Han kunne se det hele for sig. Latteren og deres trampen og skramlen med borde og stole måtte kunne høres i hele gymnasiet. På alle bordene ligger et usselt hæfte, men foran Niels-Henrik hæver sig majestætisk slægtens klenodium: 800 sider. Og midt i latteren, hans forsvarstale: "Det franske sprog har kun ændret sig ubetydeligt i de sidste trehundrede år!", og hans raseriudbrud: "Jeg har læst den! - og ka' den udenad! - og jeg agter at bruge den!" Læreren havde læst op af "Fortale":

Joh, det er en fornem slægt han kommer fra - de har nærmet sig til Hans Kongelige Højhed.

Alt var medtaget da Torben fik denne historie fra Bjørn. Bjørn havde ikke tidligere talt om Niels-Henrik - han har måske ikke vidst så meget - det er jo kun en måned siden. Men i gåraftes kom det. Efter spillet, og efter at Bjørns yndlingsemner var blevet luftet: "Husk på Torben, vort råmateriale er ikke så føjeligt som jeres og det er af yderst uensartet beskaffenhed - vi ka' ikke imødekomme forbrugerne ligeså hurtigt som I kan - forresten, har I hørt om hr. Trussefabrikantens seneste påhit? - jo, nu følger der en prøvekuvert med trusserne - når så pigebarnet har gået med dem et par dage, så returnerer hun dem til hr. Fabrikanten mod et pænt honorar - og så sælger han dem en gang til, for en flot pris, til pornoforretningerne!" Sammenligningen af deres respektive råstoffer var fremført hundrede gange i tidens løb, men betegnelsen "trussefabrikant" havde ikke været benyttet før. Og bagefter kom, under fire øjne, forklaringen på hvor den kommer fra: da gymnasiet i foråret modtog indmeldelsen fra Niels-Henrik, var der under hans faders stillingsangivelse anført "trussefabrikant". Bjørn regnede med at blanketten var udfyldt af Niels-Henrik, "men den var da underskrevet af dig, ikke?" Og så kom det hele. Næh, der er ikke noget galt med hans opførsel, og hans evner er glimrende, men han har vigtigere ting at bruge de evner til end skolearbejdet.

Nu begynder hendes præparering af Niels-Henrik rigtigt at slå igennem. For et par timer siden, lige inden de skulle spise, havde hun ringet og meddelt ham at der kommer en udsendelse i fjernsynet som han burde se, om Wittgenstein. "Det kan ikke la' sig gøre", havde han svaret, "der er fodbold i aften, og her i huset hersker proletariatets diktatur", så han ville komme over til hende når han havde spist. Sagt ganske almindeligt - ikke meningen at nogen skulle høre det. Men Torben hørte det, og det måtte kommenteres, men overfor den kultur er man afmægtig. Det var blevet det sædvanlige: han havde ynket den stakkels Niels-Henrik som er en minoritet i sit eget hjem, og spurgt hvad hans udsagn om den herskende klasse skulle gøre godt for, her i huset ville man jo alligevel ikke kunne se en udsendelse om Wittgenstein - ikke i denne hér miserable stue, og på Trines værelse med rockmusikere på væggen, kan et møde mellem Niels-Henrik og Wittgenstein virkelig ikke finde sted. Den udsendelse må ses hos hans moster hvor der er flygel og lærde bøger.

   — Torben! - kommer du ned? - jeg har skænket - der er ti minutter.




   — Ræk mig lige avisen dér - jeg ska' se hvad det er de sidder og ser.

   — Var det ikke noget med Wittgenstein? - vi ka' da lige dreje over, der er fem minutter.

   — Slukker du? - er det det han sagde?

   — Næh, det er ikke det - det må vi vænne os til - nu begynder han rigtigt at forstå tingene og lære jargonen, så nu får vi endnu mere at høre - og du er vel ligeglad - ja det er jo dine meninger han fremfører - og jeg kan vel nok vende det døve øre til - men der er en anden person som jeg fra nu af får endnu sværere ved at vende det døve øre til - Bjørn var rigtig i sit es i går...

   — Han ka' da ikke blive ved med at finde på.

   — Jo, fra nu af ka' han finde på endnu mere - for nu har han fået en ny kilde, og den er af en helt helt anden ydeevne - det er gået lige præcis som man havde forudset.

   — Hva'?

   — Tænk dig, den gamle ormædte grammatikbog han har siddet med hele sommerferien, den har han gu'hjælpemig haft med i skole! - den sku' han bruge! - hele klassen brølede af grin og bagefter var læreren dagens mand på lærerværelset - alle havde tårer i øjnene og måtte sætte kaffekoppen.

   — Det tror jeg nu ikke Bjørn har sagt.

   — Det er Torben Riisbyes søn! - han er virkelig et fund.

   — Årh hva', han synes den gamle bog er charmerende - og det er det at den er skrevet af en af hans forfædre - og han er blevet skrap til at finde rundt i den - den har givet ham et kæmpe forspring.

   — Et forspring? - med en tohundrede år gammel bog?

   — Der er ikke stor forskel på fransk for tohundrede år siden og fransk idag, siger Annie.

   — Det tror jeg nu nok der er - hva' kender hun til verden idag? - og du ska' ikke fortælle mig, at lærebøgerne ikke har forandret sig i de tohundrede år - og ville du måske selv finde dig i at dine elever kom slæbende med alle mulige mærkelige bøger?

   — Det ville da være festligt - og en fordel - men desværre helt utænkeligt.

   — En fordel? - er det en fordel at en elev sidder med en anden bog end de andre?

   — Ja, han ku' da kommentere...

   — Jah haha, Niels-Henrik ka' læse højt af sin tip-tip-tip-oldefars franskbog - jeg bladrede i den - der er en masse eksempler på oversættelse - der stod "Jeg har bøger, og dersom jeg ingen havde, skulle jeg være forpligtet til at låne", hahaha - og "Hvis I elsker studeringer, skal I blive lærd", haha - og "Det er en forsigtig mand, som desuden har megen forstand", haha - det sku' ikke undre mig, om han også medbringer Hermanns matematik- og fysikbøger - så kan han vise dem de opgaver de regnede i 1930.

   — Ja! - la' dem da bare se dem!

   — Ja, så ku' de se hvad man sku' kunne dengang skolen ikke havde meget med virkeligheden at gøre - det er den verden I ønsker jer tilbage til - for den var nem at leve i - nemt at være lærer og nemt at være elev.

   — Nemt? - var det nemmere dengang?

   — Ja, før i tiden var undervisningen ikke andet end mekanisk udenadslære - dødtrist og en lidelse, men alt var lagt tilrette - og det er sådan folk vil ha' det - de tenderer hele tiden imod at køre på automatpiloten - trist sku' man mene, men åbenbart det nemmeste - og før i tiden var dette simpelthen arbejdets natur - og ingen satte spørgsmål ved det, for det var minimalt hvad man havde brug for af nytænkning - men sådan ser verden ikke ud mere, og det ka' I lærere ikke få ind i jeres hoveder - og det er det der er vor tids største katastrofe - og I véd det udmærket - I véd udmærket hvordan viden og dygtighed erhverves idag, men I forstår det ikke - eller også véd I det ikke engang, hvor sku' I vide det fra.

   — Ja, den viden og dygtighed som skal til i vareproduktionen - men det er ikke den vej Niels-Henrik skal - han skal have en ordentlig uddannelse og han skal arbejde selvstændigt - alt det med tilpasning og samarbejde, det er ikke noget for ham - gu've' hvordan fremtidens koncertpianist ser ud, det er vel også et team.

   — Jeg synes det går udmærket med de ti fingre, når det gælder den musik folk hører - Annies absurde traktering af klaveret, demonstrerer med al tænkelig tydelighed fortidens form for kunnen, når den... når den kører ud'a tangenten - hun har gået ti år på konservatoriet, men det lyder værre end hvis hun aldrig havde lært at spille.

   — Ja i dine ører.

   — I ethvert normalt menneskes ører - men hun ska' jo tjene lidt ved det, så må hun pænt bøje sig for folkets smag og sidde og spille treklange.

   — Hun bøjer sig ikke for nogen - hun elsker salmerne, og hvordan skulle hun ellers få adgang til et stort kirkeorgel?

   — Ja, hun har fundet forskellige smutveje, og det skal Niels-Henrik også - studere de næste tyve år, og så finde småjobs - og ikke bøje sig for nogen, men kun lave det man har lyst til og ka' stå inde for - det samme er der vel en del der går og drømmer om, men hvormange får den drøm opfyldt?

   — Den drøm er nemmere at få opfyldt end folk tror - det er jo kun meget få der har den - Hermann...

   — Hermann, hahaha.

   — Hva' var der galt med Hermann? - han levede fuldstændig i overensstemmelse med sine idealer - nogle timers undervisning, nogle timer i et firma, og masser af tid til sine interesser.

   — Der var for det første det galt, at han var en latterlig person - til grin alle steder - det eneste sted han ku' være, var i sit arbejdsværelse - og selv dér ku' han ikke være - han gik op og ned ad gulvet og talte med sig selv - underboen ku' ikke få sin nattesøvn - hva' fanden foregik der? - ja det kom jo frem lige inden han døde.

   — Hold op med sådan noget!

   — En særling lissom Annie - og så var der det galt, at hans form for kvalifikationer og alle hans ideer allerede dengang var problematiske - der var ikke mange steder han ku' bruges, og idag ville der ikke være ét eneste sted - for ham var det eneste der sku' tages hensyn til, matematiske formler - de var hæslige at se på, hans ventilatorer.

   — De var kendt for at være effektive og støjsvage.

   — Muligvis, men idag hører der mere til.

   — Ja en gang smarte farver.

   — Blandt andet - er farven på tingene måske uvæsentlig?

   — Bestemt nej, de smarte farver er utålelige - jeg ville foretrække Hermanns diskrete ventilatorer - og hvis der virkelig ikke mere er brug for ingeniører som Hermann, så er det verden der er noget galt med! - og så skal verden laves om - engang er der måske flere som vil mene at vi skal have justeret kursen lidt - at vi skal tilbage til noget af det gamle - og så vil der blive brug for Niels-Henrik.

   — Måske, men først skal han have en studentereksamen, ikke? - det er en forudsætning for at komme videre - så meget har Annie da selv bøjet sig for systemet - og til den tid kender han verden og sig selv lidt bedre - men hvis han ska' fortsætte i gymnasiet, så ska' han til at lægge kursen helt om.

   — Jeg ka' virkelig ikke forestille mig at gymnasiet sku' volde Niels-Henrik problemer - han har jo hele vejen igennem ligget i toppen - langt over de andre.

   — Ja, men nu er han røget helt ned i bunden, ka' jeg fortælle dig - i folkeskolen engagerede han sig da lidt i kammerater og fag, nu kører han sit eget løb - deltager ikke i noget - han er ukoncentreret og læser lektier og afleverer opgaver når det passer ham - indtil nu har de haft to stile for - den første skrev han slet ikke...

   — Men den anden skrev han, hvad fik han?

   — Spør' hellere hvad Annie fik, hun fik tretten.

   — Det har han ikke fortalt.

   — Næh, vi er ophørt med at eksistere.

Torben rejste sig og forlod stuen. Et par minutter efter kom han med nogle papirer.

   — Jeg synes ikke du skal gå op på hans værelse når han ikke er hjemme.

   — Hans skolearbejde hører ikke ind under hans privatliv.

Han læste.

   — Læs højt - hvilke emner har de haft?

   — "Bør vi acceptere at mennesker har anti-demokratiske anskuelser?"

   — Er det det?

   — Ja det ku' man jo udmærket tro hun havde valgt - selvfølgelig skal vi acceptere at mennesker har anti-demokratiske anskuelser, det er jo demokratiet - flertalsdiktaturet - som har nedbrudt vores kultur - men næh, det er ikke det - og det er faktisk heller ikke det næste - det er en artikel fra "Askov Bogen, 1930", de skal kommentere - "Moderne Ungdom", hedder den - "Biografteatrenes Lysreklamer... Restaurationernes brølende Jazzorkestre... spraglede Plakater, kom ind og se Revyen: 'Hvor glider vi hen!'" - og så står der: "Ja, hvor glider vi hen? Er det her, man skal finde den danske Ungdom? For manges Vedkommende er det desværre Tilfældet. Krigen og Tiden derefter har slaaet mangt og meget i Stykker, har gjort en Del af vor Ungdom overfladisk i sit Livssyn." - det var da mærkeligt at hun ikke har valgt det emne - det må skyldes, at hun efterhånden har talt så meget om den kultur, at hun ikke mere ka' holde sin egen tale ud - næh, denne gang har hun rigtig fået mulighed for at svinge sig tilvejrs - hun har skrevet om "Erkendelsens grænse - hvor skal vi sætte den?" - der er en tekst som forklarer hvad idealisme og realisme er indenfor filosofien.

   — Ja - men så lad os høre - hans stil.

Torben læste højt. Allerede efter de første to-tre sætninger, havde han tabt tråden. Mekanisk måtte han arbejdede sig igennem syv-otte tætskrevne ark.

Nej, der er ikke mere noget at gøre. At få ham over på sin side, det har været hendes eneste livsopgave - hun har ikke haft andet at bestille. Her har hun rigtig været oppe på dupperne - trist bare at de ikke giver den slags stileemner hver gang. Det er vel en af Hermanns bøger de har haft fremme. Noget er hans eget sprog kan man se, men det meste er afskrift.

Britta, hun fatter ikke et muk, der er ikke noget man behøver at ta' alvorligt. De store ting, dem har de os til, men værdsættelse og samarbejde, det er dyder de har glemt. Og læreren har heller ikke fattet et muk, og så giver man bare tretten.




Realisme og anti-realisme

Lad os studere sætningen "Den nærmeste stjernes nærmeste planet er tungere end Jorden". Meningen af denne sætning skulle vist være klar: vi går ud fra at stjerner normalt har planeter, altså også den nærmeste, og sætningen siger, at den af planeterne der er nærmest stjernen er tungere end Jorden. Hvis stjernen ingen planeter har, betragter vi sætningen som falsk. Men har den nærmeste stjerne planeter? - og er sætningen sand? Vi kan ikke afgøre det i dag, fordi vi ikke har redskaber til det. Men vi mener, at sætningen har en bestemt sandhedsværdi: sand eller falsk. Og vi mener, at den i princippet kan verificeres, ja mere end det, vi kan angive flere ganske realistiske verificationsprocedurer (et teleskop eller et rumfartøj) og vi er overbevist om at vi en dag vil kende svaret.

Men hvad nu hvis vi ændrer sætningen til "Den fjerneste stjernes nærmeste planet er tungere end Jorden"? Nu er vi alvorligt på spanden, for nu kan vi sige med sikkerhed at vi aldrig vil få et svar. Ja, har sætningen overhovedet mening? Findes en fjerneste stjerne? Det skal selvfølgelig være "i dette øjeblik", og hvordan skal det forstås? Og hvilket afstandsbegreb skal vi anvende? Men hvis disse uklarheder kunne fjernes, har sætningen så en sandhedsværdi (som vi aldrig vil komme til at kende, men som Gud kender)? For nu synes selv "verifikation i princippet" ikke at slå til. Vi ser, at spørgsmålet om hvorvidt en påstand kan tilskrives en sandhedsværdi, af og til er bestemt af tro. Den ene vil hævde at påstanden har en sandhedsværdi, selvom vi aldrig vil komme til at kende den, den anden vil hævde at det er meningsløst at tilskrive påstanden en sandhedsværdi.

Andre eksempler på at det er vores tro der bestemmer om en påstand kan tilskrives en sandhedsværdi, er de såkaldt kontrafaktiske konditionaler. Det er påstande af typen "Min afdøde oldemor, som aldrig lærte noget fremmedsprog, var et sprogligt geni: thi hvis hun havde kastet sig over et fremmedsprog, ville hun have lært det på rekordtid". Vi kan godt nok i fantasien angive en verificationsprocedure (vi kan forestille os tiden skruet tilbage), men den er urealiserbar selv i princippet.

Vi er her inde på spørgsmålet om realisme kontra anti-realisme: Realisme er den anskuelse, at verden består af ting som eksisterer uafhængigt af den erfaring og viden vi kan have om dem, og at en meningsfuld påstand om verden derfor altid har en bestemt sandhedsværdi (sand eller falsk), også selvom vi er afskåret fra at komme til at kende den. Anti-realisme er enhver form for forkastelse af realisme. For anti-realisten kan en påstand kun tilskrives en sandhedsværdi, hvis sandhedsværdien kan findes ved en håndgribelig verificationsprocedure. Han kan gå med til at den kun i princippet lader sig udføre (for eksempel kræver en urealistisk hurtig computer eller lang rumrejse), men han kan ikke tolerere en procedure som for eksempel at tiden skrues tilbage og at der i fortiden foretages ting som ikke har fundet sted. Vi er alle realister "af tilbøjelighed", men denne opfattelse er og bliver betænkelig (selv den mest inkarnerede realist vil have problemer med sætningen om den fjerneste stjerne).

Ofte taler man om realisme mht. en nærmere bestemt del af verden, og anti-realisme som forkastelse heraf: fænomenalisme er den opfattelse, at udsagn om de materielle ting må reduceres til udsagn om sansedata, og behaviourisme er den opfattelse, at udsagn om mennesker og dyrs mentale hændelser og tilstande må reduceres til udsagn om adfærd, og den videnskabelige positivisme er den opfattelse, at teorier ikke kan bygges på verden "som den ser ud", men må bygges på vores begrebsmæssige udstyr og iagttagelsesanlæg.

Realisme som vi her forstår begrebet, er nærmere betegnet metafysisk realisme, og den har traditionelt stået i modsætning til idealisme. Idealisme var den anskuelse, at verden er givet os som sansning og forestilling, og at tingene som vi opfanger dem, afspejler sjælens indretning og hviler på vores sprog og erfaring og de begreber vi danner. En anden modsætning til idealisme var materialisme, ifølge hvilken alt virkeligt er af fysisk natur.

I middelalderen var realisme den opfattelse, at almenbegrebet går forud for og har selvstændig realitet i forhold til individualbegrebet: "hestens idé" går forud for de konkret iagttagelige heste, og de sande ting og de gode viljer har deres sandhed og godhed fra "det sande" og "det gode" i sig selv. Som modsætning til denne begrebsrealisme, var der dels nominalisme og dels konceptualisme. Nominalisme var den anskuelse, at almenbegreberne blot er navne uden selvstændig realitet, men kun forstandsakter til brug i tænkningen (hvilket jo var kætteri: det er i strid med at "I begyndelsen var ordet, og ordet var hos Gud, og alle ting er blevne deraf"). Og konceptualisme var den anskuelse, at almenbegreberne er tankebegreber frembragt af forstanden ved abstraktion af lighederne mellem enkelttingene, men at de (for at opfattelsen ikke er kættersk) ikke er tilfældige, men "optagede" i enkelttingene, og at de var i Guds tanker før skabelsen af enkelttingene.

Realisme/anti-realisme striden har været et af de senere årtiers vigtigste filosofiske spørgsmål, og det beror på, at man i en lang række andre filosofiske spørgsmål i sidste ende havner i dette problem. Den betydeligste bidragyder har været den engelske filosof Michael Dummett (1925-). Han har givet en kraftig begrundelse for at forkaste realismen, og det er igennem dette arbejde lykkedes for ham, at få de to tilsyneladende modstridende opfattelser af sproget, som har været fremme i vort årh., til at gå op i en højere enhed.

Ifølge "matematikfilosoffen" Frege (1848-1925) og Wittgenstein (1889-1951) i sin tidlige periode, er sprogets primære opgave at gengive virkeligheden. Derfor skal sprogfilosofien først og fremmest beskæftige sig med sætninger - sprogets andre funktioner blev betragtet som underordnede affærer. At en taler kan siges at kende et sprogligt udtryks mening, betyder at han kan redegøre for de kendsgerninger (der jo er formuleret i sætninger) som specificerer udtrykket (jeg kan helt klart opskrive de sætninger der skal til for at forklare udtrykket "den nærmeste stjerne": jeg kan forklare hvad en "stjerne" er og hvad det vil sige at en sådan er "nærmest"). Men hvad er en sætnings mening? Det er dens sandhedsbetingelser, dvs. de betingelser der skal være opfyldt for at det sætningen udtrykker er i overensstemmelse med en kendsgerning i verden. Man har forstået sætningen, når man kan redegøre for disse betingelser, altså redegøre for hvornår de er opfyldt og ikke opfyldt.

Ifølge Wittgenstein i sin senere periode og "talehandlingsfilosoffen" Austin (1911-60), ses sproget derimod som en del af virkeligheden, nærmere betegnet menneskers sociale samkvem. Sproget muliggør bestemte handlinger, og det er sprogfilosofiens opgave at klarlægge reglerne for disse handlinger. At en taler kan siges at kende et udtryks mening, betyder at han kan bruge udtrykket, dvs. at han besidder de praktiske færdigheder som den kompetente bruger af udtrykket må besidde (når jeg møder udtrykket "den nærmeste stjerne", handler jeg på en måde så det er klart for enhver at jeg har den rette forståelse af udtrykket, jeg ville aldrig drømme om at sige "ja, det er den der hedder Mars").

Man kan tale om tre faser i sprogfilosofiens udvikling: den tidlige Wittgenstein og den sene Wittgenstein og Dummett. For Dummett er det sprogfilosofiens opgave at klarlægge reglerne for sproglig betydning, altså sprogets semantik - på samme måde som man har klarlagt reglerne for de forskellige sprogs syntaks - derfor bør realisme kontra anti-realisme præciseres til semantisk realisme kontra semantisk anti-realisme. På den tidlige Wittgensteins tid var man godt i gang med at gøre fremskridt inden for sprogfilosofien, og i udforskningen af matematikkens sprog var man nået meget langt, men senere måtte man se forskellige tilsyneladende sørgelige ting i øjnene. Det er helt klart, at en almindelig hævdende sætnings mening må ligge i dens sandhedsbetingelser, men sproget er jo meget mere end hævdende sætninger, og det kan også i høj grad diskuteres, hvornår man kan hævde en hævdende sætning. Og desuden kom der 1930'erne kendsgerninger frem, som trak tæppet væk under de matematikere som arbejdede på at opstille et komplet grundlag for matematikken, og dette tog modet fra sprogfolkene. Man orienterede sig derfor mere imod den sproglige praksis. Et ufravigeligt krav til sproget må være, at ethvert udtryk vi betjener os af, har en mening der er objektiv og offentlig tilgængelig. Og en persons forståelse af sproget kan ikke omfatte nogen bestanddel, som ikke viser sig i den brug personen ved passende lejligheder gør af sproget. Hvad en hævdende sætning angår, så kan den kun være meningsfuld når den er udtømmende kommunikerbar. Striden mellem realisme og anti-realisme berører de sætninger som har mening, altså som har klart forståelige sandhedsbetingelser knyttede til sig, således at hvis de er opfyldte, så er sætningen sand, men hvor det samtidig synes umuligt at finde ud af om betingelserne er opfyldte. Realisten hævder, at en sådan sætning ikke desto mindre har en ganske bestemt sandhedsværdi ud af to mulige: sand eller falsk. Antag at sætningen faktisk er sand (men det ved den talende ikke), så må den talende (som den kompetente sprogbruger han mener han er) kunne manifestere sin sprogbeherskelse ved at være villig til at hævde at sætningen er sand. Men det er jo bare noget han føler sig mere eller mindre overbevist om, og han kan ikke bruge sætningen som præmis i et argument. En sandhedsbetingelse kan ikke siges at være opfyldt, uden at vi kan erkende at den er opfyldt. Anti-realisten tager konsekvensen og siger, at en sætning ikke kan tilskrives nogen af sandhedsværdierne sand eller falsk, hvis den ikke er effektivt verificerbar, dvs. hvis den er såden, at vi ikke kan redegøre for en (endelig) procedure ved hjælp af hvilken det (i det mindste i princippet) kan fastslås, om det sætningen udtrykker er i overensstemmelse med et forhold i verden eller ikke - en sådan sætning kaldes uverificerbar eller verifikationstranscendent. Endvidere udlægger anti-realisten "sandhedsbetingelse" som "hævdelsesbetingelse": en sprogbrugers kendskab til en sætnings mening, består i hans viden om, under hvilke omstændigheder sætningen kan hævdes.

