bølgelængde k' = 8. Hvad tilfældet h = 2 angår, skal blot nævnes at en BL3-række der begynder før tone nr. 2, skal transponeres mindst 2 trin før den transponerede række kan være en bølgelængde-række i BL3-rækken.

Lad os se på tilfældet h = 1, dvs. transponering 1 trin (op). Dette betyder at den nye bølgelængde k' er 2. For k = 1 og f = 0 får vi den oprindelige PN-række. For k = 1 og f = 1 er f' = 1, og vi får at "hvis PN-rækken begyndende i tone nr. 1 transponeres 1 trin, får vi BL2-rækken begyndende i tone nr. 2 i denne række". For k = 2, er f = 1 det eneste f < 3 der kan bruges, og vi har f' = 2, og vi får at "hvis BL2-rækken begyndende i tone nr. 1 transponeres 1 trin, får vi BL2-rækken begyndende i tone nr. 1 i denne række". Dette kan også formuleres således: "hvis BL2-rækken begyndende i tone nr. 1 transponeres 1 trin, fås de uligt nummerede toner i denne række". Men dette er netop den egenskab som den ovenfor viste nye BL3-række har, for dens egenskab kan formuleres: "hvis BL3-rækken begyndende i tone nr. 2 transponeres 1 trin, fås de uligt nummerede toner i denne række".

Generelt gælder denne regel for et naturligt tal k: "hvis BLk-rækken begyndende i tone nr. k-1 transponeres 1 trin, fås de ulige toner i denne række". For k = 1 er reglen den karakteristiske transpositionsegenskab ved PN-rækken, dvs. U_2p+1 = U_p + 1. Og vi kan altså sige, at disse bølgelængde-rækker netop er dem som bevarer den oprindelige transpositionsegenskab.

Vi kan konkludere: 1. Enhver ren bølgelængde-række, dvs. en BLk-række der begynder i tone nr. 0, har omvendingsegenskaben: rækken vi får ved at tage de lige toner er den omvendte række. 2. Enhver Roel-række, dvs. en BLk-række der begynder i tone nr. k-1, har transpositionsegenskaben: rækken vi får ved at tage de ulige toner er den transponerede række.

Computerprogram

BLk-rækken begyndende i tonenummer f (= 0, 1, ..., k-1) kaldes positionsmelodi f. Den første positionsmelodi (nr. 0) er den rene bølgelængde-række, og kaldes også basismelodien. Den sidste positionsmelodi (nr. k-1) er Roel-rækken.

BL3-rækken der har fået denne systematik til at træde frem, altså at der udover at findes regulære delrækker der bevarer den præcise omvendingsegenskab, også findes regulære delrækker der bevarer den præcise transpositionsegenskab, blev opdaget i 1996 af Ane Dorthe Roel, men resultat blev først fremlagt i 2001. Og det viste sig at ingen, heller ikke Per Nørgård selv, havde bemærket en så elementær egenskab ved rækken. Årsagen hertil er, at hvis resultatet skulle være opdaget ved lytning, måtte man tilfældigvis spille den nye BL3-række (og sikkert mange gange), og bemærke at den lyder på en måde der har et træk tilfælles med den oprindelige række. Det er nemmere at se en ny egenskab ved at studere noder, og det er endnu nemmere ved at kigge på tal. Men allernemmest er det at gå indirekte tilværks og studere formler: lede efter et elegant formeludtryk og håbe på at det er musikalsk interessant. For en talrække der var ligeså berømt som PN-rækken, ville en så væsentlig egenskab være opdaget meget hurtigt.

Til slut et ekstra resultat: opdagelsen af BL3-rækken blev gjort i forbindelse med en besvarelse af en opgave der lød: "forklar hvorfor vilkårlige BL-rækker ikke udviser transpositionsegenskaben". Her menes BL-rækker begyndende i tone nr. 0. Og vores teori giver dette svar (ved at sætte f = 0): For at udvise transpositionsegenskaben skal bølgelængden k være divisor i et af tallene g_h (h = 1, 2, ...), dvs. et af tallene i rækken 1, 3, 7, 15, ..., og hvis k er divisor i g_h, er h antallet af trin der skal transponeres, og når BL-rækken transponeres h trin, fås den BL-række i BL-rækken som har bølgelængde 2^h og begynder i tone nr. f' = g_h/k. Tilfældet næst efter den oprindelige transpositionsegenskab er dette: "hvis BL3-rækken begyndende i tone nr. 0 transponeres 2 trin, fås BL4-rækken begyndende i tone nr. 1 i denne række".

Se denne fortsættelse af artiklen:

Fraktale uendelighedsrækker og konstruktion af uendelig mange endelige og uendelige uendelighedsrækker

Denne side hører under: juliasets.dk