Hvis sætningens mening desuden kan betrivles, altså hvis sætningens sandhedsbetingelser kun tåget kan kommunikeres, så bliver det endnu mere galt. Hvis vi godkender at en sætning som "Min afdøde oldemor var et sprogligt geni", må være enten sand eller falsk, så kan vi ikke forbinde tildelingen af sandhedsværdien med en sproglig praksis, og vi kan ikke klart meddele sætningens mening til andre - der kan højst være tale om en privat følelse. Vi er villige til at erkende, at der er ting vi ikke kan erkende, og vi må også erkende, at uanset hvor rigt vores sprog er, så er der ting vi ikke kan udtrykke.

Om Dummett kan vi vist roligt sige, at han ikke er religiøs, for ikke én eneste påstand inden for en religion er jo effektivt verificerbar.

Lad os nu se nærmere på hvad realisme og anti-realisme kan være inden for et helt eksakt område som matematikken. Når matematikken - lige siden dens fødsel i oldtiden - har haft en særlig status blandt videnskaberne, skyldes det, at man har betragtet matematikken som den eneste videnskab, hvor man kan komme frem til påstande som er ubestrideligt sande, idet man kan opstille beviser for dem. Da enhver videnskabsmand selvfølgelig helst vil have at hans påstande er uafviselige, blev matematikken forbillede for andre videnskaber.

Men folk som har den opfattelse, at matematikkens begreber altid har været præcist definerede og forstået, må være folk som intet ved om matematikkens historie. For denne er fyldt med hårrejsende beretninger om logiske modsigelser og vanskeligheder ved at definere begreberne. Først og fremmest har "det uendelige" voldt kæmpe kvaler. Den græske matematiks storhed bestod faktisk i, at man viste hvordan det uendelige kan undgås. Efter at matematikken genopstod i renæssancen, blev problemerne ved det uendelige sværere og sværere at bortforklare, især med opfindelsen af differential- og integralregningen.

Omkring år 1800 var listen over uklare begreber så pinlig lang, at enhver kunne se, at man fremover måtte gøre en større indsats for at udforske matematikkens grundlag. Hvad er egentlig et "reelt tal"? - kan man definere et "imaginært tal" eksakt? - hvordan skal man definere begrebet "grænseovergang"? Og i løbet af det 19. årh. fik alle matematikkens grundlæggende begreber de definitioner som vi benytter i dag.

Imidlertid var rækken af påstande som man anså for sande, men som man var ude af stand til at bevise, blevet længere og længere efterhånden som matematikkens udvikling var skredet frem. Og tiden var inde til at afklare, hvad et bevis egentlig er for noget. Allerede Aristoteles havde opstillet nogle regler for logiske slutninger (den såkaldte syllogismelære). Men det var først i slutningen af det 19. årh., at man (først og fremmest Frege) begyndte for alvor at undersøge den logik man betjener sig af i matematikken. Frege udsendte omkring århundredeskiftet tobindsværket "Grundgesetze der Arithmetik", som skulle være et helt eksakt grundlag for aritmetikken og mængdelæren. Men ak, lige inden andet bind skulle gå i trykken, fik han et brev fra Bertrand Russell, hvori det blev påvist, at man ud fra hans system kan udlede en logisk modsigelse (Russells paradoks). Og det skyldtes en alvorlig mangel i Freges system, så alvorlig at han ikke selv kunne redde det. Herefter udtænkte Russell og Whitehead et system som tilsyneladende var uangribeligt, og som de i årene 1910-13 fremlagde i tre-bindsværket "Principia Mathematica". Men dette system viste sig at være unødigt besværligt, så det blev at andet system der gik af med sejren, nemlig et som flere matematikere bidrog til, først og fremmest Zermelo (1908) og Fraenkel (1922) - det kaldes Zermelo-Fraenkels aksiomsystem.

Men der var spørgsmål som disse systemer ikke gav svar på. I 1899 havde Hilbert udgivet bogen "Grundlagen der Geometrie", som er et moderne grundlag for den euklidiske geometri. Han - og alle andre matematikere på den tid - havde den opfattelse, at hvis en matematisk påstand er sand, så kan den også bevises. Endvidere mente Hilbert, at det må bevises at matematikken er modsigelsesfri - altså bevises at man ikke kan risikere en dag at støde på et udsagn som kan bevises både at være sandt og falskt. Og i de første årtier af vort årh. arbejdede han og andre energisk på at bevise disse helt rimelige krav til matematikkens troværdighed. Man gav sig til omhyggeligt at undersøge hvad man egentlig foretager sig når man tænker matematisk. Men sagen trak i langdrag. Og i 1931 rystede Gödel verden ved at bevise, at Hilberts projekt er omsonst. Gödel konstruerede et matematisk udsagn som er sandt, men som ikke kan bevises, og han beviste, at man ikke kan bevise at matematikken er modsigelsesfri. Mere præcist beviste Gödel at "i enhver matematisk teori som omfatter aritmetikken, findes udsagn som hverken kan bevises eller modbevises" og at "i enhver matematisk teori som omfatter aritmetikken, kan et bevis for at den er modsigelsesfri ikke formaliseres inden for teorien selv".

Gödel fik ideen til sit bevis ved at studere Richards paradoks (1905): Vi ordner alle sproglige udsagn hvori der indgår netop ét (variabelt) naturligt tal n, på rad og række (efter et leksikografisk princip). Det k-te udsagn betegnes Ek(n). Vi betragter nu udsagnet "En(n) er falsk". Da dette er et sprogligt udsagn hvori der indgår netop ét (variabelt) naturligt tal n, må det være blandt Ek-erne. Lad os antage at det har nummer q, altså

Eq(n) = "En(n) er falsk".

Men heraf følger (for n = q) at hvis Eq(q) er sand er Eq(q) falsk, og omvendt.

Dette resultat, som jo umiddelbart er nedslående, er - af populærjournalistikken - blevet udråbt til ikke bare at være matematikkens fallit, men selve den menneskelige tænknings fallit. Men i virkeligheden er der ikke noget særlig mærkeligt i Gödels sætninger. Thi hvad Gödel har bevist er, at der findes udsagn som man måske nok kan argumentere for bør betragtes som sande, men som ikke kan bevises ud fra et givet (endeligt) aksiomsystem. Et udsagn som kan bevises ud fra et givet aksiomsystem kaldes et teorem. Et sandt udsagn er altså ikke nødvendigvis et teorem - hvis man vil bevise det, må man føje nye aksiomer til aksiomsystemet. En smule overraskende er det måske nok at vi må leve med, at vi aldrig vil kunne få nogen garanti for at et aksiomsystem ikke kan føre til modsigelser. Kun erfaringen kan give os tryghed (kort tid efter Gödels bevis, fandt Gentzen et bevis for at den klassiske aritmetik er modsigelsesfri, men det bygger på en ny form for logik som fører til flere teoremer, og beviset godtages ikke som et fuldgyldigt bevis). Et tredie krav som Hilbert stillede til aritmetikken og mængdelæren, var at disse teorier er entydigt bestemte ved deres formale teorier, dvs. når vi formaliserer aritmetikken og mængdelæren, så må formaliseringerne være så omfangsrige, at de bestemmer aritmetikken og mængdelæren som vi forestiller os disse teorier. Også dette krav kuldkastede Gödel: en formal teori for aritmetikken eller mængdelæren vil altid have flere modeller - ja uendelig mange. Og det er endda en nødvendighed at Hilberts krav ikke kan opfyldes: man skal kunne bevise at en påstand ikke kan bevises, og det kan kun gøres ved at konstruere en model for teorien hvori påstanden er falsk.

Inden for matematikken kaldes realisme også for platonisme, det er altså den opfattelse, at enhver påstand (som er formuleret på en tilladt måde) har en ganske bestemt sandhedsværdi, sand/falsk, også selvom den kun i princippet kan verificeres. Og anti-realisme er den opfattelse, at en påstand kun kan kaldes sand, når den er et teorem - og kun kan kaldes falsk, når dens negation er et teorem.

De udsagn Gödel konstruerede, som er sande men som ikke kan bevises, er, sammenlignet med "normale" matematiske påstande, ret eksotiske. Det store spørgsmål er derfor: findes der helt elementære matematiske påstande som (set fra en realistisk synsvinkel) er sande, men som ikke kan bevises ud fra det vedtagne aksiomsystem. Der er masser af elementære påstande som alle anser for at være sande, men som savner et bevis, men ikke i ét eneste tilfælde har man kunnet bevise at påstanden ikke kan bevises.

De to mest berømte "sætninger" som måske ikke kan bevises, er "Riemanns hypotese" fra 1859 (som har med primtallenes fordeling at gøre) og "Goldbachs formodning" (som også har med primtallene at gøre). Riemanns hypotese er vigtig fordi den har meget vidtgående konsekvenser, og Goldbachs formodning er den enkleste og mest overraskende ubeviste påstand. Goldbachs formodning er allerede omtalt af Descartes (17. årh.), men den har sit navn fra Christian Goldbach (18. årh.), som nævner den i et brev til den store matematiker Euler. Påstanden lyder simpelthen:

Ethvert lige tal 4, 6, 8, 10, ... kan (på mindst

én måde) skrives som summen af to primtal.

Altså: 4 = 2+2, 6 = 3+3, 8 = 3+5, 10 = 3+7 = 5+5, osv. Man har tjekket denne påstand for alle de lige tal helt op til 100000000, og den bliver kun mere og mere sand jo højere man kommer op, i den forstand at opspaltningen af det lige tal i to primtal kan gøres på flere og flere måder. Hvis vi afsætter tallene fra 1 til 500 ud af x-aksen, og ud af y-aksen afsætter antallet af måder hvorpå det lige tal 2x kan skrives som summen af to primtal, får vi en "kurve" som ser således ud:

Der er altså stor variation i antallet af måder, men som man ser, stiger denne "røgsky" af punkter hele tiden. At Goldbachs formodning var usand, ville betyde at y = 0 for et lige tal 2x - altså at det til x svarende punkt faldt ud af røgskyen og lå nede på x-aksen. Dette ser helt usandsynligt ud. Og dog kæmper man med stigende intensitet for at bevise denne påstand. Det er tankevækkende, at en så elementær påstand kan være så svær at bevise. Og hvis den virkelig ikke kan bevises (ud fra de vedtagne aksiomer), er spørgsmålet: vil man nogensinde formå at bevise det, ja findes et bevis for den påstand overhovedet. Hvis Goldbachs formodning ikke kan bevises, hvori består da manglen i matematikkens aksiomsystem? Hvilket nyt aksiom bør medtages?

Realisten mener at Goldbachs formodning er sand, da han anser det for udelukket at der findes et lige tal som ikke er summen af to primtal. Hvis man skriver et svimlende stort lige tal n op, findes der to primtal p og q således at n = p+q, også selv om vi ingen jordisk chance har for at finde p og q (vi kunne gætte på et p, men vi kunne måske ikke bevise at både p og n-p er primtal). Realisten mener også at spørgsmålet "Goldbachs formodning er et teorem" har et svar: ja eller nej. Hvis svaret er ja, findes et bevis altså, men det er muligt at vi aldrig vil finde det. Hvis svaret er nej, skal der medtages et nyt aksiom for at kunne bevise Goldbachs formodning. Et sådant aksiom kan nemt angives, nemlig Goldbachs formodning selv. Men i formuleringen af Goldbachs formodning indgår begreber som ikke er helt grundlæggende, men som defineres, nemlig "naturligt tal", "lige tal", "addition" og "primtal" (og derfor også "multiplikation"). Det det gælder om, er at finde et aksiom som er mest naturligt, i den forstand at det kan formuleres enklest muligt ud fra de helt grundlæggende begreber - og aksiomet skulle gerne kunne bruges til at bevise flere typer påstande som savner et bevis. Realisten mener at et sådant mest muligt naturligt aksiom findes, men det er muligt at vi aldrig vil opdage det.

Men hvad mener anti-realisten om Goldbachs formodning? Computerundersøgelser har jo stort set verificieret den - han forestiller sig ikke at noget kan begynde at gå galt når tallene bliver større. Han vil derfor betragte påstanden som sand, men samtidig hævde, at det ligger i dens mening at den skal opfattes som sand i denne forstand. På den anden side, indtil der foreligger et matematisk bevis for den, vil han sige at den ikke kan tilskrives en sandhedsværdi i matematisk forstand, altså kaldes et teorem - og den kan jo ikke bruges i et bevis. Og spørgsmålet om eksistensen af et "mest muligt naturligt aksiom" vil han betragte som menigsløst.

Det kan godt være at det er mere korrekt at være anti-realist end realist, men jeg foretrækker at være realist! Så kan jeg sidde og filosofere over "sandheden" om Goldbachs formodning. Og jeg er nået frem til den overbevisning, at Goldbachs formodning har et bevis, men det er så indviklet at menneskene aldrig vil finde det - uanset hvormeget de specialiserer sig og samarbejder og bruger computere. Ja, de ville ikke engang kunne fatte det hvis de så det, for det fylder nemlig over en million sider! Man kan være uenig med mig i denne påstand, men jeg kunne have ret, ikke?

                     Niels-Henrik Aphel Riisbye




   — Det var dog imponerende! - det var dog helt utroligt! - jeg forstår virkelig ikke hvordan du kan bekymre dig for Niels-Henrik! - og her ka' du da ikke påstå at Annie står bag - du da indrømme, at det er en helt usædvanlig præstation af en dreng på 16 år.

   — Hvordan ka' du vurdere det? - forstod du måske noget af det?

   — Næ mig - men du - det er jo matematik.

   — Ja, og det fag har de kassevis af bøger om derovre - ka' du ikke se, at det meste er skrevet af et sted fra? - og... næ lige et øjeblik! - nu begynder jeg at lugte lunten!

   — Torben, hvor ska' du hen?

   — Jeg rør' ingenting.

Britta fulgte efter ham op på Niels-Henriks værelse.

   — Den figur der er i stilen, den er lavet på hans computer ka' jeg se - nu er der pludselig noget der går op for mig - de bøger der står dér ovre, la' mig lige se, de har stået her i flere uger - de ligner ikke gymnasiebøger - de er fra Universitetsbibliotekets 2. afdeling - "A Classical Introduction to Modern Number Theory" og "The Riemann Zeta-Function" - der var noget med Riemanns formodning i den stil.

   — Ja øh...

   — Hvordan kan en 16-årig slæbe bøger hjem fra det bibliotek? - har du kautioneret?

   — Nej.

   — Så er det Annie.

   — Jeg forstår ikke...

   — Næh, det plejer du ikke.

   — Er du ikke stolt af en søn der sådan går til makronerne? - tænk på de andre unge...

   — I har travlt med de unge, du og din søster! - næ nu går det op for mig hvad det er han har så travlt med - lad os lige prøve at tænde her.

   — Altså Torben! - du kan ikke tænde hans computer, han kan komme nårsomhelst.

   — Den udsendelse varer til klokken ni.

   — De har garanteret ikke fået apparatet til at virke - og hvis der er noget han er igang med, så...

   — Så, lad os lige se her - nå, hva' siger du så? - gf1, gf2, gf3, helt op til gf16 - hva' tror du gf betyder? - var det ikke Goldbergs formodning, det problem hed? - og dér - prim1, prim2, prim3 - der bliver forsket her, hva'?

   — Jah...

   — Lad os lige kigge i dether program - så - hva' siger du så? - se her, side op og side ned - er du klar over hvor lang tid det tager at lave sådan et program? - og få det til at virke?

   — Næh...

   — Du véd jo hvordan han sad sidste år - men dengang passede han da sit skolearbejde - nu er vi oppe på et helt andet niveau - nu er der ikke mere tid til noget så underlødigt som skolelektier - nu er han blevet fuldtidsarbejdende forsker - et problem som matematikprofessorer har kæmpet forgæves med i hundrede år, det skal gymnasieelev Niels-Henrik nok få bugt med - lad os se hvornår det sidste program er oprettet - gf16 - oprettet: søndag den 13. september 1998 klokken 20.14 - revideret: torsdag den 17. september klokken 1.51 - det er i nat - det er det han har siddet med hele natten - og man tror det er lektier han laver.

   — Årh, han bliver såmænd snart træt.

   — Det er der ikke noget der tyder på - lad os se hvornår det begyndte - gf1 - oprettet: søndag den 2. august - det har stået på i halvanden måned.

   — Han bliver da dygtig til matematik.

   — Ikke engang det bliver han dygtig til - hva' nytter det at han er ekspert i primtal, hvis han kommer op i annuiteter? - næh, han får en middelmådig karakter i matematik og nul i alle de andre fag - hvis han ikke forinden er blevet vippet ud - og så kan han leve som rengøringsassistent.

   — Jeg kan virkelig ikke være bekymret for Niels-Henrik.

   — Næh, set fra din side er der ingen grund til bekymring - din opgave, det er dagligdagens små fortrædeligheder - og bortset fra at han er til grin, så har han det vist meget godt, han lever jo i en helt anden verden - men min opgave er hans udvikling på længere sigt - forestil dig at han fortsætter på den måde, hvor er han så henne om et år, tror du? - han går ikke i gymnasiet, han har ikke en eneste kammerat, og han bor vel heller ikke her mere - det er ihvertfald dér Annie vil ha' ham hen - jo mindre et arbejde har med virkeligheden at gøre, jo finere er det - det han er igang med, det er sådan noget de sidder og nusser med ved universiteterne - på skatteydernes regning - men de venter da i det mindste med at forske til de har gennemført deres uddannelse - så finder de de primtal som er summen af to primtal, eller hvad det er Goldbergs problem går ud på - og det var måske godt nok før i tiden, det ka' vel ha' været med til at udvikle matematikken - men meningen med matematik er sgu da for fanden at blive brugt til noget nyttigt - og heldigvis er udviklingen på vej i en helt anden retning, det er helt andre ting de unge kaster sig over idag.

   — Niels-Henrik bestemmer selv hvad han vil kaste sig over.

   — Ja, det gør han, om tre år - indtil da skal han bare passe sit skolearbejde.

   — Han kommer da til timerne - og hvis det han er igang med er noget ingen har kunnet løse, så kan han heller ikke, og så holder han op - og de lektier ska' han snart få indhentet.

   — Det er muligt, men så begynder han på noget andet - det skal hun nok sørge for - hun vil benytte enhver lejlighed til at få ham væk fra det idiotliv vi andre lever - vi lønslaver - hun stopfodrer ham med al sin finkultur og samfundskritik.

   — At du helt har mistet tag i din søn, er du selv skyld i - du har aldrig foretaget dig noget sammen med ham.

   — Jeg har taget adskillige initiativer - også med computer - men han har modvilje imod alt hvad jeg står for.

   — Du har altid vidst at han hver dag kom hos hende.

   — Ja, jeg har jo haft en del at se til - der er også en anden ting jeg ka' se nu, og det er at han sku' ha' været i børnehave og på fritidshjem.

   — Det var dog utroligt som du kan ændre mening!

   — Jeg har ikke ændret mening, det er ikke institutionerne jeg har noget imod, det er pædagogerne - børneinstitutioner er en god ting for børn, de lærer at fungere socialt - det er i høj grad børneinstitutionerne vi kan takke for fremgangen i erhvervslivet.

   — Trine har...

   — Trine er gjort af et andet materiale - hende ville den dressur have spoleret, som jeg har sagt.

På dette sted i samtalen smækkede havelågen. Torben slukkede for kontakten til computeren og begyndte at gå ned.

   — Nej Torben, vi går ind.




Torbens bemærkning om sin konens slægt - at den er fornem - findes der ikke mange vidnesbyrd for. Der er ingen berømtheder, ejheller har der været større rigdom, og hvis der har været adelsblod, er det blevet grundigt fortyndet i tidens løb. En håndfuld har fundet optagelse i Dansk Biografisk Leksikon, men dertil skulle vist ikke så meget før i tiden. Den ældste er netop denne Hans von Aphelen, som i 1775 udgav den "Fransk Sproglære" som Niels-Henrik havde med i skole og som var "tilskrevet" kronprins Frederik (VI). Han udgav også en (tre kilo tung og tolv centimeter tyk) fransk-dansk og dansk-fransk ordbog "Dictionnaire royal I-II", og han var en flittig oversætter fra fransk og tysk.

Og så er det endda spørgsmålet, om Annie nedstammer i lige linie fra denne mand som havde nærmet sig kronprinsen. Da hun fortalte mig om sin slægt og viste mig de mange relikvier fra fortiden - afhandlinger, bøger, noder, prædikener - forestillede jeg mig at hun havde godt styr på sin slægts historie - stamtavler og det hele - men et sådant arbejde må vente til hun har bedre tid. Hvis da ikke nogle ulogiskheder i årstallene, som jeg har påpeget, vil få hende til at fremskynde sin kulegravning.

Nej, det mest imponerende ved Annies slægt er at den eksisterer. Hvormange idag kan sige at de tilhører en slægt? Engang var problemet mangel på information, man vidste om en oldefar at han var snedker og at faster Karens chatol var lavet af ham, men det var også alt, og det var nok. Fra nu af er problemet ikke mangel på information, men lige det modsatte, så resultatet vil være det samme: disse slægters stamtræer vil fortsat stå nøgne. Fordi det har vist sig at uddannelse, i modsætning til hvad man engang troede, ikke nødvendigvis fører til dannelse, som jo inkluderer historisk interesse og bevidsthed.

Annies slægt eksisterer, men den har endnu ikke nogen historie, det må vente til Annie får tid. Så skal hun konstruere et stort stamtræ, og på grenene skal hun hæfte de klenodier hun har og dem hun kan finde rundt omkring på biblioteker, og udfra dette skal hun skrive sin slægts historie. Måske en lidt trist historie, for der ser ikke ud til at have været megen mytedannelse eller have foregået dramatiske ting, så historien vil næppe komme til at hæve sig over kendsgerningernes niveau - den vil næppe blive til det enhver historie gerne skal være: fortælling.

Men måske vil Annie finde belæg for den opfattelse hun har, at der i hendes slægt har været en særlig tendens til at man har beskæftiget sig med de mere åndelige ting. De efterladenskaber hun har tyder på det, men de er jo kun den del af slægtens skaberværker som nogen har gidet at gemme. Havde Annie ikke eksisteret, så havde alle klenodierne befundet sig i Torbens hjem, og før eller siden ville Britta vel bøje sig for hans ønske om at få alt det afhændet som ikke har stor betydning for hende.

En sådan ulykke har Annie ikke grund til at frygte, så langt er hun nået i sin dressur af Niels-Henrik. Især vil hendes egne og hendes forældres og onkel Hermanns skaberværker blive ham kære, og så kommer selvfølgelig hans egne ting.

Hans stil er hans første lødige skaberværk (næst efter hans computerprogrammer, vil jeg sige - dem er jeg ganske målløs over). Vi kan være sikre på, at når han om mange år genlæser stilen, så vil den fylde ham med glæde. Han vil være overrasket over så klar og velskrevet og fejlfri den er, og hvis han har glemt realisme/anti-realisme problematikken - og det har han jo nok hvis han ikke går filosofiens vej - så vil han sikkert opleve sin egen fremstilling som den mest elegante der er givet - og sit eget eksempel på problematikkens anvendelse, Goldbachs formodning, også som det mest elegante. Og omfanget af den hjælp han har modtaget andetsteds fra (her dog undtagelsesvist ikke fra Annie), vil være betydeligt mindsket. Men denne hjælp skal han ikke have det dårligt med: han har grebet sagen an som enhver videnskabsmand ville have gjort - og læreren har nok også vurderet stilen udfra nogle rimelige formodninger om dens tilblivelse.

Skulle sådanne tanker om fremtidige glæder endnu ikke have meldt sig hos Niels-Henrik, så kommer de. Når Annie skal bruge en musikhistorisk eller musikteoretisk oplysning, er det ikke sjældent at hun roder i de notater som hun har skrevet lige siden hun var ti år. De er systematisk ordnede og forsynet med dato, og de fører altid til mere læsning end det hun havde brug for. Det er hende ganske ufatteligt at nogen kan leve uden denne form for glæde - eller rettere: uden at arbejde for at den kan indfinde sig. En af de ting hun har vist mig og som synes at røre hende særligt, er en bog som oprindeligt har haft helt blanke blade, og hvori en af slægtens utallige skolelærere har udført geometriske konstruktioner - et halvt hundrede stykker, og mere og mere komplicerede. Tænk, således kunne en lærers kæreste fritidssyssel engang se ud: når børnene var lagt i seng og konen sad med sit, så gik han igang. Han havde i dagens løb, imens eleverne sad bøjede over regnehæfterne, udtænkt og skitseret sin nye konstruktion, og nu blev den tegnet med blyant og lineal og passer, og derefter, yderst forsigtigt, trukket op med tusch. Selv Annie, som bare var lektielæser i det fag, er betaget af denne skønhed. Niels-Henrik har dog endnu ikke værdiget denne bog nogen større interesse. Næh, han har haft mere lødige ting for, han har længe været igang med den højere matematik og han har lavet computerprogrammer. Men mon den tanke har strejfet ham, at verden er på vej væk fra hans form for matematik, og at de programmer han laver, meget snart vil være ligeså forhistoriske som skolelærerens tuschtegninger?

Annie og Niels-Henrik lever i en forældet verden. Ikke fordi deres ting som sådan er forældede - Annie er en af vore førende eksperter i vor tids partiturmusik og Niels-Henrik arbejder på et matematisk problem som, hvis han kan løse det, vil skaffe ham omtale på forsiden af samtlige aviser i hele verden. Nej, det er deres tænkemåde der er forældet. Den musik som Annie interesserer sig for, hører en uddøende kulturtradition til - uagtet hvormeget den kalder sig moderne. Og grunden til at Niels-Henriks problem stadig er uløst, er at ingen gider at løse det. Hvorfor? Ja, det vil være klart for læseren når han er færdig med 1. del af denne bog - og hvis han ikke når så langt, så vil det også være klart.

Det er skæbnens ironi, at verdens nuværende forfatning - dens kaos og umuligheden af at blive husket - er skabt af netop de slægter som engang kæmpede bravt for orden og for at blive husket. Thi den nuværende forfatning er udvirket af det arbejdsredskab, som man i disse slægter har ansporet sine medlemmer til at benytte sig af: ånden. De var så optagede af at sikre sig plads i historien, at de ikke lyttede til - og måske heller ikke havde fattet - de røster for hvem det er en selvfølge, at åndens potentiale må tæmmes. Denne visdom som før var virkningsløs - ja til grin - fordi den kom fra religiøs side, begynder idag at få virkning, fordi religionen er skrumpet ind til en størrelse som er så lille at enhver kan se at den må være der, nemlig etikken. Denne minimalreligion kan måske forhindre, at vi får en verden hvori kun de mest mentalt tykhudede kan holde ud at være, men den kan ikke forhindre, at mennesket bliver historieløst, altså at de forbindelser der er menneskene imellem, mest har karakter af private relationer som det er umuligt at bringe orden i.

Det er Annies slægt som har ødelagt verden, så derfor er det nu denne slægts pligt at rette op på skaderne. Men da også slægten er ødelagt - der er kun Annie tilbage - og muligvis Niels-Henrik - så forstår man omfanget af den opgave Annie står overfor. Hun har fundet ud af, at det eneste som kan redde menneskeheden er religion - under en eller anden form. Det er religionen som gør mennesket til menneske, dette har altid været, og er stadig for nogle, den mest indlysende af alle kendsgerninger. Men hvad ingen idag kan se - ingen undtagen Annie - er at religionen i fremtiden må have en helt anden beskaffenhed end den har haft indtil nu. Det er det hun skal have verden til at fatte. Men først skal Niels-Henrik fatte det, og dette vil få store omkostninger - hun må sætte hans liv på spil. Det er ubærligt, men hvis han overlever, er hun sikker på at han engang vil forstå hende og tilgive hende.




Lad os nu, efter disse alvorsord, vende tilbage til vores beretning. Annies forældre var ikke ligeså tæt på afgrunden som Annie, så derfor var deres bekymring for hende en smule mindre end hendes bekymring for Niels-Henrik. Heldigvis føjede Annie sig ligeså lydigt efter dem, som Niels-Henrik er ifærd med at føje sig efter Annie.

Forældrenes historie begynder en dag i midten af 30'erne hvor en kvindelig violin-studerende og en mandlig obo-studerende ved Det Kgl. Danske Musikkonservatorium begge modtager en fødselsdagsinvitation fra den anden til to på hinanden følgende dage i den følgende uge - hun fyldte 17 og han 20. De havde mødt hinanden ved en koncert nogle uger forinden, og de havde "dårlig nok" talt sammen - og de var et noget umage par: hun livlig og han tung i sværen. De blev gift efter at de nogle år senere begge havde fået fast ansættelse i det der dengang hed "Statsradiofoniens symfoniorkester". Men de var altfor optagne af deres musiceren til at tænke på børn. De øvede sig og avancerede - faderen blev førsteoboist og moderen endte som koncertmester. Foruden deres plads i Radiosymfoniorkesteret, virkede de i årenes løb i nogle kammerensembler, og de har selvfølgelig bidraget til slægtens klenodiesamling med utallige pladeindspilninger. De var altid sammen og havde fælles venner, og der var ikke skænderier eller sidespring. Men hvad var det nærmere der havde ført dem sammen? - havde de været forelskede? - og hvordan stod det til med deres sexliv? Man fik ingenting at vide.

Først i 1953 gjorde forældrene alvor af deres plan om at sætte Annie i produktion. Der kom til at hvile en tung vægt på hende, for hun var ene om at skulle føre denne gren af Aphel-slægten videre. Man regnede slet ikke med at der kom flere børn, og faderens bror, som var endnu mere tung i sværen end broderen, havde intet med kvinder at gøre. Annies instrument skulle være klaveret - det ville være det mest hensigtsmæssige for samspillet i hjemmet. Hun blev først forsynet med marimba og blokfløjte, og da hun var seks år og man var sikker på interesse og evner, investerede man en årsløn i et fabriksnyt Steinway & Sons. I et sådant hjem og med et sådant instrument, var der selvfølgelig ingen problemer med at holde barnet til tangenterne. Allerede et par år senere kunne far, mor og datter give koncert for gæsterne.

Når forældrene var ude, var Annie altid med, og ved al den lytten til musik og omgang med mennesker som var noget i kulturlivet, blev hun et fremmeligt barn som forældrene var stolte af. Annie løsrev sig først fra hjemmet da hun nåede teenagealderen, og da var det for at høre den partiturmusik som forældrene ikke hørte. Indenfor den klassiske musik er det ganske almindeligt at træffe helt unge som er flittige koncertgængere - det er dem der drømmer om engang selv at modtage publikums hyldest. Men indenfor den ny musik havde man aldrig set et så ungt menneske komme af egen drift. Og Annie talte gerne med folk - især med den person som var centrum for opmærksomheden: solisten, dirigenten, komponisten. Når en solist spillede og hun havde noderne, så fulgte hun med og satte mærker hvor der var spillet forkert, og så blev sjuskeriet påtalt. Og når hun havde spørgsmål som hun havde forberedt hjemmefra, så styrede hun lige imod målet som en anden journalist. Især gik hun løs på verdensnavnene, når de var her - hun har haft ting at drøfte med hele striben: Berio, Boulez, Ligeti, Stockhausen, Xenakis. Når det gjaldt de danske komponister, ville hun gerne se deres arbejdsværelse, så derfor sørgede hun for at finde på noget som krævede god tid og nodepapir - et harmoniseringsproblem eller en analyse af en Bach-fuga - og hvis komponisten ikke makkede ret, så fik hun sine forældre til at finde på en anledning til at invitere ham. Men hun holdt ikke fast ved mennesker, havde aldrig veninder i længere tid og drenge interesserede hende slet ikke. Dette bekymrede moderen mere og mere, så hun lærte hende, at når man møder interesse, så viser man interesse. Får man en invitation, så siger man ja, med mindre det aldeles ikke er noget. Man prøver at komme sine fordomme tillivs: "At jeg er sådan, ka' du takke din eksistens for." Men for Annie skulle der et håndgribeligt arbejdsfællesskab til, førend hun kunne fortsætte med et bekendtskab.

Da hun var tolv år, var hun godt træt af de stykker som hendes lærer kom slæbende med. Hun nød såmænd klaverudgaverne af Beethovens sonater for violin og klaver, og hendes virtuose fremførelse af Gustav Langes bearbejdelse af Wagners "Pilgrimskor" vakte forældrenes og lærerens forbløffelse, så den skulle spilles for enhver besøgende. Men "hva' mæ et værk af en komponist som kun har været død i tredive år? - Carl Nielsen for eksempel". Læreren vidste ikke selv hvorfor han ikke forlængst havde medbragt Carl Nielsen, han elskede Carl Nielsen. Se her var rigtig musik for Annies temperament: "Symfonisk Suite" var som skrevet til hendes kraftige næver. Men en måned senere var den gal igen: "Har ham dér Arnold Schönberg skrevet noget for klaver?" Og sådan fortsatte det. Da hun atten år gammel skulle give sin diplomkoncert, havde hun krævet maksimum antal af helt nye værker. Nu ville hun i solistklassen - hun ville være Danmarks nye fortolker af moderne klavermusik.

Men efter sin studentereksamen begyndte hun også at studere musikvidenskab - de to studier kan nok forenes. Det kunne de bare ikke, og hun valgte videnskaben, og skrev speciale om den franske komponist og dirigent Pierre Boulez. Og siden hun i 1977 fik sit cand. mag.-papir, har hun været hele musiklivet rundt. Pengeindtjeningen har været det mindste af det hele: i gymnasietiden fik hun et vikarjob som organist ved Fredensborg Kirke og det førte nogle år senere til fast ansættelse, og så har der været lidt vikarieren og undervisning og koncerter - reduceret til et minimum. Hendes rigtige arbejde har bestået i at skrive artikler til musiktidsskrifter og i at lave radioudsendelser (kun det sidste har hun fået betaling for), og i de seneste mange år er det meste af hendes tid gået med at skrive en tyk bog som hun så småt er ved at være færdig med, men hvis udgivelse hun gruer for, da den ikke er objektiv: "Den Ny Musik i Danmark - 1950-2000"




Da Britta og Torben blev gift, blev Britta af et billedblad omtalt som "Danmarks smukkeste kvinde". Men at hun overhovedet eksisterer beror på et uheld, for moderen var 42 år. Britta skulle naturligvis også deltage i familiens musiceren, og da hun var barn på vidunderbarnet Michala Petris tid, blev hendes instrument blokfløjten. Men det blev ikke til noget videre med hendes spil, og til forældrenes og storesøsterens forargelse, holdt tidens populærmusik sit indtog i det aphelske hjem.

Britta er faldet underligt udenfor Annies forestillinger om slægtens egenart, og Annie er taknemlig for, at hun ikke selv skiller sig stort ud fra hoben hvad ydersiden angår, for ellers var hendes liv vel blevet ligeså trist - hun havde i hvert fald næppe valgt videnskaben. Brittas forunderlige ansigt har pådraget hende ufrihed ligefra hun var helt lille. Overalt fangede og fastholdt hun menneskers blik, men til at begynde med var det mere beskueren end den lille Britta der havde glæde af dette kunstværk. Denne puffen til sidemanden synes at være gået hende på. Hun søgte væk fra menneskenes midte - og en dominerende storesøster. Det kan nu også være, at det var denne storesøsters meget ringe behov for samvær med jævnaldrende der har smittet af. Ihvertfald søgte Britta væk, ind i bøgernes verden. Ikke den verdenslitteratur som forældrene og søsteren mæskede sig i, men dog gode og opbyggelige romaner med spænding og kærlighed og uret der bliver forvandlet til ret - helst fra tiden omkring århundredeskiftet. Annie så ned på den slags romaner, men da hun senerehen gjorde sig den ulejlighed at læse nogle af dem, overraskede det hende hvor gode de kunne være: trivielle i stil og budskab, men velskrevne og med originale karakterer og opfindsom handling. Siden da har Annie flittigt "lånt" fra Brittas reol.

Britta skulle ligesom Annie altid med når forældrene var til koncerter og sammenkomster, og da hun nåede alderen, fik hun invitationer på stribe som hun pligtskyldigst tog imod, men hver gang vendte hun tilbage til den kærlighed hun kunne finde i bøgerne. Problemet var ikke at hun forlangte interessefællesskab - overhovedet ikke - problemet var at hun forlangte forelskelse. Og den kom for fuld udblæsning da hun var 18 år - og for begge parter har den varet ved, selvom folk der ikke forstår sig på kærligheden vil tænke det modsatte. Den 24-årige direktørsøn og studerende ved Danmarks Tekniske Højskole, Torben Riisbye, var ligesom sin far og farfar bestemt til at flytte store brikker i dansk erhvervsliv. Men først skulle han have sin eksamen, og han skulle have sit bagland i orden - og han lod sig ikke nøje med det næstbedste. Så derfor var det til at tude over, at pigen med det mest henrivende ydre, var pilrådden indeni. Han havde aldrig talt med hende, men han sluttede sig til det udfra hendes snobbede søster - og deres forældre som tydeligvis var af samme skuffe. Annie var dog ikke mere snobbet, end at hun engang havde nedladt sig til at danse med Torben ved et skolebal. Han havde budt hende op bare for at se hvordan hun ville reagere (påstår han), men hun sprang glad op og sikke liv der var i hende. Hun var nemlig svært beruset, men ikke mere end at hun overholdt standsetiketten, så da nummeret var forbi, fik hun øje på én nede ved indgangen som hun sku' tale med - farvel og tak - at man er arving til Danmarks største tekstilfabrik, det tæller ikke det mindste. Der var slet ingen grund til at forsøge sig hos søsteren. Men dér tog Torben helt fejl. En dag da han stod i indkørslen med opsmøgede ærmer og sorte hænder og cyklen med bunden i vejret, så han hende komme susende forbi, og inden han havde nået at tænke sig om, havde han råbt "hej". Og hun cyklede ikke bare videre eller nøjedes med et gen-hej, hun standsede brat op og vendte om:

   — Du har gang i et større projekt.

   — Det er nu ikke så omfattende - jeg er færdig - men der var et andet projekt - men du har travlt...

   — Jeg har ikke travlt, og du er da ikke færdig, forhjulet er fladt og der står en spand.

   — Ja, men det ka' vente - den cykel kører ingen steder.

   — Hvis du nu strammer min kæde - se, den hænger faretruende - så ordner jeg dit forhjul.

I et snuptag havde Britta fået afmonteret hjulet, stukket dækjernet ind, fisket slangen ud, pumpet luft og proppet den ned i spanden og fundet hullet, tørret med kluden og slebet med sandpapiret og smurt lim og gnedet det rundt og pustet. Torben så målløs til:

   — Jeg troede at I musikinstrumentvirtuoser er fummelfingrede når det gælder det praktiske.

   — Det er musikinstrumentvirtuoser også, men jeg er ikke musikinstrumentvirtuos - jeg er familiens praktiske gris - nu må vi finde synderen - det må være her et sted - ja her! - så snupper vi kalorius - det er et glasskår!

   — Ja sørme - pas på ikke at skær' dig - smid det!

   — Hvis du sætter lappen lige dér.

   — Så - så drysser vi lidt talkum - nåså du ska' ikke mucisere, men du ska' vel studere - du er færdig her til sommer, ikke?

   — Jo, men jeg ska' ikke studere - jeg véd ikke hva' jeg ska' - jeg er et problem.

En time senere var cyklerne ordnede og pudsede og Torbens hjul holdt luft, og værktøjet var blevet lagt på plads i den smukkeste orden. Og da Britta og Torben stod overfor hinanden og vaskede hænder, kunne Britta sige:

   — Dem får du ikke rene på den måde - der skal en neglerenser og en kvindehånd til - det ordner jeg imens... ja hva' har du at byde på, Torben? - det er en ordentlig vinkælder din far har, vi ka' vist godt hugge en flaske.

Flere timer senere, da Annie og forældrene længe havde gået frem og tilbage og udvekslet årsager til at Britta kunne have glemt tiden, ringede telefonen endelig. Det var Annie der først nåede frem: "Det er Britta", råbte hun. Britta meddelte at hun er hos Riisbyes søn, Torben, og at hun først kommer hjem i morgen - eller en anden dag - eller aldrig mere. Det sidste fortalte Annie ikke videre til forældrene, og heller ikke at Britta var ret beruset. Britta kom dog allerede næste eftermiddag for at fortælle den glædelige nyhed. Hun blev overdænget med ængstelige spørgsmål, og da hun var helt sikker i sin sag, svarede hun beredvilligt. Men efterhånden som forhøret skred frem, fik man mistanke om at historien var en makaber spøg. Bevares, den unge mand blev beskrevet som køn og velopdragen, og hans far var stenrig, men alt det der hører med til at være et kultiveret menneske kunne de ikke få øje på: "Kun lærebøger? - slet ingen klassisk musik? - P3, siger du?" Annie fik endnu engang sin dom over lillesøsteren bekræftet. Både hun og forældrene tog dog høfligt imod ham, og man kunne ikke sige andet end at han gjorde et godt indtryk.

Britta var skrækslagen ved udsigten til det liv i offentlighedens søgelys som denne unge fyr syntes at hige imod, men Torben fjernede hendes betænkeligheder ved, i dén periode, at undgå det helt vilde selskabsliv. Da hun var nogenlunde vænnet til dagslyset, meddelte hun ham endda at hun ville læse til lærer. Næst efter et pædagogseminarium var et lærerseminarium det sidste sted Torben kunne forestille sig sin kone - blandt disse skæggede og venstreorienterede bavianer? Ikke fordi at et liv som kommunelærer var vildt tiltrækkende for Britta, men hendes blokfløjtespil var ophørt og hun gad ikke et syv-årigt humanist-studium, det mindste hun kunne gøre, var at vælge den livsgerning som alt tyder på har været den mest almindelige i hendes slægt.

For Annie var Aphel-slægtens skæbne beseglet. Hun regnede ikke selv med at bidrage til dens fortsættelse. Det var vist ikke mere end én promille af alle mænd som hun kunne forestille sig som samlever og børnefar, og når hun endelig mødte en mand tilhørende denne minoritet, var en anden kvinde kommet hende i forkøbet. Og Britta var så lykkelig og Torben virkede så stabil, at en skilsmisse var usandsynlig. Men man kunne gøre noget andet. Der kom sikkert flere børn ud af dette kultursammenstød, så alle kræfter måtte sættes ind på at frelse et af dem. Da Annie aldrig har set nogen grund til at flytte hjemmefra, og da Torben overtog forældrenes hus lige efter at han og Britta var blevet gift, kom de to slægter til at leve kun en kilometer fra hinanden. Og denne Torben ville nok være meget bortrejst, og meget lidt tilstedeværende når han var hjemme.

Da Niels-Henrik kom, var Annie der på pletten for at tilbyde pasning af den lille. Og der blev meget brug for hende. Da Torben ikke kunne døje pædagoger, forlangte han at Britta skulle blive hjemme og passe hans øjesten, og Britta havde meget brug for fred når Torben ikke var hjemme.




Niels-Henriks interesse for matematik stammer, ligesom alle andre ulykker der har ramt Torben, fra Annie. Ikke sådan at forstå, at hun har tilskyndet ham til dette fag, men sagen er, at på loftet i Annies hus er der tusindvis af bøger - ligeså mange som i hendes bibliotek. Så langt tilbage som han kan huske, har ekskursioner til disse kasser været Niels-Henriks mest yndede gøremål, når han har været hos moster Annie. Så snart han åbner døren og snuser de gamle bøger, er han som i Aladdins hule. Tusinder af timer har han tilbragt i dette støvede og dårligt oplyste rum. Og han finder altid en bog som må studeres nærmere nede i dagslyset. For ham er disse bøger mere tiltrækkende end bøgerne nedenunder, og det er først og fremmest fordi onkel Hermanns bøger er blandt dem.

Onkel Hermann, morfars bror, har Niels-Henrik ingen erindring om - han døde da Niels-Henrik var fire år. Han var ekspert i strømningsmaskiner - turbiner, ventilatorer, vindmøller. Han havde undervist i dette fag ved Danmarks Tekniske Højskole, og skrevet lærebøger og artikler, og han havde praktiseret sine færdigheder i et ingeniørfirma. Men efter hans bogsamling at dømme, må han også have været ekspert i konstruktion af overlydsfly - der er flere hundrede bøger med notater og med titler som "General Theory of High Speed Aerodynamics" og "Supersonic Flow and Shock Waves". Hvorfor sad denne mand i Danmark og konstruerede ventilatorer, og ikke i USA og konstruerede krigsfly? Der er mange paradokser i Aphel-familien. Han giftede sig aldrig, og han kendte ligeså lidt som så mange andre apheler til opdelingen arbejde/fritid. Når han fik sin månedsløn udbetalt, cyklede han ind til Gjellerups Tekniske Boghandel i Sølvgade og omsatte en pæn del i videnskabelige bøger.

"Utroligt at tænke sig: far og onkel Hermann har den samme slags uddannelse, de er endda uddannede det samme sted." Niels-Henrik har aldrig set en eneste af sin fars lærebøger. Godt nok havde faderen valgt en nyoprettet "produktionsteknisk" linie - så han har åbenbart ikke haft brug for håndbøger i matematik og fysik - men for Niels-Henrik er det en selvfølge, at man har et arbejdsredskab. "Mormor havde sin kostbare Chanot-violin, morfar sine oboer, onkel Hermann masser af bøger, Annie både flygel og bøger, mor har også bøger, men far, han har ingenting."

Til at begynde med, læste Niels-Henrik naturligvis ikke rigtigt i onkel Hermanns videnskabelige bøger, han måtte nøjes med at kigge billeder. Og nogle af disse billeder var sære mønstre af tegn. Mange af tegnene var græske bogstaver, og Annie kunne identificere flere af de matematiske tegn - potenser og rodtegn og differential- og integralregningens tegn. Ofte var der ikke andet end sådanne tegn på en hel side. Og der var mærkelige figurer som skal vise et eller andet, og kurver i koordinatsystemer, og der var tegninger og fotografier hvor man ser hvordan luften strømmer omkring en flyvemaskinevinge set fra siden. Udfra disse tegninger kunne Niels-Henrik forstå, at en fuglevinge har den optimale vingeform til lave hastigheder, og jo højere hastigheden er, jo mere må vingen rettes ud og gøres tyndere. Den særlige form og den lidt skrå stilling imod vinden bevirker, at luften over vingen må tilbagelægge en længere strækning end luften under vingen, og dette fører til et undertryk over vingen og et overtryk under vingen, og dermed en opdrift (tværkraft). Der er dog luftmodstand som giver en bagudrettet kraft, men opdriften er mange gange større end modstanden - den kan være halvtreds gange så stor. Dette at luften på oversiden må tilbagelægge en længere vej end luften på undersiden, kan udtrykkes ved at der er en cirkulation om vingen:

Og det betyder, kunne Niels-Henrik forstå, at man kan opnå den cirkulerende virkning ved at erstatte profilformen med en roterende cylinder - et roterende rør:

Da Niels-Henrik fortalte dette til Annie, erindrede hun noget onkel Hermann havde sagt: man havde engang bygget et fly hvor vingerne var roterende cylindere, og dette fly kunne flyve meget langsomt, men ikke særlig hurtigt, da luftmodstanden så ville blive for stor. Da flyet skulle flyve fremad, og kun kunne flyve langsomt, kunne det ikke konkurrere med helikopteren - selvom energiforbruget og støjen var meget mindre. Niels-Henrik kunne også forstå, at når vingen har en særlig form - en Joukowsky-profil - kan man matematisk regne sig frem til cirkulationen. Og det så virkelig indviklet ud:

Selvom Niels-Henrik ikke forstod nogetsomhelst af formlerne, så blev han udfra figurerne alligevel nogenlunde fortrolig med med stoffet. Men formlerne måtte selvfølgelig betyde noget helt præcist som onkel Hermann kunne forstå, på samme måde som han selv kan forstå de tegn der er i en almindelig bog. Men der var alligevel en forskel. Når han læser en sætning som "En kat fangede en mus", så ser han en kat for sig som har en mus i kløerne, men hvad så onkel Hermann for sig når han så en sådan formel:

Γ(s) = ts/et dt/t

Han må da have set noget klart for sig - eller det han så for sig var måske ikke særlig klart? - det kan måske slet ikke forklares med ord? - på samme måde som Annies noder jo heller ikke kan forklares med ord - og hvad bruges formlen til? - den har at gøre med måden luften strømmer på, men hvordan? - det er mærkeligt.

Men det var selvfølgelig ikke disse bøger Niels-Henrik læste mest i, det var de bøger hvor der var mange ting som man kunne forstå. Nogle var fra onkel Hermanns egen barndom og ungdom, men onkel Hermann købte hele livet igennem bøger som var elementære. Det var bøger med puzzlerier med tal og geometriske figurer, og om astronomi og fysiske eksperimenter. Allerede da Niels-Henrik var fem år, kunne han se systemet i dette magiske kvadrat som er 5000 år gammelt:

4  9  2

3  5  7

8  1  6

Og han kendte solsystemet, kunne remse planeterne op og fortælle om dem. Og han vidste også, at det der styrer bevægelsen i verdensrummet, er massetiltrækningen i den ene retning og en bevægelseskraft i den modsatte retning, sat igang én gang for alle dengang Universet blev skabt. Alt sådan noget har Annie lært ham - noget af det (som for eksempel det sidstnævnte) kunne Niels-Henrik dog senere belære hende om er noget vrøvl.

Men da Niels-Henrik var fjorten år, var tiden inde til at barrieren imellem ham og onkel Hermann måtte brydes - nu havde han læst nok i de nemme bøger og bladret nok i de svære. Så en dag slæbte han de bøger ned, som onkel Hermann synes at have brugt allermest, og som tydeligvis er det første man må igang med, hvis man vil tilvejrs indenfor matematikken og fysikken: "Lærebog i Matematisk Analyse" i fire bind af A.F. Andersen, Harald Bohr og Richard Petersen (1945-49). Det var de bøger som de ingeniørstuderende skulle læse ved det der dengang hed Danmarks Tekniske Højskole. De forudsætter egentlig en matematisk studentereksamen, men det svære af det man har lært i gymnasiet bliver repeteret, og da han var langt forud for de andre i matematik, kunne han godt gå i lag med dem, de går bare hurtigere frem end gymnasiebøger gør, og det passede ham udmærket.

Annie skubbede selvfølgelig rask på, og hun kunne være med langt hen ad vejen. Første bind er om lineær algebra, altså blandt andet om hvordan man løser n førstegradsligninger med n ubekendte. Her har man brug for at udregne determinanter, og Annie kunne se i sine lærebøger fra gymnasiet, at hun selv havde udregnet sådan nogle, så nu løste de ligninger sammen - 3 ligninger med 3 ubekendte, så derfor udregnede de 3x3-determinanter. Blandt andet udregnede de determinanten af det magiske kvadrat som han havde studeret som barn:

4x5x6 + 9x7x8 + 2x3x1 - 4x7x1 - 9x3x6 - 2x5x8 = 360 = 233251.

Disse bøger var dog alligevel tung kost for Niels-Henrik. Og Annie kunne ikke være med til alt. Det var en stor tilfredsstillelse for ham, hver gang han kunne sætte et hak ved en af de mange opgaver bagest i bøgerne. Men af og til måtte han holde en pause, så blev han optaget af noget andet, og når han så vendte tilbage til de store bind, så måtte han repetere en masse, men han nåede da hele tiden frem. Og idag kan han godt sige, at han har læst de tre af bindene, ialt 800 sider. Han kan nok ikke helt aflægge eksamen i dem, men det varer ikke længe inden han kan.

Niels-Henrik tager aldrig bøger med hjem fra moster Annie - man læser bedst hos Annie. Og hos hende har man den gode skik, at man læser ved bordet imens man spiser. Foruden at man på denne måde også indtager åndelig føde, slapper man så dejligt af - man behøver ikke at tale. Annie må dog ofte lægge øre til Niels-Henriks kommentarer til det han læser.

Blandt de bøger han har læst som føljeton ved middagsbordet er Peter Wolffs "Højdepunkter i matematikken" (1967), hvor der er uddrag af originale tekster fra Euklid til Bertrand Russell:

   — Tænk, Arkimedes beregnede hvormange sandskorn der kan være i hele Universet!

   — Men dog! - hvormange?

   — Han viste at antallet er mindre end 1063 - eller rettere, det var antallet af sandskorn i Himmelkuglen han beregnede, for de skelnede mellem Universet og Himmelkuglen - i centrum var Solen, og Universet var den kugle som Jordens bane om Solen ligger i, men Himmelkuglen var helt dér ude hvor fiksstjernerne ligger.

   — Ja, men hvordan i himlens navn kom han frem til det antal? - 1063.

   — Han gik selvfølgelig ud fra en masse antagelser - der var én der havde påstået, at forholdet mellem Universets størrelse og Jordens størrelse er lig forholdet mellem Himmelkuglens størrelse og Universets størrelse - og så mente man også, at Solen er mindre end 30 gange så stor som Jorden - og Arkimedes havde målt, at Solen set fra Jorden er mindre end siden i en 1000-kant indskrevet i Jordens bane om Solen - og ud af det får man, at Universets størrelse er mindre end 10.000 gange Jordens størrelse - og så mente man også, at Jordens diameter er mindre end en million stadier - en stadie var på omkring et par hundrede meter - og da forholdet mellem Universets størrelse og Jordens størrelse er lig forholdet mellem Himmelkuglens størrelse og Universets størrelse, så får man at Himmelkuglens diameter er mindre end 10.000 millioner stadier - en stadie er lig 10.000 fingerbredder, og en fingerbredde er mindre end 40 valmuefrø lagt på række, og i et valmuefrø kan der højst være 10.000 sandskorn - når man regner på det, så får man at Himmelkuglens diameter er mindre end 1014 stadier, og det er igen mindre end 4 gange 1019 valmuefrødiametre - og ved at opløfte det tal til tredie potens, så får man at rumfanget af Himmelkuglen er mindre end 64 gange 1057 valmuefrørumfang - og da der højst kan være 10.000 sandskorn i et valmuefrø, så kommer vi frem til at der højst kan være 64 gange 1061 sandskorn i Himmelkuglen, og det tal er mindre end 1063.

Niels-Henrik læste også en moppedreng kaldet "Matematikkens Mænd" (1944): 25 beretninger om berømte matematikere. Egentlig en skrækkelig bog, fuld af upålidelige oplysninger og tildigtning fra forfatterens side. Hvorfra véd denne at

... Shakespeare's Tragedier var for meget for den store Matematiker [Gauss], som var yderst følsom over for alle Former for Lidelser, og han prøvede derfor at holde sig til de Mesterværker, der behandlede lysere Emner. Han læste ivrigt den samtidige Sir Walter Scott's Romaner, efterhaanden som de udkom, men den ulykkelige Slutning af Kenilworth gjorde Gauss fortvivlet i Dagevis, og han fortrød, at han havde læst Romanen. En lille fejl, som Sir Walter havde begaaet, fik den matematiske Astronom til at le henrykt, "Maanen staar op i Nordvest", og han gik omkring i flere Dage og rettede i alle de Eksemplarer, han kunde finde.

Men sådanne kritiske observationer ligger ikke Niels-Henrik på sinde, han elsker disse sandfærdige historier om åndsbeslægtede mennesker. Og han finder trøst i dem, når hans omgivelser går ham imod. Og her er ammunition som man kan fyre af, hvis nogen skulle stille sig i vejen for én: "Matematik blev forbudt med den Begrundelse, at det unge Geni kunde overanstrenge sig ved at bruge Hovedet for meget, men dette Forbud øgede naturligvis kun Drengens Nysgerrighed" (i kapitlet om Pascal) og "Hvornaar vil forældre dog lære at forstaa den anmassende Dumhed at prøve at gøre en født Væddeløbshest til en Arbejdshest?" (i kapitlet om Cantor).




Men lige nu, hvor Torben er ifærd med at køre sit tunge artilleri i stilling imod sin søn, har Niels-Henrik ikke brug for at fyre noget af imod nogen. Han er kørt træt i arbejdet med at bevise Goldbachs formodning - han må have en pause. Og han er forfærdet over det der er sket. Tænk han, som havde glædet sig til at skulle begynde i gymnasiet, og som havde været opsat på, ligesom i folkeskolen, at være den bedste, han havde lige fra den første dag helt svigtet skolen. I timerne havde han siddet og filosoferet over formler på små lapper papir:

   — Niels-Henrik! - hva' fanden foregår der? - du har vel anskaffet vores usle hæfte, ikke?

   — Jo - her.

   — Nåmen så gør dig den ulejlighed at kigge i det engang imellem! - og hvis du er igang med at udarbejde en forkortet udgave af din slægts klenodium, så spar dit arbejde! - bogen ligger lige foran dig!

   — Ja.

Hjemmearbejdet var blevet udsat og udsat, og meget havde han ikke kunnet nå at aflevere til tiden. Men det var let at indhente det forsømte. Ja han glædede sig til rigtigt at komme igang med skolearbejdet, og til at være sammen med sine nye kammerater. Og han blev stimuleret af et pragtfuldt stileemne: "Erkendelsens grænse". Noget tydede ellers på at stileemnerne i gymnasiet ville være af samme skuffe som stileemnerne i folkeskolen. I den første stil de skulle skrive, havde han valgt at tolke en novelle der handlede om en mand som finder en syg og hjemløs ung pige liggende foran sin dør. Manden der underviste unge i sociale forhold, var påfaldende ubehjælpsom ved mødet med dette praktiske problem. Men Niels-Henrik nåede ikke længere end til at læse novellen, han var led og ked af disse emner. Men så kom der pludselig et stileemne, som man skulle tro var udtænkt specielt til ham: han kunne skrive om det der lige nu optog ham allermest.

Det var altsammen begyndt ugen før han skulle begynde i gymnasiet. Han var næsten helt færdig med den gamle franske sproglære, men denne læsning fik en brat afslutning da han en dag sad og bladrede i en af onkel Hermanns bøger, "Matematisk Opslagsbog" (1966), og så følgende:

Goldbachs sætning Den formodning, at ethvert lige tal (undtagen 2) er lig med summen af to primtal. F.eks. er 4 = 2+2, 6 = 3+3, 8 = 5+3, 10 = 5+5, 12 = 7+5. Denne sætning, som blev fremsat omkring midten af det attende århundrede, og som almindeligvis antages at være sand, repræsenterer et bemærkelsesværdigt vanskeligt problem - primtallene er de naturlige tals byggesten gennem operationen multiplikation, og spørgsmål vedrørende additive egenskaber for primtal indebærer ofte usædvanligt vanskelige komplikationer.

Det var pokkers! Det lyder helt absurd! Tænk at man ikke kan bevise en sætning som ethvert barn på syv år kan forstå. Han lavede straks et computerprogram som udregner på hvor mange måder et givet lige tal kan skrives som summen af to primtal.

Sidste år havde han lavet et program som kan fortælle om et givet naturligt tal k er et primtal. Han lod dette program være indmaden i en funktion prim(k) som kan antage værdierne true og false: når prim(k) = true, er k et primtal, og når prim(k) = false, er k ikke et primtal. Programmet for antallet af måder a hvorpå det lige tal 2n kan skrives som summen af to primtal, kom til at se således ud:

    begin

      read(n);

      a := 0;

      for p := 3 to n do

        if (prim(p) = true) and (prim(2 * n - p) = true) then

          a := a + 1;

      write(a);

    end.

Da programmet var kontrolleret, udvidede han det så det automatisk udregner antallet af måder hvorpå et lige tal 2n kan skrives som summen af to primtal, når n går fra 1 til 500. Slutningen af listen så således ud:

      n         antal

      495      52

      496      13

      497      25

      498      37

      499      17

      500      28

Derefter lavede han et program som viser tallene grafisk - det var det billede der senere blev medtaget i hans stil. Der er meget store udsving i antallet af muligheder, det er derfor kurven ligner en røgsky, men det er tydeligt at antallet vokser og vokser. Det virker helt usandsynligt at antallet 0 skulle forekomme. Han bemærkede, at antallet er stort, når n har små ulige primfaktorer, det vil sige når n er deleligt med 3 eller 5 eller 7 og så videre, og at antallet er lille, når n er en potens af 2 gange et primtal - for eksempel er antallet 52 for n = 495 (3 og 5 går op i 495) og antallet er 13 for n = 496 (= 24x31).

I vor computeralder har man sikkert tjekket påstanden for alle de lige tal op til et meget stort tal. Hvis computerundersøgelser har vist, at hvert af tallene 4, 6, 8, 10, 12, ..., op til for eksempel 1010, er summen af to primtal, så er det helt usandsynligt, at der skulle findes et gigantisk lige tal som ikke er summen af to primtal. Hvis det var sådan, at Goldbachs påstand var usand for for eksempel 256 og 16777216, så var påstanden jo nok usand for uendelig mange tal. Men når alt tyder på, at påstanden er sand for alle de lige tal - ja faktisk helt fra 2 = 1+1 (hvis man regner 1 for et primtal) - så er det virkelig paradoksalt at man ikke har kunnet bevise den. Hvor meget har man mon arbejdet med problemet?

Der var ikke meget at finde om dette problem i andre af onkel Hermanns bøger - i moppedrengen er det ikke engang nævnt, og intet tydede på at onkel Hermann selv havde beskæftiget sig med det. Men lidt kunne han finde: Christian Goldbach levede fra 1690 til 1764, han var tysk-født, blev professor i matematik ved det russiske kejserlige akademi, og var lærer for Peter den Store og medlem af Tsarens udenrigsministerium. I 1742 skrev han et brev til den store matematiker Euler, hvori han fremsatte den formodning at "ethvert tal kan skrives som en sum af tre primtal". Euler svarede, at dette er ganske ensbetydende med at "ethvert lige tal kan skrives som en sum af to primtal" - altså den formodning der senere har fået navnet Goldbachs formodning. Eulers bevis forløber således: antag at "ethvert lige tal er summen af to primtal" og at vi har et tal n, så vil n være summen af tre primtal, for hvis n er lige, så er n-2 lige og derfor summen af to primtal, og hvis n er ulige, så er n-3 lige og derfor summen af to primtal, i begge tilfælde er n summen af tre primtal. Og omvendt: antag at "ethvert tal er summen af tre primtal" og at vi har et lige tal n, så vil n være summen af to primtal, for n+2 er summen af tre primtal, og da dette tal er lige, må et af de tre primtal være tallet 2, ergo er n summen af to primtal.

Endvidere kunne han læse, at Schnirelmann i 1930 havde bevist, at "der findes et fast tal k således at ethvert tal kan skrives som en sum af højst k primtal", og at det er blevet bevist at k kan vælges lig 67. Og han kunne læse, at Vinogradov i 1937 havde bevist, at "ethvert ulige tal større end 104000000 kan skrives som en sum af tre primtal".

Hvorlangt er man mon nået siden disse bøger blev udgivet for 30-40 år siden? På biblioteket fandt han et nyere matematikleksikon, og der stod nogenlunde de samme ting - Goldbachs formodning er altså nok ikke bevist.

Da Goldbachs formodning bygger på helt elementære begreber som "primtal" og "addition", og er helt elementær i sin formulering, så må et bevis for sætningen også være helt elementært. Man behøver ikke en kæmpe matematisk viden, det hele er blot et spørgsmål om logisk tænkning og en snedig idé. Så Niels-Henrik er godt udrustet, ja han har den bedste forudsætning man kan have: en ung og uspoleret hjerne. Der er uden tvivl skrevet et utal af afhandlinger om problemet, men at han ikke har læst en eneste af dem, er kun en fordel. Det det gælder om nu, er at gøre sig definitionen af addition og primtal helt klar, og at gå strengt systematisk tilværks.

Primtallene er de naturlige tals "byggesten" ved multiplikation: Euklid beviste, at ethvert naturligt tal på en entydig måde kan skrives som et produkt af primtal, for eksempel 360 = 233251 (vi har forudsat at primfaktorerne ordnes efter størrelse). Men ved addition er der kun én byggesten, tallet 1: ethvert naturligt tal kan på en entydig måde skrives som en sum af 1-taller. Et tal kan oftest på flere måder skrives som en sum af primtal, men pointen i Goldbachs formodning er åbenbart, at man kan nøjes med tre primtal - og når tallet er lige kan man nøjes med to primtal. Goldbachs formodning siger på en eller anden måde noget om sammenhængen mellem addition og multiplikation.

Hvis man lægger alle primtallene sammen to og to, og sammen med sig selv, så får man en uendelig mængde af lige tal, og denne mængde skal være mængden af alle de lige tal større end eller lig 4 - det er Goldbachs formodning - der må ikke være ét eneste hul. Men hvordan beviser man det? "Du antager at der er et hul", foreslog Annie, "og så viser du at det vil føre til en modstrid." Ja, det var måske en idé. At tallet 2n er et hul, betyder at 2n ikke er summen af to primtal, og hvad så? Lad os se, at 2n ikke er summen af to primtal, det betyder at der skal mindst fire primtal til for at give 2n, og det betyder, at hvis man skriver n = n1+n2+...+nr, hvor 2n1 og 2n2 og så videre, hver er summen af to primtal, så vil r altid være større end 1. Men hvordan kan dette vises at føre til en modstrid? "Du viser at det fører til, at der er et tal m mindre end n som også er et hul", fløj det ud af Annie til hendes egen overraskelse. Ja! - genialt! - det vil føre til en modstrid. Men hvordan viser man at m eksisterer? "Du konstruerer m ud fra n1 og n2 og så videre."

Men dette viste sig at være problematisk: uanset hvordan han konstruerede m, så kunne han ikke bevise at 2m ligesom 2n ikke kan skrives som summen af to primtal. Derfor måtte han igang med en ny strategi. Og den gik ud på at studere den funktion, som til ethvert naturligt tal n knytter det største primtal p ≤ n således at 2n-p er et primtal. Hvis man laver en lang udprintning af disse tal og studerer den, så kan man måske finde et system i tallene, og måske ligefrem finde en formel for dem, og hvis man har en sådan formel, så er Goldbachs formodning selvfølgelig bevist. Således kom computeren ind i billedet, og den oprindelige plan, at gå strengt logisk tilværks og holde sig definitionen af addition og primtal klart for øje, den forsvandt mere og mere ud af syne.

Men også verden udenom Niels-Henrik forsvandt mere og mere ud af syne, efterhånden som den ene strategi blev afløst af den næste. I timerne hørte han ikke efter, og han talte kun med de kammerater der var fulgt med fra folkeskolen, ja faktisk kun med Mads, og selv samværet med ham var sparsomt og ensidigt:

   — Det ku' jo være at det bare er en tilfældighed - lissom det med planeterne - enhver stjerne har planeter, siger du - på ganske samme måde har ethvert lige tal nogle opspaltninger i summen af to primtal.

   — Vrøvl, sådan noget kan da ikke bare være en tilfældighed.

   — Du siger at der bliver flere og flere opspaltninger jo højere man kommer op, så må sandsynligheden for at et lige tal kan opspaltes i summen af to primtal jo vokse og vokse, og til sidst er sandsynligheden så tæt på 1, at det er usandsynligt at tallet ikke kan opspaltes i summen af to primtal - og at de små lige tal kan opspaltes, det må siges at bero på en tilfældighed.

   — Det bliver værre og værre - hvordan vil du definere den sandsynlighed?

   — Det må du da vide.

   — Det véd jeg også: den er lig 1 - for det er en kendsgerning at ethvert lige tal kan opspaltes i summen af to primtal, ergo er sandsynligheden for at et lige tal kan opspaltes i summen af to primtal, lig 1 - men problemet er at bevise at sandsynligheden er lig 1 - og dit argument er jo det samme som det med computerundersøgelserne, det er et argument for at sætningen er sand i realistisk forstand, men det er ikke et bevis i matematisk forstand - i matematisk forstand har Goldbachs formodning måske ikke nogen sandhedsværdi - og når en sætning ikke har det, så kan den ikke bruges til noget i matematikken - og jeg sagde at enhver stjerne nok har planeter, jeg sagde ikke at enhver stjerne har planeter - hvis alle stjerner har planeter, så må det da skyldes en naturlov - dengang Universet blev dannet, samlede stoffet sig til stjerner og til planeter rundt om dem - der er måske en lovmæssighed i det...

   — Ja du siger noget! - det viser sig jo nok, at alle stjernerne har planeter og at den samlede masse af en stjernes planeter har et bestemt forhold til stjernens masse, og også at planeternes størrelse følger en bestemt lovmæssighed - lissom i vores solsystem - altså først bliver planeterne større og større og så aftager de igen - og det viser sig måske, at der er en særlig stor sandsynlighed for at der er en planet som er nogenlunde på størrelse med Jorden i en afstand fra stjernen som svarer til Jordens afstand fra Solen - så der er den rette tyngde og temperatur - og at det altsammen er noget der er en højere mening med - verden er indrettet sådan, at der er stor sandsynlighed for liv, og sådan at livet forplanter sig mest muligt.

   — Øh ja.

   — Så det er jo virkelig nyttigt, hvis man kunne finde den lovmæssighed.

   — Joh.

   — Og hvis du finder et matematisk bevis for Goldbachs formodning, så bliver den jo nok kaldt Aphels sætning, og vil den sikkert blive til stor nytte.

   — Ja.

Og når skolen var færdig cyklede han til Annie, eller, hvis hun ikke lod sig skubbe væk fra sin computer, hjem til sin egen computer.

Nej, det er nok ikke den måde man skal gå tilværks på, man må nok læse nogle artikler om emnet, men hvor finder man dem? "Tal med din matematiklærer", foreslog Annie. Det burde han jo have gjort forlængst. En god lærer er vel en lærer som begejstres når en elev viser interesse for hans fag. Men Niels-Henrik har sine grunde til at formode, at hans nye matematiklærer er ligeså dårlig som den gamle. Læreren må allerede nu have bemærket, at Niels-Henriks kunnen i faget er helt usædvanlig, men han har ikke sagt et ord. Desuden har læreren ikke så meget som én eneste gang fortalt noget der ikke står i bogen. Nej, læreren må, indtil videre, holdes udenfor.

"Ring til Universitetet", sagde Annie, "slå op i telefonbogen under 'Københavns Universitet' og under 'Det naturvidenskabelige Fakultet'." Dér kunne han, se at Matematisk Institut har hjemme på H.C. Ørsted Institutet. Han drejede nummeret til Matematisk Institut:

   — Matematisk institut.

   — Ja goddag, mit navn er Niels-Henrik Aphel, ku' jeg komme til at tale med én der véd noget om Goldbachs formodning?

   — Det er vist Christian Filtbak du skal tale med - han er... joh han skulle være på sit kontor lige nu - jeg stiller dig ind - hvis han ikke svarer må du ringe senere.

   — Det er Filtbak.

   — Goddag, mit navn er Niels-Henrik Aphel.

   — Niels Henrik Abel!!!

   — Nej Aphel, a-p-h-e-l, ja jeg véd godt at der var en berømt matematiker som hed Niels Henrik Abel, jeg har læst om ham i mop... i en bog der hedder "Matematikkens Mænd" - han beviste at ligninger af femte grad og derover normalt ikke kan løses ved hjælp af en formel med rodtegn.

   — Det er fuldstændig rigtigt! - og du har også løst et stort problem?

   — Nej, ikke endnu, men jeg har hørt om et problem der hedder Goldbachs formodning.

   — Det problem forsøger du vel ikke at løse?

   — Nej, jeg samler oplysninger om det.

   — Hvor gammel er du Niels-Henrik?

   — 16 år, jeg er lige begyndt i gymnasiet.

   — Niels-Henrik, Goldbachs formodning er et af matematikkens allervanskeligste problemer - det kræver meget store forudsætninger - der er flere hundrede matematikere rundt om i verden der arbejder på det - men der er ingen her i Danmark, mig bekendt.

   — Problemet er altså stadig uløst?

   — Ja det er det, ellers ville vi straks have hørt det.

   — Men der er vel skrevet afhandlinger om det?

   — Uha ja, hundredevis, men dem tror jeg ikke at du skal kaste dig over.

   — Findes der en bog som ikke er altfor svær, hvor man kan læse om det? - jeg har læst en del bøger om matematik, blandt andet "Matematisk Analyse" af Andersen, Bohr og Petersen.

   — Har du det!? - så er du jo godt igang! - dig ser vi forhåbentlig herinde engang!

   — Ja det håber jeg.

   — Niels-Henrik, jeg tror ikke at vi på vores bibliotek her har nogen bøger om Goldbachs formodning, men jeg kender nogle artikler som ikke er så svære - hvis du giver mig din adresse, så skal jeg sende dig nogle fotokopier.

Niels-Henrik gav Annies adresse, og et par dage senere kom der brev fra Matematisk Institut:

                      17-8-1998

  Kære Niels-Henrik

Jeg har fundet to artikler om Goldbachs formodning. Den ene er et kapitel fra bogen "The Little Book of Big Primes" af Paulo Ribenboim (1991). Den anden er fra "Matematisk Tidsskrift B, 1922" - det er et foredrag som den store engelske matematiker G.H. Hardy holdt i Dansk Matematisk Forening i 1921. Som det fremgår af denne artikel, er problemet overordentligt vanskeligt, du får brug for den matematik som du har læst i bind 4 af "Matematisk Analyse". Vent nogle år med at begynde på at løse dette problem, men fortsæt med dine matematiske studier! Ved du, at du kan låne bøger om matematik på Universitetsbibliotekets 2. afdeling? Det er mest bøger for viderekomne, men de har mange elementære bøger. Det ligger Nørre allé 49. Du er altid velkommen til at kontakte mig.

                        Venlig hilsen Chr. Filtbak

Den første artikel var på 4 sider, og den havde han ingen problemer med at læse. Af den fremgik, at der i det væsentlige har været tre angrebsvinkler på problemet, og de kan karakteriseres ved nøgleordene "asymptotisk", "næsten primtal" og "basis".

Et typisk asymptotisk resultat er den sætning Vinogradov havde bevist i 1937: "ethvert tilstrækkeligt stort ulige tal er summen af tre primtal". I 1923 havde Hardy & Littewood bevist dette ved hjælp af "cirkelmetoden" og udfra en "modificeret form af Riemanns hypotese", men Vinogradov havde bevist at Riemanns hypotese kan undværes.

Et "næsten primtal" er et tal som kun er produkt af nogle få primtal. Chen annoncerede i 1966 at han havde bevist at:

Ethvert tilstrækkeligt stort lige tal er summen af to primtal eller af et primtal og et tal som er produktet af to primtal.

Og det er den sætning der er nærmest ved Goldbachs formodning, som man indtil nu har bevist - Chen gav detaljerede beviser i 1973 og 1978.

Schnirelmanns resultat fra 1930, at "der findes et fast tal k således at ethvert naturligt tal kan skrives som en sum af højst k primtal", nævnes som et eksempel på et "basis"-resultat. Det var tidligere vist at k kan vælges lig 67, nu har man vist at k kan reduceres til 19 (Riesel & Vaughan, 1983).

Slutteligt fortælles, at Goldbachs formodning er blevet computerverificeret op til 108 i 1965 og igen i 1980.

   — Du må undskylde mig, det er måske mig der sidder og sover, men hvad er det man har bevist? - er Goldbachs formodning bevist?

   — Nej! - det må da være trængt ind i knolden på dig! - den er blevet kontrolleret med computer op til hundrede millioner - i 1965.

   — 1965? - var det ikke før computeren blev opfundet?

   — Jo, men man havde da haft elektroniske regnemaskiner i tredive år - men det var jo med radiorør og alting - de var hundrede gange så store og hundrede gange så langsomme.

   — Kan vores computere - altså din og min - komme op på de dér hundrede millioner?

   — Ja selvfølgelig ka' de det - det vil nok tage nogen tid - men for hvert lige tal skal man jo bare finde én eneste opspaltning i to primtal - man kan sikkert udtænke et program der kører hurtigt.

   — Men hvad er det så man har bevist, siger du?

   — At ethvert ulige tal er summen af tre primtal - det er bevist matematisk for tal større end ti i fire millioner - og... øh...

   — Og for tal mindre end ti i fire millioner er det bevist med computer?

   — Øh næh - det er jo lidt stort det tal - så højt kommer man vel aldrig op.

   — Hvor højt tror du man nogensinde kan komme op med en computer?

   — Måske 1020 - næh ikke engang - måske 1012.

   — Så det er altså slet ikke sikkert, at man nogensinde får bevist at ethvert ulige tal er summen af tre primtal?

   — Næh, det ser lidt sort ud.

   — Hvad er det mere man har bevist? - noget med 19 primtal?

   — At ethvert tal er summen af højst 19 primtal - men Goldbachs formodning er jo ensbetydende med at ethvert tal er summen af højst tre primtal.

   — Der er altså et også stykke vej igen - men sig mig, kan det hele ikke bero på, at der er noget galt med fundamentet? - matematikkens fundament - aksiomsystemet - aksiomerne er noget man har vedtaget, sider du - og du har talt om at man kan få andre former for geometri, hvis man ændrer aksiomerne.

   — Ja, men det med geometrien har ikke noget med mængdelærens fundament at gøre - det er kun hvis man opfatter geometrien som en selvstændig teori - det jeg talte om, var ændring af den euklidiske geometri ved at ændre parallelaksiomet - parallelaksiomet siger, at hvis man har en ret linie og et punkt der ligger udenfor den, så er der en og kun en ret linie som går igennem punktet og ikke skærer linien - grækerne forsøgte at bevise det udfra de andre aksiomer, men det var åbenbart umuligt - man forsøgte lige siden at bevise parallelaksiomet - der var folk der kæmpede med det hele livet - men for to hundrede år siden blev det opdaget, at parallelaksiomet er uafhængigt af de andre aksiomer - man erstattede parallelaksiomet med andre påstande om rette linier igennem et punkt udenfor en ret linie, og så fik man nye geometrier som tilsyneladende var modsigelsesfrie - der er to muligheder - man kan vedtage at der findes uendelig mange linier igennem punktet som ikke skærer den givne linie - de vil allesammen ligge indenfor en vinkel bestemt af punktets afstand fra linien - og man kan også vedtage at der ikke findes parallelle linier - altså at enhver ret linie igennem punktet vil skære den givne linie - den første mulighed kaldes hyperbolsk geometri og den anden kaldes elliptisk geometri - i den hyperbolske geometri har rummet uendelig udstrækning og krumningen er negativ, og i den elliptiske geometri har rummet endelig udstrækning og krumningen er positiv.

   — Ja, men har det noget med virkeligheden at gøre?

   — Ja det har det da - det er snarere den euklidiske geometri der ikke har noget med virkeligheden at gøre - den er bare et ideal - Universet er ikke-euklidisk - og det er helt sikkert at Universet er elliptisk - altså at der ikke findes parallelle linier - for ellers ville Universet være uendeligt.

   — Jamen? - Universet er da uendeligt - at det er endelig, var noget Arkimedes troede.

   — Ja, men det er rigtigt, men på en anden måde end Arkimedes troede - Universet krummer på samme måde som Jordens overflade, og Jordens overflade ender jo ikke noget sted - hvis man på en kugleflade går ligeud, så bevæger man sig jo langs en storcirkel, og så kommer man tilbage til hvor man startede fra den modsatte side - og det samme gælder i Universet - men vi kan bare ikke se den tre-dimensionale situation klart for os - som jeg har sagt, så mener jeg, at der ikke i den virkelige verden findes noget som er uendeligt - det er kun i matematikken at begrebet uendelig har mening - Einstein mente at Universet er elliptisk - altså har positiv krumning og endelig udstrækning - og det mener de fleste vist - men nogen har påstået at Universet er hyperbolsk - ja for nylig er der kommet et bevis for det, men det virker helt absurd - det ville betyde, at Universet er mere uendeligt end det euklidiske rum, for hvis man i et hyperbolsk rum sender to lysstråler afsted i lidt forskellige retninger, så vil de ikke bare fjerne sig ligeligt fra hinanden, de vil bøje mere og mere væk fra hinanden.

   — Javel, men hvis Universet krummer ligesom Jorden, så må der være et sted i Universet som er lige diametralt modsat os.

   — Ja, men krumningen i Universet er ikke konstant, den afhænger af massen, så det diametralt modsatte sted er jo nok ikke veldefineret - og radius behøver vel heller ikke at være lige præcis den samme i alle retninger - på Jorden er storcirklerne jo ikke lige lange - men det antager man ihvertfald - når man teoretiserer om Universet, så antager man at massen og strålingen er jævnt fordelt - så vil massetætheden jo være ekstrem lille - der er i gennemsnit kun ét brintatom per kubikmeter i Universet - man antager altså at massen er i en gastilstand - og man antager også, at der ikke er nogen retning der kan udnævnes til at have en særlig betydning.

   — Ja - det har du fra den bog jeg gav dig? - fik du læst den? - vi fik jo ikke snakket ret meget om den - vi begyndte på franskbogen, og så gik al tiden med den - er den svær?

   — Nej, overhovedet ikke - den forudsætter ikke mere end man lærer i 1. g.

   — Den ser da meget matematisk ud - da jeg sagde til ham astrofysikeren der anbefalede den, at du er 16 år, så foreslog han jo en anden.

   — Ja, men den er ikke svært - men der er noget latterligt ved det fag - man går ud fra nogle antagelser, og så regner man på livet løs - enhver kan sige sig selv, at Universet er opstået på en helt anden måde end det vi er istand til at forestille os - men en forsker kan jo først sige noget, når han kan underbygge det - når man skriver en afhandling, så må man jo argumentere for det, og så fremlægger man nogle klare antagelser som gælder under de forhold vi kender til - så kommer man frem til nogle konklusioner som ingen oprigtigt tror på, men som er sande ifølge antagelserne - alle mener at det hele startede med Big Bang - og at selve Big Bang foregik indenfor et sekund - men der er mange besynderlige og usandsynlige ting - man teoretiserer tilbage i tiden - men der er jo en mindste tidsenhed, og den er på omkring 10-40 sekund, så hvis tiden virkelig har en begyndelse, så kan man aldrig komme nærmere til den end den mindste tidsenhed - på det tidspunkt - altså da Universet var 10-40 sekund gammelt - mener man at der været den højest mulige massetæthed - den er på omkring 10100 tons per kubikcentimeter - og at der var den højest mulige temperatur - omkring 1030 grader - ved den temperatur eksisterer det stof vi kender slet ikke - og det vi kender består jo mest af atomkerner - altså neutroner og protoner - ved den høje temperatur var stoffet selvfølgelig i en flydende tilstand - man kalder den quarksuppe - suppen bestod af lige dele quark og antiquark - og nogle af quarkne eksisterer stadigvæk - en neutron og en proton er sammensat af tre quarks.

   — Nå.

   — Men lige med det samme begyndte rummet at udvide sig - hvad der fik det til det, er der ingen forklaring på.

   — Det var vel trykket.

   — Nej, for Universet har jo ingen grænse, så der er ikke nogen væg trykket kan skubbe.

   — Øh ja.

   — Og der er selvfølgelig heller ingen forklaring på hvor massen kommer fra - udover at det hele er noget Gud har sat iscene - det at rummet udvidede sig, førte til at der blev plads til stråling og at temperaturen faldt, og så opstod der en vekselvirkning mellem masse og stråling - der blev afgivet stråling når massepartikler indgik forbindelse, og strålingspartikler splittede masseforbindelser.

   — Ja.

   — Men der er noget man ikke har kunnet forklare, og det er hvorfor krumningen af Universet er påfaldende lille - Universet er næsten euklidisk - eller flat, som man siger - og det må være sket meget tidligt, mener man - og man har heller ikke kunnet forklare, hvorfor baggrundsstrålingen er påfaldende éns i alle retninger - og som løsning på problemet har man vedtaget, at der inde i Big Bang var et fænomen som kaldes inflation - det begyndte da der var gået omkring 10-30 sekund og det varede i omkring 10-30 sekund - i den korte tid udvidede rummet sig pludselig ekstremt voldsomt - det blev omkring 1030 gange så stort - og så skulle man tro at den kæmpe massetæthed faldt til næsten nul, men den forblev konstant - det var istedet den kæmpe temperatur der faldt til næsten nul - i den tid hvor Big Bang foregik, var der altså ikke bare den størst mulige varme, der var også den størst mulige kulde - og grunden til at massetætheden forblev konstant, var at der var et kæmpe undertryk - for på samme måde som der opstår varme, når man trykker noget sammen hvor der er et positivt tryk, så opstår der varme, når man udvider noget hvor der er et negativt tryk - og varme er jo energi, og energi er ækvivalent med masse - du véd, Einsteins ligning, e = mc2, hvor c er lysets hastighed - så den energi der opstod, gik til at danne masse, så massetætheden kunne forblive konstant - men da inflationen var forbi, vendte temperaturen tilbage til den samme som før, og udvidelseshastigheden og temperaturfaldet foregik igen før - det virker noget kunstigt, men på den måde har man hokus pokus kunnet forklare noget som man ikke kunne forklare.

   — Jeg ka' nu ikke se virkningen af den tryllekunst.

   — Jo, man vil have at den største udvidelse af Universet fandt sted meget tidligt - da temperaturen var så høj at massen var en homogen quarksuppe - så ville massen også være i en homogen tilstand efter lige efter inflationen, og så har man forklaret hvorfor Universet er så ensartet i alle retninger - men på et senere tidspunkt skulle der jo gerne opstå uregelmæssigheder - ellers ville vi jo ikke eksistere.

   — Næh, det er sandt.

   — Men det var egentlig meningen fra skaberens side, at vi ikke skulle eksistere.

   — Nå!

   — Ja - efter Big Bang skulle der ikke være noget masse tilbage - al massen skulle være omdannet til stråling - Universet skulle være tomt - men skaberen havde begået en optællingsfejl på en milliard-te-del.

   — Men dog!

   — Ja - al materien i verden er delt op i stof og antistof - det modsatte af for eksempel en elektron er en positron - en elektron har negativ ladning og en positron har positiv ladning - når man ikke taler så meget om positroner, er det fordi en positron normalt er forbundet med en neutron, så det bliver en proton - og der er også de magnetiske modsætninger - stof og antistof ophæver normalt hinanden - de to modsætninger optræder i det man kalder virtuelle par - et sådant par både eksisterer og ikke-eksisterer - hvis man har et virtuelt par af en elektron og en positron, og man anbringer det i et elektrisk felt - for eksempel to metalplader med en positiv og en negativ ladning - så vil elektronen blive tiltrukket af den positive plade og positronen af den negative plade - og ved meget kraftig spænding kan man få dem lirket fra hinanden - så er der opstået en elektron og en positron ud af ingenting - vi har tilført energi, og vi har fået masse for pengene - energi svarer jo til masse.

   — Javel.

   — Al materien ved Big Bang var altså delt op i stof og antistof, og der skulle være præcis ligemeget af hvert, men der var ikke ligemeget stof og antistof - for hver gang der var en milliard antistofpartikler, var der en milliard plus én stofpartikler - og det overskud af stofpartikler blev til de kernepartikler der er i Universet idag - neutroner og protoner - resten af stoffet og antistoffet fandt sammen og ophævede hinanden og blev til stråling.

   — Hvordan i alverden ka' man vide det? - det med overskud.

   — Det var Sakharov der opdagede det - i 60'erne - hans argument var, at energien af strålingen og energien af massen vil være konstant med tiden, og idag har strålingen en milliard gange så meget energi som massen - og sådan var det også lige efter Big Bang - men lige da Big Bang begyndte, var der ingen stråling, men til gengæld en milliard gange så meget masse som nu - og et sekund senere var al massen på nær en milliard-te-del omdannet til stråling.

   — Hvad er det for stråling? - er der mere end lyspartikler? - er det ikke fotoner de hedder?

   — Jo - det er også neutrinoer - de breder sig med næsten lysets hastighed og de går næsten uhindret igennem alt - vi bombarderes hele tiden af milliarder af neutrinoer - de fleste kommer fra Solen - og vi får ikke fred for dem om natten, for de går lige lukt igennem Jorden.

   — Haha.

   — De findes i tre udgaver, og de kan forvandles spontant fra den ene til den anden - men man kender ikke deres masse - man kan sige noget om forskellen i deres masse når de ændrer tilstandsform, men man kender ikke selve deres masse.

   — Tre udgaver? - du snakker om stof og antistof...

   — Ja, men hver af de tre udgaver har en antiudgave.

   — Javel.

   — Som sagt var det meningen fra skaberens side, at det hele bare skulle være et gigantisk kanonslag - der sku' ikke være noget krudt tilbage.

   — Haha.

   — Men der var en milliard-te-del tilbage - og det bestod af tre fjerdedele brint og en fjerdedel helium, og det hvirvlede rundt i roterende skyer - men på grund af massetiltrækning og friktion samlede stoffet sig med tiden til millioner af galakser der hver består af millioner af stjerner - og alle stjernerne har sikkert planeter - men skaberen havde slet ikke tænkt på liv, for det tager længere tid at udvikle liv end en stjernes levetid.

   — Det er da en nyhed.

   — Ja, og det er også på tide at den kommer frem - stoffet i en stjerne er jo i en gastilstand, og eftersom der indefter må være et modtryk til at opveje massetiltrækningen, så må trykket stige ind imod centrum - i centrum er trykket enormt - trykket af gas er proportionalt med massetætheden og temperaturen, men massetætheden af en gas kan ikke blive særlig stor - i centrum af Solen vejer en kubikcentimeter ikke mere end en stor tomat.

   — Ikke mere!? - i begyndelsen af Big Bang vejede en kubikcentimeter et astronomisk antal tons.

   — Ja, men der er forskel på den tungeste og den letteste tilstandsform - der må altså være et enormt tryk i centrum af stjernen, og det kan kun kommer fra en helt enorm temperatur - og det er den varme i det inderste - kernen - der får stjernen til at lyse - der er hele tiden lyspartikler fra kernen som når ud til overfladen.

   — Kommer lyset ikke fra overfladen?

   — Jo, men lyset fra kernen er kraftigere og hvidere - fotonerne støder hele tiden imod atomkerner, så rejsen fra kernen tager flere millioner år - Solens lys er i gennemsnit tyve millioner år gammelt.

   — Nå!

   — Ja - så hvis lysudsendelsen i kernen stopper i dette øjeblik, ska' vi ikke bekymre os.

   — Haha.

   — Fra kernen afgives altså hele tiden varme, og den kan umiddelbart kun komme fra at gassen presses mere sammen - men man kan jo ikke blive ved med at presse gas sammen, på et tidspunkt klapper atomerne sammen, og så vil kernen meget hurtigt synke sammen - og så vil der blive afgivet så kraftig varme, at resten af stjernen bliver slynget ud i rummet - den bliver en rød gigant - eller stjernen eksploderer måske ligefrem og bliver en supernova - hvis den nærmeste stjerne blev en supernova, så ville den lyse ligeså kraftigt som Solen.

   — Jamen dog.

   — Ja - jo større stjernen er, jo hurtigere og voldsommere går det hele for sig - det er tre muligheder for kernen - for mindre stjerner, som for eksempel Solen, vil kernen ende som det man kalder en hvid dværg - en hvid dværg er på størrelse med Jorden, så den er svær at se - men på grund af den enorme temperatur den havde, kan den lyse i milliarder af år - for en supernova vil kernen ende som en neutronstjerne - alt er kvast sammen til neutroner - og den er omkring tyve kilometer i diameter - og for de allerstørste stjerner, er endestationen et sort hul - i et sort hul er massetætheden næsten ligeså stor som i begyndelsen af Big Bang.

   — Jamen der foregår da kerneprocesser i en stjerne - er det ikke fusion det hedder? - sammensmeltning - brint bliver til helium.

   — Jo, men der kan også fusioneres videre til tungere grundstoffer - for eksempel kulstof - men der kan ikke opstå tungere grundstoffer end jern - ved tungere grundstoffer end jern foregår det den modsatte vej, og der er det jo fission - spaltning - men fusion er et fænomen som skaberen umuligt kan have tænkt på, for det er en statistisk umulighed - der er stjerner hvor der ikke er fusion, og sådan burde alle stjerner være - og de kan ikke leve længe nok til at der kan opstå liv - de kaldes brune dværge.

   — Fusion er umuligt - det må jeg høre.

   — Ja, protonerne i kernen farer rundt med en hastighed på flere hundrede kilometer i sekundet, og de støder hele tiden sammen med andre protoner - med de har jo samme ladning, så de frastødes af hinanden - men en sjælden gang rammer de hinanden frontalt, og så går de normalt bare lukt igennem hinanden - for husk på, alt det atomare stof er både partikler og bølger, og bølger kan godt gå igennem hinanden - men en yderst sjælden gang - når protonen i gennemsnit har faret rundt i ti milliarder år - så rammer den en anden proton frontalt og smelter sammen med den og danner en heliumkerne - og så afgives der stor energi - og så længe der er tilstrækkelig med brint i kernen, kan fusionerne holde varmen oppe - og det kan stå på i op til ti milliarder år - men sandsynligheden for at to protoner fusionerer må siges at være nul - en proton rammer milliarder af gange hvert sekund en anden proton, men det er først efter ti milliarder år at den forenes med en anden proton - sandsynligheden er måske noget med et 1-tal med 30 nuller foran - men lad os nu antage, at sandsynligheden var et 1-tal med 28 nuller foran, så ville der være hundrede gange så mange fusioner, og så ville kernen eksplodere - den ville være en brintbombe - for i naturen er der ikke noget til at regulere kerneprocesser - i et atomkraftværk kan man styre processen, men kerneprocesser i naturen reguleres ikke automatisk på samme måde som tryk og temperatur.

   — Øh nej - du må fortælle Steen det her - du taler om skaberens uduelighed, Steen ser jo lige modsat på sagen - han samler på alle den slags usandsynligheder - hvordan er det? - hvis Jorden var to procent nærmere eller fjernere Solen, så ville liv være udelukket.

   — Ja - alt sådan noget.

   — Men også Solen er noget særligt? - den hører blandt de stjerner der har længst levetid?

   — Ja, den kan leve i ti milliarder år - den blev dannet for fem milliarder år siden, så den har fem milliarder år igen.

   — Det var godt, så har de udvalgte tid nok - de er skænkede et evigt liv, men de mere oplyste af dem erkender, at de på et tidspunkt må emigrere til andre planeter.

   — Ja, haha - Solen vil blive en hvid dværg, så den vil lyse kraftigt i millioner af år, men uheldigvis er Jorden fordampet.

   — Haha - øh du siger at langt det meste af massen i Universet usynlig, hvordan ka' man vide det når man ikke ka' se det?

   — Man kan se det af at galakserne roterer hurtigere end det er muligt hvis de kun bestod af det synlige stof - så ville de yderste stjerner blive slynget væk af centrifugalkraften - galaksen bliver holdt sammen af en stor mængde usynligt stof - og det burde jo være brint og helium, men der er noget mærkeligt, for det meste af det er ikke brint og helium - men man véd ikke hvad det er - man kalder det mørkt stof - og det er langt det mest dominerende stof - inde i centrum af en galakse er der et kæmpemæssigt sort hul, men det har ikke noget med sagen at gøre - i unge galakser tiltrækker det sorte hul støv og stjerner, og det fører til at der udsendes kraftigt lys - jo længere væk en galakse er, jo kraftigere lyser den, fordi vi jo ser tilbage i tiden - i Mælkevejen er kernen helt holdt op med at lyse - vi kan ikke se den.

   — Javel.

   — Men som sagt, lige efter Big Bang var der langt mere stråling end masse, og det har ikke ændret sig, for det der er sket i stjernerne i tidens løb er forsvindende i forhold til Big Bang - men der er det ved det, at når Universet udvider sig, så fortyndes strålingen og massen jo - deres energitæthed falder - men strålingens energitæthed aftager hurtigere end massens energitæthed, for udover at strålingens energitæthed falder fordi Universet udvides, så falder den også fordi bølgelængden vokser med udvidelsen - og en fotons energi er jo proportional med bølgelængden - så i tidens løb er strålingens energitæthed forlængst sunket langt ned under massens energitæthed - nu har massen fire tusind gange så meget energitæthed som strålingen.

   — Javel - men sig mig, hvornår opdagede man egentlig at Universet udvider sig?

   — Det var i 1920'erne - det blev klart at spiraltågerne man kan se, må være stjernesamlinger lissom Mælkevejen - galakser - men hvis galakserne virkelig er stjernesamlinger lissom Mælkevejen, så har galakser ikke den farve galakser ska' ha'.

   — Haha.

   — Farven er forskudt hen imod det røde - og årsagen må være at galaksen fjerner sig fra os - når en lyskilde bevæger sig i forhold til os, så ændres bølgelængden - på samme måde som med lyd - fjerner lyskilden sig, så forskydes lyset hen imod det røde, og nærmer den sig, så forskydes lyset hen imod det blå - den nærmeste galakse fjerner sig fra os med en hastighed på omkring halvtreds kilometer i sekundet.

   — Nå - det er vel ikke så meget.

   — Næh, men hvad med en galakse der er flere tusind gange så langt væk? - den fjerner sig fra os med en hastighed der er større end lysets hastighed.

   — Det ka' den da ikke.

   — Det ka' den da, for grunden er jo at det er rummet der udvider sig - og rum har jo hverken masse eller bølgelængde - det skal ikke overholde lysets hastighed - man kan sige at galakserne flyder afsted på rummet - men galakserne udvider sig ikke, de bliver holdt sammen af massetiltrækningen - de fjerner sig bare fra hinanden.

   — Øh ja - Universet har altså udvidet sig med en hastighed der er større end lysets hastighed, men så må der da være steder i Universet hvor strålingen - og især massen - ikke er nået til.

   — Vrøvl - for strålings- og massepartiklerne blev jo spredt samtidig med rummet.

   — Nå.

   — Lige nu er der en bestemt afstand fra os hvor galakserne fjerner sig med lysets hastighed - man kalder den Hubble-afstanden - og det der ligger indenfor Hubble-afstanden, vil vi engang i fremtidens måske komme til at se - det kommer an på om vi og Universet lever længe nok - men det der er udenfor Hubble-afstanden, vil vi aldrig komme til at se - men vi kan se længere ud end Hubble-afstanden, for det vi ser, er jo ikke det der foregår nu, det er noget der foregik engang i en fjern fortid, og dengang lå det indenfor Hubble-afstanden - men vi kan kun se til en vis grænse - man kalder den den horisontale afstand.

   — Ja.

   — Hvis Universet har udvidet sig nogenlunde jævnt lige siden Big Bang, så er Hubble-afstanden den vej lyset har tilbagelagt i hele Universets levetid - og eftersom den horisontale afstand er større, så er den afstand vi kan se ud i Universet, større end den vej lyset har tilbagelagt i Universets levetid.

   — Det ka' den da ikke være.

   — Jo, for Universet har jo hele tiden udvidet sig med en hastighed der er større end lysets hastighed.

   — Javel.

   — Et sted der lige nu ligger i den horisontale afstand fra os, bevæger sig bort fra os med en hastighed som er større end lysets hastighed, men den horisontale afstand selv vokser med den hastighed plus lysets hastighed, så vi kan se mere og mere af Universet med en hastighed som er flere gange lysets hastighed.

   — Det er jo til at blive helt svimmel af - men Big Bang kommer vi ligegodt aldrig til at se?

   — Nej - og hvis vi kunne se det, kunne vi ikke se det, for bølgelængden af strålingen ville være langt større end synligt lys - men vi kan godt konstatere det der foregik nogle hundrede tusind år efter Big Bang - det er det man kalder baggrundsstrålingen - det er fotoner med en længere bølgelængde end synligt lys - og der er også en baggrundsstråling af neutrinoer, og den er næsten ligeså kraftig - og de strålinger er langt større end udstrålingen fra stjernerne i hele Universets levetid - fotonerne kommer fra en tid hvor Universet endnu ikke var blevet gennemsigtigt og hvor temperaturen var på omkring tre tusind grader - engang mente man jo, at langt væk fra alle stjerner må temperaturen være meget nær det absolutte nulpunkt, men den er i virkeligheden tre grader over det absolutte nulpunkt - tre grader er en tusindedel af temperaturen da strålingen blev udsendt, og eftersom temperaturen i Universet falder omvendt proportionalt med udvidelsen, så må Universet dengang ha' været tusind gange så lille.

   — Javel - jeg forstår at udvidelseshastigheden ændres med tiden, men til en bestemt tid er den præcis den samme overalt i Universet, ikke?

   — Jo, til enhver tid er der en ganske bestemt relativ udvidelseshastighed - for tiden er det sådan, at det der er en million lysår væk fra os, fjerner sig fra os med en hastighed på omkring 25 kilometer i sekundet - så hvis to genstande har afstanden x millioner lysår, så fjerner den ene sig fra den anden med hastigheden x gange 25 kilometer i sekundet.

   — Ja - men indenfor et område hvor udvidelsen af Universet ikke spiller nogen større rolle, kan en partikel aldrig bevæge sig bort fra en anden partikel med en hastighed der er større end lysets hastighed, og for store hastigheder gælder særlige regler - Einsteins regler, hvordan er det?

   — Det er en regel for sammensætning af to hastigheder - ved lave hastigheder og ifølge Newtons verdensbillede skal man bare addere hastighederne, men ifølge Einsteins verdensbillede skal man addere hastighederne og dividere med én plus produktet af de to relative hastigheder i forhold til lysets hastighed - på den måde kan den samlede hastighed aldrig blive større end lysets hastighed - hvis en af hastighederne er lysets hastighed, så er den samlede hastighed lysets hastighed.

   — Øh ja.

   — Og hvis en af hastighederne er minus lysets hastighed, så er den samlede hastighed minus lysets hastighed - og det betyder, at hvis noget bevæger sig med en jævn hastighed, og det udsender en lysstråle i bevægelsesretningen og en lysstråle i den modsatte retning, så vil begge lysstråler udbrede sig med samme hastighed - lysets hastighed - uanset hvor hurtigt lyskilden bevæger sig.

   — Det lyder lidt mærkeligt.

   — Ja, for det betyder, at hvis to verdener bevæger sig i forhold til hinanden med stor hastighed - for eksempel to rumfartøjer der kommer imod hinanden - så vil man i den ene verden opleve at der er noget galt med den anden verden - tingene vil være kortere i bevægelsesretningen og de vil have større masse og tiden vil gå langsommere.

   — Haha - det ka' jeg godt huske - det er Einsteins specielle relativitetsteori, ikke?

   — Jo, den foregår i et euklidisk univers og handler om at der ikke er noget inertialsystem der har forrang for andre - hvis man har to koordinatsystemer der bevæger sig jævnt i forhold til hinanden - uanset hvor hurtigt - så vil der indenfor de to verdener gælde præcis de samme naturlove - men når hastigheder indenfor et inertialsystem er meget store, må man bruge Einsteins regel for sammensætning af hastigheder.

   — Og ti år senere kom den generelle relativitetsteori - du sagde engang noget om hvordan Einstein var kommet frem til den - det er det med at gravitation er ækvivalent med acceleration - hvordan er det nu?

   — Hvis for eksempel et rumfartøj bevæger sig forbi en planet, så vil det blive tiltrukket af planeten og accelerere, men den acceleration kunne rumfartøjet også få hvis en raketmotor blev startet - men i rumfartøjet ville man ikke kunne skelne den ene situation fra den anden - gravitation kan ikke skelnes fra acceleration.

   — Ja - du sagde at Einstein først argumenterede for at der være masse i Universet, og så nåede han frem til at der ikke er masse.

   — Ja, det med rum og masse har været et kæmpe filosofisk problem - man kan godt påstå at rum uden masse ikke eksisterer, men hvormeget skal der til førend man kan tale om bevægelse? - jeg stillede jo sidste år et spørgsmål om det til vores fysiklærer - hvis vi antager at der kun er én ting i verden, og at den roterer, så kan vi konstatere at der er kræfter der virker i den - det ydre af den vil blive trukket udad af centrifugalkraften - men vi kan ikke konstatere at den roterer, for vi har ikke noget at sammenligne bevægelsen med - der er altså kræfter uden acceleration, ergo er Newtons anden lov forkert - den siger jo, at kraft er lig masse gange acceleration - skolelæreren fandt mit spørgsmål interessant, han ville kigge på det, men der kom aldrig noget svar.

   — Haha.

   — Newton mente at man kan tale om det absolutte rum og noget absolut - en jævn bevægelse vil altid være i forhold til noget andet, men en acceleration er en absolut størrelse, påstod han - han nævnte det med de roterende ting - for eksempel en spand vand der hænger i en snor og roterer - han påstod, at selvom der ikke er noget tingen roterer i forhold til, så roterer den alligevel - det kan man konstatere udfra kræfterne der virker i den - men der var noget muggent ved det svar - der kom indvendinger, og man begyndte at tænke over hvormeget der egentlig skal være i rummet førend man kan sige at Newtons love gælder - efter Einsteins mening var det mest korrekte svar det man kalder Machs princip - det siger, at enhver lokal inerti er bestemt af fordelingen af fjern masse i Universet - der tænkes selvfølgelig på fiksstjernerne - men der er også noget muggent ved det princip - det er fra 1870'erne - Lenin sagde at det er i strid med socialismen.

   — Haha.

   — Men Einstein troede på det - for ham var enhver kraft altså forudsat af en vis fordeling af masse i Universet - og fravær af kraft var forudsat af fravær af masse - for at noget kan være i jævn bevægelse, må der være en masse et andet sted, men det sted må være uendelig langt væk - men så længe efter at Einstein havde udtænkt sin relativitetsteori, så påviste matematikeren Gödel at Machs princip er forkert - han beviste det udfra Einsteins egen teori.

   — Nå!

   — Det er noget med at hvis der er et stort roterende legeme med et hulrum indeni, og hvis der i hulrummet er et lille legeme som kan rotere frit, så vil det lille legeme på grund af massetiltrækningen blive trukket med, og ende med at rotere med samme hastighed som det store legeme - det er klart - så hvis stjernehimlen roterede, så ville vi rotere med, og vi ville ikke kunne konstatere at himlen roterer - men Gödel viste, at det er foreneligt med Einsteins generelle relativitetsteori, at stjernehimlen roterer og at vi ikke roterer med.

   — Øh ja.

   — Men til at begynde med troede Einstein altså på Machs princip - der må være en omfattende samling masse langt væk - det var hans ene udgangspunkt - et andet udgangspunkt var en ny geometri der var kommer frem - en matematiker - Minkowski - havde fået den idé at føje tiden til rummet som en ny dimension, så Universet opfattes som et tre-dimensionalt delrum af et fire-dimensionalt rum, hvor den fjerde dimension er tiden, og hvor Universet bevæger sig i tidens retning - og i det fire-dimensionale rum-tid-rum indførte Einstein et afstandsbegreb som er bestemt af massen - når man har et afstandsbegreb i et abstrakt geometrisk rum, så kan man tale om en kurve som overalt er den korteste vej mellem sine punkter - den svarer altså til en ret linie i det euklidiske rum - man kalder den en geodætisk kurve - og Einsteins afstandsbegreb er sådan, at i rum-tid-rummet følger alt en geodætisk kurve - for alt i verden bevæger sig - om ikke andet, så i tidens retning - for eksempel følger Jorden en spiralformet kurve i rum-tid-rummet - den største masse i nærheden af Jorden er Solen, og tiltrækningen fra Solen betyder at Jorden hele tiden accelererer, og følger en elliptisk bane om Solen - og hvis man til ellipsens to-dimensionale plan føjer tiden som en tredie dimension, så vil Jorden i det tre-dimensionale rum følge en spiralformet bane, og den bane er Jordens geodætiske kurve i det fire-dimensionale rum-tid-rum.

   — Javel.

   — På den måde bliver massetiltrækning et spørgsmål om krumning i rum-tid-rummet - masse er blevet til geometri - masse udøver kraft, og kraft giver acceleration, og acceleration betyder afbøjning i bevægelse - jo mere masse der er, jo stærkere krumning i rum-tid-rummet - og det er ikke bare massetiltrækningen der fremkalder krumning, det er også de elektriske og magnetiske kræfter - men deres bidrag til afstandsbegrebet har man ikke klarhed over - husk på, jo længere ned man kommer imod det atomare, jo mere indviklet bliver afstandsbegrebet - og der er jo spontane fænomener.

   — Javel - afstandsbegrebet gælder kun når tingene ses på afstand.

   — Hvor morsomt - øh man ka' sige at rum-tid-rummet er verden som Gud ser den - den er fast - så alt er forudbestemt - alt kører pænt afsted på geodætiske skinner.

   — Haha.

   — Også lyset følger selvfølgelig geodætiske kurver, men en lysstråle har sådan set ingen udstrækning i rum-tid-rummet.

   — Nå - hvordan?

   — Jo, når man måler afstande i det almindelige rum udfra koordinater, så bruger man jo Pythagoras' sætning - kvadratet på afstanden er summen af koordinaternes kvadrater - men i det fire-dimensionale rum-tid-rum er kvadratet på afstanden lig kvadratet på "tiden gange lysets hastighed" minus kvadratet på "afstanden i rummet" - hvis nu vi antager at rummet er et-dimensionalt, så er rum-tid-rummet to-dimensionalt - og hvis vi også antager at der ikke er nogen masse i nærheden, så gælder, at hvis en partikel i en lille tid har bevæget sig et lille stykke vej i rummet, så er kvadratet på "afstanden i rum-tid-rummet" lig med kvadratet på "tiden gange lysets hastighed" minus kvadratet på "vejen i rummet" - så hvis partiklen ikke har bevæget sig, så er afstanden i rum-tid-rummet størst mulig, nemlig "tiden gange lysets hastighed" - men hvis partiklen har bevæget sig mest muligt, nemlig med lysets hastighed, så er "tiden gange lysets hastighed" lig med "vejen i rummet", og så ophæver de to tals kvadrater hinanden - så er afstanden i rum-tid-rummet nul.

   — Javel - lyset bevæger sig ikke.

   — Jo, i rummet og i tiden, men ikke i rum-tid-rummet - i rum-tid-rummet er lyset den korteste vej mellem to hændelser - og den er nul - og den længste vej mellem to hændelser, er den hvor der ikke er sket nogen bevægelse i rummet - altså hvor kun tiden har ændret sig - det er det der er årsag til det man kalder tvillinge-paradokset - hvis der er to tvillinger, og den ene er luddoven og den anden er myreflittig, så vil den anden blive yngre og yngre i forhold til den første - selvfølgelig ikke mere end en brøkdel af et sekund i løbet af livet - men hvis den anden foretog en rumrejse med næsten lysets hastighed, så ville han være meget yngre end sin bror når han kom hjem.

   — Haha - ja det ka' jeg godt huske.

   — Men der er noget højst muggent ved teorien om Universet - man går som sagt ud fra nogle antagelser, og udfra dem kan man opstille tre meget enkle ligninger - den første beskriver hvordan udvidelseshastigheden af Universet afhænger af energitætheden og af Universets radius - den blev bevist udfra Einsteins generelle relativitetsteori, men det var ikke Einstein der fandt den, det var én der hedder Friedmann - ja Einstein var nærmest uforskammet, da han hørte om den.

   — Haha.

   — Ja - og det mærkelige er, at ligningen i allerhøjeste grad er bestemt af Einsteins verdensbillede, men man opdagede senere at den kan udledes udfra Newtons verdensbillede.

   — Nå!

   — Ja - den anden ligning beskriver hvordan energitætheden plus trykket aftager med udvidelsen - de forskellige gasarter giver anledning til tryk, og så skulle man tro at trykkene modvirker massetiltrækningen, men det er lige omvendt - for Universet har jo ikke nogen grænse, så der er ikke nogen væg et tryk kan skubbe - men tryk er en form for energi, og energi er ækvivalent med masse, ergo svarer tryk til masse, og masse tiltrækker hinanden.

   — Øh ja.

   — Trykket er bestemt af hastigheden af partiklerne i gasarten - og det er det den tredie ligning handler om - den består af flere ligninger - én for hver gasart - for en almindelig masse ved en almindelig temperatur er trykket næsten nul, og for lys er trykket en trediedel af energitætheden - men der er noget muggent, og det er Einstein der er skyld i det.

   — Men dog!

   — Han ku' godt selv se det - og han var dybt ulykkelig.

   — Haha.

   — Han havde til at begynde med den idé at Universet er stabilt - det var før man opdagede at Universet udvider sig - men hvis Universet er stabilt, så må der jo være en kraft til at modvirke massetiltrækningen - og det problem havde Newton et svar på - altså hvorfor massen i Universet ikke klapper sammen - han mente, at eftersom Universet er uendeligt, og stjernerne er nogenlunde jævnt fordelt, så må massetiltrækningen fra alle sider ophæve hinanden - men for Einstein var Universet jo ikke uendeligt - han havde brug for en kraft der kan ophæve massetiltrækningen - så derfor måtte han opfinde en vacuumenergi - ligesom man senere har måttet opfinde en periode inde i Big Bang med vacuumenergi - og Einstein mente at vacuumenergiens tæthed er konstant med tiden - den kaldes den kosmologiske konstant og den betegnes ved et stort lambda - men så var der én der beviste at Universet ikke kan være stabilt, og på samme tid opdagede man at der er galakser og at de fjerner sig fra os - så Universet må åbenbart udvide sig - og så skulle man tro at man var sluppet af med lambda, men det var lige omvendt - det blev mere og mere klart at der må være negativt tryk til at modvirke massetiltrækningen og det positive tryk - og det negative tryk må endda være stort, for ellers ville Universet kun have en kort levetid - det er lambda der bestemmer Universets udvikling, men man véd ikke hvad lambda er - lambda har alle dage været en plage.

   — Haha.

   — I den bog jeg har, er der et kapitel der hedder "Learning to love lambda".

   — Haha - har du lært at elske lambda?

   — Næh, men man opdager vel engang hvad det er - man vil have at lambda ikke ændrer sig med tiden, men så følger af den anden af ligningerne, at lambdas energitæthed og tryk må ophæve hinanden - trykket må være negativt og konstant - sådan var det også i den kraftige udvidelsesperiode i Big Bang på 10-30 sekund - inflationsperioden - dér var massetætheden konstant med udvidelsen, og det skyldtes at der var et vacuum som var konstant med tiden til at levere energien.

   — Ja jeg forstår ikke meget af det - ka' der virkelig findes vacuumenergi?

   — Ja, det mener man - det er jo ikke noget vi ser nogen steder - man kalder det mørk energi - man mener at det kommer fra virtuelle par af stof og antistof - partikler der opstår spontant og forsvinder igen - som for eksempel neutrinoer - det skulle være et kvantefænomen - og så er det klart at energitætheden er konstant med tiden - men hvis det er sandt at lambdas energitæthed er konstant med tiden, så vil den jo blive større og større i forhold til strålingens og massens energitæthed - for de energitætheder aftager jo med tiden - og det vil betyde, at udvidelsen af Universet på et tidspunkt begynder at accelerere med en eksponentielt voksende hastighed - det er en meget udbredt opfattelse - og det vil føre til at al massen forsvinder, og at der engang kun er stråling tilbage - som det jo oprindelig havde været meningen fra skaberens side - for det er ikke helt sandt at antallet af kernepartikler er konstant med tiden - al masse vil nedbrydes, men det kan tage helt ekstrem lang tid - længere tid end Universets levetid - hvis den altså er endelig - selv de sorte huller forsvinder - det var Hawking der opdagede det - de sorte huller suger alt til sig - selv lys - men der er alligevel hele tiden fotoner og neutrinoer der undslipper - uendelig langsomt bliver det sorte hul mindre og mindre, og temperaturen stiger, og på et tidspunkt begynder hullet at lyse - kraftigere og kraftigere, og så går det hurtigere og hurtigere - og tilsidst eksploderer hullet.

   — Hahaha.

   — Ja - men jeg kan slet ikke forestille mig at Universet udvider sig på den måde - jeg tror at udvidelsen vil aftage og gå helt istå, og at Universet vil begynde at trække sig sammen.

   — Har det ikke været den mest almindelige opfattelse?

   — Jo, men der har været alle mulige opfattelser - det har at gøre med den dominerende energitæthed i Universet - til at begynde med havde strålingen den største energitæthed, så blev det massen, og nu er det lambda der har den største energitæthed - lambdas energitæthed er i øjeblikket over det dobbelte af massens.

   — Den dominerende energi i verden er altså noget man ikke véd hvad er - og det dominerende stof er mørkt stof, og det véd man heller ikke hvad er - det lyder mærkeligt.

   — Ja, og der kan jo være flere af den slags energier - de ligninger man sidder og filosoferer over er altfor primitive - der optræder kun stråling og masse og lambda - der er måske ukendte energier med tæthed der afhænger af Universets størrelse - jeg tror at udvidelsen er ved at aftage, og at Universet engang vil begynde at trække sig sammen, og så vil sammentræknings-hastigheden blive større og større.

   — Så kommer der et nyt Big Bang?

   — Ja, men hvem siger at det vil foregå indenfor en meget kort tid og at temperaturen og massetætheden vil være så stor som man tror - og man kan da godt forestille sig, at hvis Universet stopper med udvidelsen og begynder at trække sig sammen, så kan det ske på lidt forskellige tidspunkter på de forskellige steder - hvorfor skal det hele foregå lige præcis samtidig?

   — Næh - men hvis verden genskabes, så er verden alle dage blevet genskabt?

   — Nej - det påstås, at hvis verden genskabes, så vil temteraturen stige for hver gang, og så vil verdenerne få længere og længere levetid - men temperaturstigningen vil føre til at liv engang vil blive udelukket - men man kan da godt forestille sig, at der er noget der gør at temperaturen ikke stiger - jeg tror at der kun er én verden, og at man kan opfatte det som om at tiden i de forskellige verdener er identificeret - det med at identificere er jo noget man gør meget i matematikkken - en ret linie har uendelig udstrækning, men hvis man identificerer alle punkter som har en bestemt afstand, så får man en cirkel hvis omkreds er den bestemte afstand - så har man omdannet noget uendeligt til noget endeligt - jeg har den opfattelse, at der i den virkelige verden ikke kan være noget der er uendeligt eller som fortsætter i al evighed - og det gælder også tiden - i Universet har alle størrelser jo nogle grænser - der er en mindste tid og der er en højeste temperatur og en største massetæthed og en største hastighed.

   — Det med at tiden er endelig, er det noget du har læst et sted?

   — Nej, det er bare sund fornuft.

   — Ja det ka' da være at der er noget om det - du mener altså at Universet er endeligt, og hvis det er sandt, så finder man jo nok engang ud af præcis hvor stort det er, og så kan man regne ud hvormange sandskorn der kan være i Universet - hvor stort var Arkimedes' tal?

   — 1063.

   — Forresten, du sagde noget sjovt man havde opdaget om Arkimedes' sand.

   — Ja, men det er noget tilfældigt - Universet er langt større end Arkimedes forestillede sig, men hvis man fylder Arkimedes' univers med sand, så vil vægten være den samme som vægten af massen i det sande univers - det sande univers er tilfældigvis ligeså meget større i udstrækning som dets masse er tyndere end sand.

   — Hvor stort er det sande univers mon i forhold til Arkimedes' univers?

   — Det er vel omkring 1010 - altså ti milliarder - gange så stort.

   — Hvormange sandskorn kan der være?

   — Så skal Arkimedes' tal ganges med 1010 i tredie, og det er 1030 - så skal der lægges 30 til 63 - så er tallet 1093.

   — Tal omkring 10100, det er topmålet af dine kosmologiske tal, men man kan først bevise at et ulige tal er summen af tre primtal, når vi er oppe på tal af en helt helt anden størrelsesorden - ti i fire millioner - det bevis er ingenting værd - du kan godt se der er noget ravruskende galt med mængdelærens aksiomsystem, ikke? - hvormange aksiomer er der? - hvordan ser de ud?

   — Man kan bruge forskellige aksiomsystemer - der er vel otte-ti aksiomer.

   — Hvordan ser de ud? - ka' du ikke nævne nogle af dem?

   — Jo - øh... aksiomerne handler om hvilke mængder der kan dannes - i mængdelæren er alt jo mængder.

   — Ja - hvordan er det med de naturlig tal? - hvilke mængder er de?

   — Tallet 0 er den tomme mængde, og tallet 1 er den mængde der netop består et ét element, nemlig tallet 0, og tallet 2 er den mængde der består af tallene 0 og 1 - og sådan kan man fortsætte - tallet 7 er en mængde med 7 elementer, nemlig tallene fra 0 til 6.

   — Ja, men hvad er det for aksiomer du har benyttet?

   — Øh... jeg kan ikke sådan lige remse dem op - husk på, der er jo flere forskellige aksiomsystemer man kan benytte - alt efter smag og behag.

   — Ja, men hvad smag og behag har du?

   — Det er ikke noget man behøver at præcisere - man henviser jo ikke til aksiomerne i praksis.

   — Det er muligt, men man ska' da kende dem.

   — Ja, det er noget jeg ska' sætte mig mere ind i, men det haster ikke.

   — Man må da tage tingene i den rigtige rækkefølge - det har jeg gjort.

   — Ja, tillykke med det, men det er noget andet med dit fag - jeg har læst om aksiomsystemet - og jeg véd mere end de fleste matematikere - aksiomerne siger hvilke mængder man kan danne - et af aksiomerne siger, at hvis man har en mængde A, så findes den mængde der har mængden A som eneste element - hvis man altså lader A være den tomme mængde, så får man at tallet 1 eksisterer - der er også et aksiom der siger, at hvis man har nogle mængder, så eksisterer foreningsmængden af alle de mængder.

   — Ja, men den tomme mængde? - hvordan får man den?

   — Øh... jo, det aksiom man bruger mest lyder: hvis man har en mangde A og et udsagn U hvori der er en variabel x, så findes mængden af de elementer x i A som gør udsagnet U sandt - hvis man nu lader A være en helt vilkårlig mængde og lader U være udsagnet "x er ikke lig x", så får man den tomme mængde.

   — Ja, men du startede jo med en mængde A.

   — Ja, man må starte med en mængde, men det er ligemeget hvad det er for en - når man har den, så kan man konstruere alle mængdelærens mængder - så kan man bygge hele matematikken op - man danner først de naturlige tal, og udfra dem danner man de hele tal, og udfra dem de rationale tal, og udfra dem de reelle tal, og sådan fortsætter man - alt kommer med - for husk på, en regneoperation, for eksempel addition, er jo en funktion, og en funktion kan opfattes som en mængde.

   — Ja det er rigtigt - det lærte vi vist i tredie klasse - dengang var mængdelæren jo den store mode - men nu geometrien?

   — Den danner man udfra de reelle tal - linien er simpelthen de reelle tal, og planen er mængdeproduktet af de reelle tal med sig selv, og rummet...

   — Det er den euklidiske geometri man får på den måde, men de andre geometrier?

   — Dem får man som delrum af et euklidisk rum - et to-dimensionalt elliptisk rum er simpelthen en kugleflade i det tre-dimensionale rum - og et tre-dimensionalt elliptisk rum er en tre-dimensional "kugleflade" i det fire-dimensionale rum - de hyperbolske rum kan man ikke helt få på den måde - der må man ændre afstandsbegrebet.

   — Men de geometrier kan man også få ved at ændre i den euklidiske geometris aksiomer, forstår jeg - kan man så ikke også ændre i mængdelærens aksiomer, således at Goldbachs formodning bliver sand?

   — Jo selvfølgelig, man kan medtage Goldbachs formodning som aksiom - men det ville ikke være korrekt - og så ku' man få nok at lave - og et aksiom skal være udformet på en særlig måde, og det skal kunne bruges til forskellige typer af sætninger.

   — Ja - men hvad er det man gør når man beviser tingene?

   — Så bruger man aksiomerne og nogle logiske slutningsregler - hvis man for eksempel har to udsagn U og V, og det gælder at både udsagnet U og udsagnet "U medfører V" er sandt, så er udsagnet V også sandt.

   — Det er en af Aristoteles' slutningsregler, ikke? - hvad er det den hedder?

   — Modus Ponens.

   — Ja rigtigt - men de aksiomer og slutningsregler, det er noget man er nået frem til ved at eksperimentere, ikke?

   — Jo selvfølgelig.

   — Hvornår fandt man ud af alt det? - var det ikke Bertrand Russell?

   — Jo, men hans system var for besværligt - det er et andet system man bruger - Zermelo-Fraenkels aksiomsystem - det hele var vist færdigt omkring 1930.

   — Men kan man ikke forestille sig at man har glemt nogle aksiomer? - der er ti stykker, siger du, men der skulle måske have været tolv - så kunne man bevise Goldbachs formodning.

   — Øh joh, men det mærkelige er, at med de aksiomer man har, kan man næsten bevise alt - man kan ihvertfald bevise alt det man har brug for i praksis.

   — Ja, men man kan åbenbart ikke bevise Goldbachs formodning - og man kan først bevise at et ulige tal er summen af tre primtal, når tallet er større end ti i fire millioner - sådan et bevis gi'r jeg ikke noget for - ka' du virkelig ikke se at der er noget helt galt?

   — Joh...

   — En påstand som er sand og som enhver idiot kan forstå, den skal også kunne bevises - er der forresten andre sætninger som er ligeså simple som Goldbachs formodning og som man ikke kan bevise?

   — Ja, man kan heller ikke bevise at der er uendelig mange primtalstvillinger - det er de primtal der er summen af to primtal, og så må det ene primtal være 2 - det er altså de par af primtal hvor differensen er 2 - de første er 3 og 5, 5 og 7, 11 og 13, 17 og 19, 29 og 31 - der er uendelig mange, men man kan ikke bevise det.

   — Du ka' godt se, årsagen til det hele er at der mangler nogle aksiomer.

   — Ja - øh nej, jeg tror at man kan bevise tingene med de aksiomer man har - det der er galt er, at man tænker i helt forkerte baner.

   — Ja måske - men du fik en artikel mere? - hvad står der i den?

   — Den skal jeg igang med, men der står nok ikke noget særligt, den er jo helt fra 1922.

Niels-Henrik gik igang med den anden artikel - foredraget i Dansk Matematisk Forening af G.H. Hardy om den teori som han i samarbejde med Mr. Littewood var ved at udarbejde (og som førte til artiklen "On the expression of a number as a sum of primes", Acta Mathematica 44 (1923), 1-70). Den artikel overraskede ham - at komme igennem den ville blive et større arbejde. Og mærkelig nok er der nogle af formlerne som minder påfaldende om nogle særprægede formler han havde set i onkel Hermanns bøger - de svære om den matematiske teori for væskers strømning. Har den teori virkelig noget med Goldbachs formodning at gøre? Det har den nok ikke, men man bruger åbenbart nogle fælles matematiske metoder. Han havde senere fundet ud af, hvad et af de problemer som onkel Hermann havde viet en særlig interesse, går ud på. Ved hjælp af kompleks funktionsteori - det er den teori som er i det bind af "Matematisk Analyse" han endnu ikke havde fået læst - er man istand til at give en matematisk beskrivelse af visse former for væskestrømninger og elektriske- og magnetiske felter. Hvis man ønsker at beskrive strømmen om et givet fast legeme - altså tegne strømlinier og udregne hastigheder og kræfter - og hvis man forudsætter at væsken eller luften er ideal, hvilket vil sige at den er gnidningsfri og ikke kan sammenpresses - så kan det opnås, hvis man kan finde en kendt strøm og en kompleks funktion som transformerer den kendte strøm over i den søgte strøm. Strømmen om den tidligere omtalte Joukowski-profil er billede af strømmen om en roterende cirkel (cylinder) ved en kompleks funktion. Nu var denne matematiske teori rigtigt begyndt at fascinere ham: det at man skal bruge de fremmedartede komplekse tal for at kunne løse et helt jordnært problem.

De komplekse tal dukkede første gang op i renæssancen i forbindelse med løsning af trediegrads-ligninger. Grækerne havde ikke løst generelle trediegrads-ligninger - det tilskyndede deres geometriske syn på tallene ikke til. Men i renæssancen havde man glemt grækernes strenghed, og man opfattede de reelle tal som vi opfatter dem, altså som cifferrækker, og man havde ikke nogen større betænkelighed ved at lade en cifferrække kunne være uendelig lang. Det friere forhold til tallene gjorde det oplagt at løse rene talligninger. Især blev der stor interesse for - og konkurreren om - løsning af trediegrads-ligninger. En trediegrads-ligning kan højst have tre forskellige løsninger, men den kan også være uløselig - ligesom visse andengrads-ligninger. Man blev snart istand til at løse alle tilfælde af trediegrads-ligningen, men der var opstået et sælsomt fænomen: undervejs i udregningerne kunne der forekomme ikke-eksisterende tal, som man regnede på som om de eksisterede, og som tilsidst forsvandt igen - på samme måde som de virtuelle partikelpar der kommer til syne og udvirker noget og så forsvinder igen. Et sådant ikke-eksisterende tal er løsning til en andengrads-ligning som ikke har nogen løsning (for eksempel x2 = -2). Der gik flere hundrede år inden de "imaginære tal", som man kaldte dem, fik eksistens - altså blev anerkendt - og de blev herefter kaldt komplekse tal. Et komplekst tal er et par (a, b) af reelle tal, men man skriver gerne parret på formen a + bi, hvor i = √-1 er den imaginære enhed - i er løsning til den uløselige andengrads-ligning x2 = -1. De komplekse tal er altså en to-dimensional udvidelse af de reelle tal. Udfra formlen i2 = -1 kan man regne med komplekse tal næsten som man regner med reelle tal - der er dog ingen naturlig ordensrelation (<) på de komplekse tal. For et komplekst tal z = x + yi, er det konjugerede tal tallet z‾ = x - yi (det er spejlingen af z i x-aksen). Der gælder z∙z‾ = x2 + y2. Det reelle tal √(x2 + y2) kaldes normen (eller længden) af z og betegnes |z|. Man finder 1/z ved 1/z = z‾/(z∙z‾) = z‾/|z|2. Danner z vinklen θ med x-aksen, er z = |z|(cos θ + i sin θ), hvor tallet cos θ + i sin θ ligger på enhedscirklen. Tallet cos θ + i sin θ kan også skrives eθi, hvor e er grundtallet for den naturlige logaritme (e = 2,71828...).

De komplekse tal er en to-dimensional udvidelse af de reelle tal, og det er den mindste udvidelse således at enhver andengrads-ligning har løsninger. Indenfor de komplekse tal har ethvert andengrads-polynomium p(z) = a0 + a1z + a2z2 altså 2 rødder: z1 og z2, og det betyder at p(z) = a2(z - z1)(z - z2). Men dette kommer til at gælde generelt: ethvert n-te-grads polynomium p(z) = a0 + a1z + a2z2 + ... + anzn har n rødder: z1, z2, ..., zn (hvoraf nogle kan være sammenfaldende), og det betyder at p(z) = an(z - z1)(z - z2)...(z - zn).

Hardys artikel er på 16 sider, og i den annonceres det førnævnte resultat af Hardy & Littlewood, at ethvert tilstrækkelig stort ulige tal er summen af tre primtal - den sætning som de beviste udfra "en modificeret form af Riemanns hypotese", og som Vinogradov i 1937 beviste uden brug af ubeviste forudsætninger. De første 4 sider kunne han nogenlunde forstå - det er lidt om problemets historie. Omkring århundredeskiftet havde man kontrolleret Goldbachs formodning op til 10.000, og i 1871 havde Sylvester fundet en tilnærmelsesformel for antallet af måder hvorpå et lige tal kan skrives som summen af to primtal. Hardy påviser at formlen er lidt forkert - tallet bliver 1,123 gange for stort - og han fortæller hvordan den korrekte formel nødvendigvis må se ud:

Antallet af par af primtal p og q (hvor p ≤ n) således at 2n = p + q er tilnærmelsesvist

2n AB / (log n)2

hvor

A = produktet af tallene 1 - 1/(p - 1)2, hvor p gennemløber alle de ulige primtal

og

B = produktet af tallene (p - 1)/(p - 2), hvor p gennemløber de ulige primtal som går op i n

A er uafhængig af n, men B afhænger af n.

Niels-Henrik måtte straks undersøge den formel - hvor godt den passer med virkeligheden:

Tallet A skal udregnes én gang for alle:

    begin

      a := 1;

      for p := 3 to 20000 do

        if prim(p) = true then

          a := a * (1 - 1 / sqr(p - 1));

      write(a);

    end.

    (20000 er et tilfældigt stort tal, sqr(x) betyder x2, sqr = square = kvadrat)

Det viste sig at A = 0,66016....

Programmet der udregner formlen for det lige tal 2n, må derfor se således ud:

    begin

      read(n);

      b := 1;

      for p := 3 to n do

        if (prim(p) = true) and (n mod p = 0) then

          b := b * (p - 1) / (p - 2);

      write(2 * n * 0.66016 * b / sqr(ln(n)));

    end.

    (n mod p = 0 betyder at p går op i n, ln(x) er den naturlige logaritme til x)

Den tabel han tidligere havde udarbejdet, kunne nu udvides således:

        n     sandt antal       tilnærmelse

        495         52                 50,3

        496         13                 17,6

        497         25                 20,7

        498         37                 34,5

        499         17                 17,1

        500         28                 22,8

Tilnærmelserne passer da nogenlunde, og den relative tilnærmelsesværdi kan åbenbart blive ligeså nøjagtig det skal være, når tallet n er tilstrækkelig stort - men man kan ikke bevise det.

De næste 5 sider i artiklen er elementære men bliver sværere og sværere. Hardy beundrer Viggo Brun, som næsten er dansker (nordmand), for hans interessante resultater, men kritisere ham for hans tro på at Goldbachs formodning kan bevises ved elementære metoder. Hardy slår fast, at der ikke er nogen vej udenom kompleks funktionsteori. Og på de næste 7 sider skitserer han beviset for det resultat som han og Mr. Littewood er nået frem til. Disse sider måtte Niels-Henrik helt opgive at forstå:

Han kunne dog forstå så meget, at for et givet helt tal r ≥ 2, har Hardy & Littlewood udledt en tilnærmelsesformel for antallet af måder hvorpå et naturligt tal kan skrives som summen af r primtal. Og når r er større end 2, har de (udfra en modificeret form af Riemanns hypotese) bevist at fejlen ved at bruge tilnærmelsesformlen bliver mindre og mindre jo højere man kommer op. For r = 2 er formlen den ovennævnte, men beviset for at fejlen bliver mindre og mindre svigter. Niels-Henrik kunne se, at man kommer frem til formlen ved at danne den komplekse funktion ψ(z) = z3 + z5 + z7 + ... (sum over de ulige primtal) - ψ(z) er kun defineret indenfor enhedscirklen. Hvis Goldsbachs antal for tallet n betegnes GFn (GFn er 0 for n ulige), kan man danne den komplekse funktion ω(z) = GF1z + GF2z2 + GF3z3 + ... - den er også kun defineret indenfor enhedscirklen. Og så viser det sig at ω(z) = ψ(z)2. Det er jo ret snedigt, og det er ikke svært at se, når man skriver rækkerne op og ganger ud. Af den komplekse funktionsteori skulle følge at

GFn = 1/(2πi) ω(z)/zn+1 dz = 1/(2πi) ψ(z)2/zn+1 dz

- hvor integralet er langs en vilkårlig lukket kurve omkring 0. Jo mere z nærmer sig enhedscirklen (indefra), jo mere uregerlig bliver ψ(z), men ψ(z) har størst værdi i nærheden af de "rationale" punkter på enhedscirklen, og disse værdier findes der en formel for, så ved at lade den lukkede kurve være en cirkel som nærmer sig enhedscirklen indefra, kan man finde en tilnærmelse til integralet, hvis præcise værdi jo er Goldbachs antal GFn. Metoden kaldes cirkelmetoden eller den analytiske metode.

Niels-Henrik måtte igang med bind IV af "Matematisk Analyse". Han kunne se at det var nødvendigt at læse det første kapitel "Funktioner af en kompleks Variabel" på 70 sider samt §23 "Gammafunktionen" på 10 sider. I en uge brugte han al den tid han kunne afse til at læse i bind IV og forsøge at forstå Hardys artikel. Men det meste af Hardys artikel forstod han stadig ikke - blandt andet syntes han ikke at "the formula

e-y = 1/2π y-sΓ(s)ds

of Mellin is well known". Men Niels-Henrik behøvede ikke at have det dårligt over at han ikke forstod detaljerne i udregningerne, for som vi senere får at vide, så gav professor Filtbak sig til at læse i artiklen efter at have sendt kopien, og han nåede ikke meget længere end Niels-Henrik. Og nu havde Niels-Henrik da endelig fået læst i det sidste bind af "Matematisk Analyse" som han så længe havde svigtet. Hvorfor havde han svigtet det bind? Den sidste halvdel af bogen så kedelig ud - interpolation, numeriske metoder, sandsynlighedsregning - men teorien i det første kapitel ("Funktioner af en kompleks Variabel") er den mest overraskende matematiske teori han har set indtil nu. Så den må vi høre lidt om:

En kompleks funktion er defineret på et (åbent) område i den komplekse plan - til ethvert punkt i området er knyttet et komplekst tal. Man kan definere differentiabilitet ganske som for reelle funktioner, og det mærkelige er, at hvis funktionen er differentiabel i alle punkterne, så er differentialkvotienten også differentiabel overalt - funktionen er altså vilkårlig ofte differentiabel - en sådan funktion kaldes analytisk. Differentiabilitet betyder at funktionen lokalt er givet ved en dilatation (udvidelse eller sammentrækning) og en drejning. Men hvordan skal et integral defineres på et 2-dimensionalt område? Et integral af en reel funktion f(x) går jo langs x-aksen fra a til b, og opfattes gerne som arealet under grafen af f(x) fra a til b. Et komplekst integral må gå langs en kurve fra et punkt til et andet, men så må værdien da være afhængigt af kurven. Ja og nej. Hvis man ændrer kurven og hvis der imellem de to kurver ikke er singulariteter for funktionen, så har integralerne samme værdi - forudsat dog at funktionen er analytisk. Den vigtigste sætning (Cauchys integralformel) siger følgende: hvis funktionen f(z) er analytisk på et område omkring punktet w, så gælder

f(w) = 1/(2πi) (f(z)/(z - w)) dz

- hvor integralet er langs en vilkårlig lukket kurve omkring z (gående én gang om z i retningen mod uret). Bemærk at funktionen f(z)/(z - w) har singularitet i z = w. Hvis n er et helt tal og f(z) = zn, kan man udregne integralet af f(z) langs en lukket kurve omkring 0. Og det viser sig, at integralet er 0 for alle n undtagen n = -1, hvor integralet er 2πi (bemærk at for n < 0 har f(z) singularitet i z = 0). Dette betyder at hvis funktionen f(z) omkring 0 har formen

f(z) = a-m/zm + ... + a-2/z2 + a-1/z + a0 + a1z + a2z2 + a3z3 + ...

så er a-1 givet ved

a-1 = 1/(2πi) f(z) dz

- hvor integralet er langs en lukket kurve omkring 0. Dette kan anvendes på Goldbachs række ω(z) divideret med zn+1, så f(z) er rækken

f(z) = GF1/zn + GF2/zn-1 + ... + GFn-1/z2 + GFn/z + GFn+1 + GFn+2z + ...

Og vi får (da a-1 = GFn) at

GFn = 1/(2πi) f(z) dz = 1/(2πi) (ω(z)/zn+1) dz = 1/(2πi) (ψ(z)2/zn+1) dz

- og det er jo formlen i Hardys artikel.

Niels-Henrik fandt herefter nogle af onkel Hermanns bøger frem for at se forskellen på teorierne. Blandt andet den bog som onkel Hermann havde undervist efter ved Danmarks Tekniske Højskole: "Lærebog i Rationel Mekanik, bind III" (1952) af Jakob Nielsen - det sidste kapitel handler netop om Joukowski-profiler. Og nu kunne han se hvori det fælles i teorierne består: opdriften på en vinge findes ved en kompleks integralformel som har stor lighed med integralformlen for GFn.

Onkel Hermann havde efterladt omkring tredive bøger hvori der stod noget om Joukowski-profiler, og dem bladrede Niels-Henrik frem og tilbage i i et par uger. Og han kom frem til følgende: Strømmen om vingen opfattes som plan, da den er ens for ethvert snit igennem vingen, og denne plan opfattes som den komplekse talplan. Strømmen er beskrevet ved en strømfunktion w(z) som er en differentiabel kompleks funktion. Den reelle del af w(z) er konstant langs potentiallinierne (som bestemmer hastigheden) og den imaginære del af w(z) er konstant langs strømlinierne. Potentiallinierne og strømlinierne er vinkelrette på hinanden. Hastigheden af strømmen i punktet z (som er en vektor og dermed et komplekst tal) er det konjugerede af tallet dw/dz. For en jævn strøm langs x-aksen med hastigheden v, er strømfunktionen w(z) = vz. Hvis en cirkel (cylinder) med centrum i origo og radius a roterer (mod uret), vil luften uden om den begynde at rotere med, og hvis "cirkulationen" er Γ, så er strømfunktionen for den roterende strøm w(z) = (Γ/(2πi)) log(z/a). Antag at cirklen ikke roterer, men at strømmen er en jævn strøm langs x-aksen med hastigheden v (uendelig langt væk) som skal strømme udenom cirklen, så er strømfunktionen w(z) = v(z + a2/z). Sættes nu cirklen til at rotere (med uret), således at strømmen er en jævn strøm langs x-aksen der møder en roterende cirkel, fås strømfunktionen w(z) ved at addere de to strømfunktioner:

w(z) = v(z + a2/z) + (iΓ/2π) log(z/a)

Ved denne strøm er der to stagnationspunkter på cirklen: forrest dér hvor strømlinierne deler sig, og bagest dér hvor strømlinierne fra over- og undersiden samler sig. De to punkter danner samme vinkel med x-aksen, og er denne α, er cirkulationen Γ = 4πva sin α. Der opstår nu en opdrift (tværkraft) på cirklen som er givet ved et komplekst tal O, og det konjugerede af O findes ved formlen

O‾ = i/2 (dw/dz)2 dz

- hvor integralet er langs en vilkårlig lukket kurve omkring cirklen. Udregnes integralet fås at O = vΓi - en vektor som ligger langs y-aksen, hvilket betyder at opdriften er vinkelret på strømretningen (x-aksen). Bemærk at opdriften er proportional med v2.

Spørgsmålet er nu: er det muligt at opnå at der er en opdrift uden at det omstrømmede legeme roterer? At svaret er ja, beviser fuglene: de skaber rotation når de bevæger vingerne, men når de ikke bevæger vingerne, kan de fortsat svæve - der må åbenbart fortsat være rotation. Men man kan formulere dette som et matematisk problem og prøve at løse det. Det gjorde Joukowski omkring århundredeskiftet, og ad matematisk vej kom han frem til den form det omstrømmede legeme må have. På den tid havde man længe brugt den metode, at finde strømfunktionen til en strøm ved at transformere en strøm hvor strømfunktionen kendes i forvejen. Hvis man har en vinkeltro (konform) afbildning af planen over i sig selv, så vil den transformere en strøm over i en anden strøm. Hvis man for eksempel vil vide hvordan en jævn strøm forløber langs en væg der slår et knæk, så kan man få den ved at transformere en jævn parallel strøm langs en lige væg. Når man transformerer strømmen om den roterende cirkel, så transformeres cirklen over i en lukket kurve, og strømmen bliver en strøm om denne lukkede kurve. Men umiddelbart transformeres den roterende bevægelse langs cirklen over i en bevægelse langs den lukkede kurve, og transformationen skal jo være sådan at denne bevægelse ikke mere er nødvendig. Hvad er den væsentlige forskel på strømmen om den roterende cirkel og strømmen om fuglevingen, spurgte Joukowski - udfra den forskel må transformationen kunne konstrueres. Og svaret er, at det bageste stagnationspunkt på den roterende cirkel bringes til at forsvinde, idet det afbildes over i vingens bagkant, hvor hastigheden ikke mere er 0. Lad den søgte transformation være z → ζ(z). Ved ζ(z) afbildes cirklen over i en lukket kurve, som vi antager har form som en fuglevinge. Et punkt z på (eller udenfor) cirklen afbildes over i punktet ζ(z) som ligger på (eller udenfor) den lukkede kurve, og hastigheden i ζ(z) er lig hastigheden i z divideret med det konjugerede af dζ(z)/dz. Så hvis z er det bageste stagnationspunkt, er hastigheden 0, og hvis man sørger for at dζ(z)/dz også er 0, så er hastigheden i ζ(z) tilsyneladende ubestemt (nemlig 0/0), men hastigheden kan alligevel være veldefineret og forskellig fra 0, nemlig hvis formlen for tallet er en brøk hvori der er en faktor i tæller og nævner som kan forkortes væk. For at finde ζ(z), lad os først antage at cirklen ikke roterer. Så er der ikke nogen tværkraft på den, og lad os antage at den lukkede kurve er sådan, at der heller ikke er nogen tværkraft på den. Hvis vi nu sætter cirklen til at rotere, så vil den roterende bevægelse langs cirklen afbildes over i en bevægelse langs den lukkede kurve, og der vil opstå en tværkraft på den lukkede kurve som er den samme som tværkraften på den roterende cirkel. Men hvis den lukkede kurve har en passende aflang form, så kan man åbenbart opnå at der opstår en tværkraft på den uden at der er en bevægelse langs den, nemlig ved at dreje den en lille vinkel β i forhold til strømretningen - denne vinkel kaldes indfaldsvinklen. Det optimale må være, at tværkraften på den lukkede kurve er den samme som tværkraften på den roterende cirkel - og den betingelse kan opfyldes, viste Joukowski. Transformation ζ(z) kan vælges på flere måder, bestemt af hvad Joukowski-profilen skal bruges til i praksis, altså hvor stor hastigheden og bæreevnen være. I virkeligheden er luften jo ikke gnidningsfri, og det betyder, at hvis Joukowski-profilen er for krum eller indfaldsvinklen er for stor eller hastigheden er for stor, så kan luften slippe overfladen af vingen og danne hvirvler. Transformationen ζ(z) - og dermed Joukowski-profilen - kan konstrueres således: Først vælges indfaldsvinklen β, og strømmen om den roterende cirkel drejes denne vinkel (om x-aksen). Herefter parallelforskydes den roterende cirkel så det bageste stagnationspunkt falder på den positive x-akse og så centrum af cirklen hæves over x-aksen (og får negativ x-værdi) - dette altefter den ønskede form af Joukowski-profilen. Hvis det bageste stagnationspunkt er x = c, er transformationen givet ved ζ(z) = z + c2/z. Denne funktion er differentiabel, og det betyder at den lokalt er en drejning og dermed vinkeltro (konform). Ved z → ζ(z) afbildes cirklen over i en Joukowski-profil hvis spidse bagkant ligger på x-aksen (den har x-værdien 2c). Da dζ(z)/dz = 1 - (c/z)2, er dζ(z)/dz = 0 i det bageste stagnationspunkt z = c på cirklen. Strømmen om Joukowski-profilen vil ligeledes ("uendelig langt væk") danne vinklen β med x-aksen - indfaldsvinklen. Ved bagkanten af Joukowski-profilen mødes strømmen fra over- og undersiden med samme hastighed. Dette er en forudsætning for en optimal opdrift, men det er også en nødvendighed: hvis hastighederne ikke var helt ens, ville strømmen smutte omkring den spidse bagkant, og det ville i praksis føre til en hvirvel som ville spolere opdriften og give luftmodstand. En fugle- og flyvinge skal altså have en ganske bestemt form altefter den ønskede hastighed og bæreevne, og det er ved hjælp af Joukowskis teori at man har fundet frem til formen. Det ovennævnte er teorien i sin tidligste og mest enkle form, men denne Joukowski-profil er ubrugelig i praksis, da over- og undersiden har fælles tangent i den spidse bagkant, så vingen derfor ender med at blive uendelig tynd. Joukowski fandt nogle år senere en mere generel transformation som giver en profil hvor vinklen ved bagkanten ikke er 0, og som derfor kan bruges i praksis - den blev fundet nogle år senere af tyskere, og kaldes også Kármán-Trefftz-profilen (den oprindelige Joukowski-transformation kan skrives (ζ(z) + 2c)/(ζ(z) - 2c) = ((z + c)/(z - c))2, og hvis vinklen ved bagkanten skal være τ, skal tallet 2 erstattes med 2 - τ/π). Den matematiske teori betyder at man kan forudberegne flere ting, ikke bare opdriften og dens midtpunkt, men også trykfordelingen langs vingen. For at få den fysiske opdrift, skal den matematiske opdrift (tværkraft) ganges med luftens massetæthed og længden af vingen. Der er dog en situation hvor teorien kommer til kort, da strømmen er forudsat stationær: hvordan går det når et fly starter? Man skulle mene, at cirkulationen om vingen ville vokse jævnt med hastigheden, men det gør den ikke: til at begynde med er de to hastigheder ved bagkanten ikke ens, derfor dannes en hvirvel som modarbejder cirkulationen og giver luftmodstand, og den er længe om at forsvinde. Det er dette der er grunden til at et fly har svært ved at komme i luften.

Niels-Henrik måtte straks igang med computeren - den mulighed for at se tingene havde onkel Hermann ikke. Niels-Henrik havde lige siden barn været fascineret af de smukke billeder af strømlinier omkring en vinge, men ingen af disse billeder var strengt taget korrekte. I den bog onkel Hermann underviste efter, er der slet ikke noget billede med strømlinier - der er kun nogle ubehjælpsomme tegninger med cirkler og med bogstaver skrevet i hånden og på skrivemaskine. Og de billeder der er i de udenlandske bøger, er tegnet med fri hånd - sikkert efter de fotografier man havde fra vindtunnelforsøg hvor der er blandet røgpartikler i luften. Da der slet ikke er nogen praktiske anvisninger på hvordan man tegner strømlinierne udfra strømfunktionen - der vises kun hvordan selve Joukowski-profilen kan tegnes ved en simpel og traditionel geometrisk konstruktion - voldte programmet ham en del kvaler. For at tegne en strømlinie skal man for enhver x-værdi finde strømliniens y-værdi ved at løse en ligning, og det må ske ved iteration udfra en værdi meget nær løsningen, og hvordan finde man den? Jo, opdagede Niels-Henrik, ved at huske nogle af de foregående y-værdier på strømlinien og tage gennemsnittet. Glæden var stor da de korrekte billeder kom frem, så Niels-Henrik fik mod til at gå i lag med den vanskeligere transformation hvor vinklen ved bagkanten ikke er 0:

Niels-Henrik kunne blive ved med at se på de forskellige billeder han havde fået frem - nu kunne han pludselig ikke mere se noget særligt i de billeder han havde set onkel Hermanns bøger. Som Annie siger: efter at man har set noget af kunsten lavet med computer, synes man at der er noget forældet over meget af det der er lavet med de gamle redskaber.

Jeg spurgte Niels-Henrik om han ikke kunne udregne den præcise opdrift - for Joukowski-profilen på dén tegning dér. Den profil er egnet til et mindre fly - vi antager at vingens korde er 1,5 meter og at hastigheden er 200 kilometer i timen. 200 kilometer i timen svarer til v = 56 meter i sekundet. Niels-Henrik måtte åbne programmet for at se forholdet mellem radierne a og c, og vinklen α. En korde på 1,5 meter giver c = 1,5 / 4 meter = 0,375 meter, og det betyder at a = 0,42 meter. Vinklen α er 0,2 (radianer). Luftens massefylde ρ er 1,293 kg per kubikmeter. Altså er opdriften per meter vinge = 4π v2 a sin(α) ρ = 3850 kg. Men der er jo tab af opdrift ved vingespidserne - og vingerne bliver smallere udefter - og så er der kroppen - så flyet skal nok have et vingefang på 15 meter for at kunne veje 30 tons. Men svarer teorien nu til praksis, spurgte jeg. Ja, opdriften, svarer Niels-Henrik, men ikke luftmodstanden, for i den teoretiske strømingslære er luften ideal, og så er modstanden jo nul.

Så var endnu en barriere mellem Niels-Henrik og onkel Hermann blevet reduceret. Er det den vej man skal gå? Teoretisk hydrodynamik, som onkel Hermann kaldte sit fag (ifølge Annie). Nej, alle problemerne indenfor det fag er sikkert løste - alle flyene er ihvertfald ens. Og faget kan ikke være vildt svært, siden Niels-Henrik på et par uger har kunnet få styr på det sværeste kapitel i onkel Hermanns bog. Medtog onkel Hermann mon overhovedet bogens sidste paragraffer om Joukowski-profiler i sine forelæsninger? Det kunne de studerende da ikke bruge til noget. Og brugte onkel Hermann egentlig det teoretiske han studerede i sit arbejde med turbiner og ventilatorer? Det er der ikke noget der tyder på. Onkel Hermann interesserede sig for luftens strømning om en flyvinge, og han interesserede sig også for modelflyvning, men han havde aldrig været ude at flyve, siger Annie. Ja han havde vist aldrig været udenfor Nordsjælland, siger hun - og slet ikke udenlands. De bøger han købte var for det meste på tysk og engelsk, men de skulle ikke bestilles hjem fra udlandet, for dengang kunne man gå lige ind fra gaden og købe dem i Gjellerups Tekniske Boghandel. Alle videnskabelige bøger, selv de mest specielle, blev automatisk købt hjem. Der var to andre boghandlere med avancerede tekniske bøger: Polyteknisk Boghandel og Arnold Busk ved Rundetårn. Dengang må mange ingeniører åbenbart have været som onkel Hermann.

Men det skulle gerne gå fremad for Aphel-slægten, og Goldbachs formodning ser ud til at være på et langt højere niveau end onkel Hermanns teorier. Alle onkel Hermanns problemer er løste, men Goldbachs formodning er jo uløst. Og selvom forskningen i Goldbachs formodning er ude på et sidespor, så må Niels-Henrik lidt ind i den, han må trænge til bunds i Hardys artikel. Derfor tog Niels-Henrik en dag ind til Matematisk Institut. Han ville takke professor Filtbak for artiklerne, fortælle at han havde læst så meget af det som han kunne, og spørge om hvilke bøger han skulle læse for at kunne forstå resten. Desuden ville han gerne se Matematisk Institut. Han traf ikke Chr. Filtbak, denne var til kongres i Oslo, men han snusede rundt på Matematisk Institut - kikkede på opslagstavler, åbnede døre til tomme auditorier, og fra en kasse med en masse numre af de matematikstuderenes blad FAMØS (Fagblad for Aktuar, Matematik, Økonomi og Statistik) snuppede han nogle eksemplarer. Derefter gik han hen til Universitetsbibliotekets 2. afdeling - det ligger nær ved H.C. Ørsted Instituttet. Annie havde givet ham en fotokopi af sit sygesikringsbevis med påskriften, at hun kautionerer for hans lån af bøger. Der var ingen bøger der hed noget med Goldbachs formodning, men der var to bøger med begreber som han havde mødt i forbindelse med Goldbachs formodning, og hvor de første sider var nogenlunde forståelige.

I et af FAMØS-bladene var der en artikel som fik ham til at spærre øjnene op. Den handlede om matematikkens filosofiske problemer - paradokser, aksiomerne og Gödel. Artiklen var skrevet af en Gert Buschmann. Det meste af den forstod han ikke, men lige efter artiklen var en "Efterlysning": forfatteren fortalte at han arbejder på en bog om emnet, og at enhver kan få en gratis kopi mod at læse en smule korrektur. Bogen skulle kunne læses af en gymnasieelev. Den bog må han have fat i! - efter det møgfald han havde fået af Annie. Der er sikkert svar på alle de ting ved matematikkens fundament som han ikke véd nok om. Han vil ringe til Gert og tilbyde at læse korrektur. Og så kan han jo spørge om hans moster har ret i, at grunden til at Goldbachs formodning ikke kan bevises, er at der mangler nogle aksiomer - og han kan også spørge om Hardy har ret i, at der ikke er nogen vej udenom kompleks funktionsteori.

Gert fortalte at man godt kan forestille sig at Goldbachs formodning ikke kan bevises udfra de aksiomer man benytter mest, så Niels-Henrik kunne hilse sin moster og sige, at hun måske har ret i at der mangler nogle aksiomer. Og ja, i bogen redegører han for de forskellige af mængdelærens aksiomsystemer - opremser aksiomerne og slutningsreglerne, og giver en præcis definition af hvad et bevis er. Personligt tror han dog at Goldbachs formodning kan bevises - en englænder har jo fornylig bevist en anden klassisk formodning, som man i to hundrede år har arbejdet på at bevise, Fermats sidste sætning. "Kender du den?" "Ja selvfølgelig, ligningen Xn + Yn = Zn har ingen heltallige løsninger hvis n er større end 2." Gert fortalte, at beviset for Goldbachs formodning nok også vil vise sig at være uhyre kompliceret - beviset for Fermats sætning er jo på tusind sider - og det vil nok være nødvendigt med meget mere avancerede metoder end dem man har betjent sig af indtil nu. Hans bog er på 300 sider, men Niels-Henrik kunne i første omgang få tilsendt 50 sider.

I dette manuskript var et kapitel som hed "Realisme og anti-realisme". Et af stileemnerne var jo om "realisme kontra idealisme"-problematikken, og nu kunne han se, at "realisme kontra anti-realisme" er den moderne måde at formulere problemet på, så nu var han godt udrustet til den stil. Og han ville, ligesom Gert, lægge hovedvægten på modsætningens konsekvenser indenfor matematikken. Og da han så undersøgte hvad der sker, når man anvender begreberne på hans eget problem, Goldbachs formodning, så syntes han, at det han nåede frem til, var meget mere interessant end de eksempler Gert havde udarbejdet. Og efter at have udtænkt nogle andre eksempler - stjerner og oldemor - end dem Gert omtaler, og efter flere opringninger til Gert for at få bekræftet at han havde forstået alt, så kunne han en uge senere aflevere den stil som indbragte ham et velfortjent 13-tal.

Så ovenpå Gerts nedslående vurdering af hans chance for at bevise Goldbachs formodning, var arbejdet med stilen velkomment. Goldbachs formodning gled i baggrunden, og den opløftende karakter fik ham til atter at få smag for de sejre man kan høste i skolelivet.




Vi kan udmærket forstå, at Torben ikke bryder sig om den form for matematik som hans søn dyrker - og som Annie også ville have dyrket, hvis hun var gået den vej. Men da Torben jo ikke er helt uden dannelse, kan vi formode, at der ligger noget mere bag hans uvilje imod denne form for matematik, end det at den er unyttig: det er måden den er unyttig på. I det gamle Grækenland, hvor matematikkens vugge stod, skelnede man skarpt mellem aritmetik, som var teorien om tallene, og logistik, som var den praktiske regnekunst. Aritmetikken hørte filosoffernes åndsverden til, mens logistikken var forbundet med handelsfolkenes og hærførernes regnebrædder. Denne skelnen mellem den fine rene matematik og den mindre fine anvendte matematik har eksisteret helt frem til vor tid, men, som Torben med tilfredshed konstaterer: i disse år finder en ombytning af rollerne sted, Annies og Torbens verdener er nu ved at få deres retmæssige placering i forhold til hinanden.

Men for Niels-Henrik er alt endnu ved det gamle. Hans interesse hører til Annie, selvom Torben har lært langt mere matematik end hende, ja alt det Torben i sin tid har måttet terpe, overgår vel endnu den stofmægde som Niels-Henrik har tilegnet sig. Så Torben skulle med lethed kunne udmanøvrere Annie, havde han bare kunnet holde gejsten oppe i længere tid. Prøv at bladre fire kapitler frem i denne bog og se de kurver som guderne snart vil række ned til Niels-Henrik. De hører tilsyneladende til Torbens verden, og bortset fra at det vandrette stykke foroven måske ville bekymre ham lidt, så har de unægteligt det rigtige forløb. Ja uanset hvordan de forløber, så frembringer de glædelige associationer hos enhver læser, de hører vor talbegejstrede tidsalder til, vi møder dem hver eneste dag. Og alligevel er der noget galt med dem: de er ikke fremkommet på den rigtige måde. De kommer hverken fra en udviklingsprognose eller fra Danmarks Statistik, de kommer fra grækernes idéverden, og guderne kunne have skænket dem til grækerne, hvis disse bare havde haft det redskab som skal til for at modtage dem: computeren.

Torbens vurdering af computeren - at den er kronen på mennesket opfindervirksomhed, et universalredskab som vil komme til at gribe mere ind i vores liv end vi endnu har nogen forestilling om - den vurdering kan Niels-Henrik helt tilslutte sig. Computeren har i sandhed grebet ind i hans liv, og han kan påstå, at den hører mere retmæssigt til hans verden end til Torbens: hans kurver ville aldrig have set dagens lys uden computeren, og det er mere end man kan sige om Torbens kurver. Ja selv Annie er måske mere afhængig af computeren end Torben, hun er i forbindelse med alverdens biblioteker og hun skriver artikler med noder, og mange af de besværlige nodeeksempler får hun direkte fra komponisternes computere.

For Torben var det i lang tid en selvfølge, at det er computeren man skal ty til, hvis man skal have Niels-Henrik lirket ud af Annies klør. Intet barn har i en så tidlig alder været forsynet med så fornemt isenkram, men ingen af forsøgene på at få ham til at lege med dyret lykkedes - den blev bare brugt som skrivemaskine. Niels-Henrik blev flere gange sendt afsted til computer-forretningen med et katalog fyldt med krydser og med flere tusind kroner til fri disposition, men hver gang kom han bare hjem med Torbens spil. Men da Torben gjorde sit allersidste forsøg, da Niels-Henrik var fjorten år, havde Niels-Henrik endelig købt noget til sig selv: et program til PASCAL-programmering - fire disketter og to manualer på hver 600 sider. Torben var målløs. Han var naturligvis ikke helt fremmed overfor denne kunstart, han havde lært lidt på DTH, men for Torben er programmer noget man køber.

Niels-Henrik købte programmerings-programmet for at købe noget. På biblioteket havde han set et par bøger om programmering. De programmer man kunne lave så dødsyge ud. Der var ikke engang et som kunne lave fraktaler - han kunne egentlig godt tænke sig at lave flotte farvestrålende fraktaler. Da han regnede med at han nok kunne finde opskriften på fraktaler et sted, købte han PASCAL-programmet og lånte de to biblioteksbøger på hjemvejen.

Torben satte sig til rette ved siden af sin søn - dette her er bedre end ingenting. Efter Torbens mening er computerbøger elendige: de er bevidst gjort uforståelige. Bare for at installere programmet skal man sidde i flere timer. Da de havde siddet i over en time måtte Torben gå. Og da han kom tilbage, havde Niels-Henrik fået programmet til at virke. Men Niels-Henrik måtte give sin far ret: computerbøger er rodede og kedelige. De programmer der var i biblioteksbøgerne, lod sig indtaste og køre, men de kunne ikke noget. Og der var problemer og der blev begået fejl, så i de følgende måneder var Niels-Henrik ikke altid lige morsom at omgås. Hver gang der skete et fremskridt var han dog begejstret - mor og far skulle straks komme: "Se, hvis vi taster et tal ind, for eksempel 3.1032, og trykker på Enter, så kommer der en række tal frem: 3, 9, 1, 2, 4, 2, 3, 1 - det er kædebrøken for tallet - I ka' selv se, det passer med det i denne her bog." Og da han endelig var nået så langt, at det han lavede var værd at se, var han blevet træt af at kalde og forældrene trætte af at komme. Når han idag viser folk sit fotoalbum med sine imponerende billeder af Mandelbrot-mængden, så bladrer de og leverer albummet tilbage som havde billederne været fra en ferie i Spanien:




Det er ikke svært at forestille sig, hvordan Niels-Henriks liv havde set ud hvis ikke Annie havde været der. Men for Annie er det umuligt at forestille sig sit liv uden Niels-Henrik. I Aphel-slægten har man ellers ikke haft nogen større trang til børn, og de er gerne kommet sent. Men da Britta havde mødt Torben, fortalte hun Annie, at de havde besluttet at få to børn og at de ikke ville vente - og at hun iøvrigt foretrak piger. Da Niels-Henrik kom, trængte Britta hver dag til timer hvor hun var fri for ham, og han var altid velkommen i Annie og forældrenes hjem - for underholdningens skyld og for at de kunne påvirke ham. Og da Annie aldrig havde ham længere tid af gangen end hun havde lyst til, og da Niels-Henrik altid var glad for hendes aktiviteter med ham - sang og marimba og børnerim og efterligning af tegninger - så opstod der et godt forhold imellem dem. Hun blev afhængig af dette samvær og fik ambitioner. Og hun blev, som årene gik, mere og mere plaget af tankerne om alt det der kunne true hendes planer. Hvorfor har Torben ikke fundet sig et mere attraktivt sted at bo? Og tænk, hvis hun havde sagt sådanne ting til Torben, som vi senere skal høre hende sige til en gymnasielærer.

Man kan ikke sige at den krig der er imellem Annie og Torben kommer af fordomme. Torbens verden er jo allestedsnærværende og Annies verden kender Torben igennem Britta. Men når der er modsætninger imellem mennesker som må tåle hinandens selskab, så har vi altid en tilbøjelighed til at tro at den anden altid tænker negativt om os. Denne tilbøjelighed er både Annie og Torben bevidst om, og de søger begge at modvirke den, og skulle en af parterne have glemt mekanismen, så sørger Britta for at erindre om den. Men hvori består krigen egentlig? Der er nogle følelser på spil og der er en vrede hos dem begge, hvordan skal det forklares? Taler man med Annie om sagen, er det tydeligt at hun ser ned på Torben og at hun er vred over at det er gået frem for hans kultur og tilbage for hendes egen. Men hvis man talte med Torben, ville det være sværere at nå til klarhed, fordi han inderst inde skammer sig - det påstår Annie ihvertfald. Skammer sig over hvad? Over sit liv og sin fremgang. Annie og Torben er midaldrende, og de kommer begge fra overklassen - fra helt modsatte fløje ganske vist, men fløjene måler da ikke med helt modsatte målestokke. Der hersker delvis enighed om at Annie har en finere form for uddannelse og arbejde end Torben. Torbens far var rig og Torben tjener styrtende, men penge er ikke fint, og i deres miljø har man ikke haft noget dybere forhold til de seriøse kulturværdier. Enhver åndspersonlighed tilhørende deres egen og den ældre generation vil holde med Annie (påstår hun). Annie er respekteret i kulturlivet, Torben er foragtet. Men Torben er sandelig ikke ukultiveret, han har aldrig nogensinde optrådt på en måde som har forarget folk - det er mere end man kan sige om Annie. Annie og Torben omgås hinanden på en kultiveret måde, men de formår ikke at omgås på en naturlig måde. De ses kun ved de obligatoriske familiesammenkomster og de taler aldrig på tomandshånd. De forsøgte begge i sin tid at se bort fra modsætningerne, men de var lige dårlige skuespillere. Skænderi ligger mere naturligt for dem, men overfor hinanden har de ikke en eneste gang givet efter for deres lyst. Annie mindes ikke at Torben har sagt noget til hende som man ikke kan tillade sig at sige, hun kan derimod godt forestille sig at hun selv - lige i begyndelsen - kan være gået lidt over stregen, men hun kan ikke huske noget konkret, for det var en tid hvor oprøret endnu ikke var helt udslukt, man kunne stadig gå ret vidt i sine udtalelser.

Annie og Torben er begge kultiverede mennesker, men på en modsat måde: Annie har mere kultur end Torben og Torben er mere naturlig end Annie. Af denne grund ytrer deres synd sig på forskellig måde - for syndere er vi alle. Annie er i langt højere grad end de fleste et kulturprodukt, og kultur er og bliver noget kunstigt, så derfor har enhver kultur fordærvelige sider, og det er ikke svært at finde tegn på fordærv hos Annie. Det kan illustreres ved den kronik, som hun året efter de nuværende begivenheder sender til Politiken og som vi senerehen skal læse (i 3. del). Hvad Torben mener om dens budskab, er ikke helt til at vide - der er da noget af det som han må være enig i - men han ville uden tvivl kalde kronikken uanstændig, og kronikredaktøren mente tilsyneladende det samme. Torben er mere folkelig end Annie, og det betyder, at hans synd består i at der er "beklagelige" ting som han "ligger under for". Han erkender (véd Annie fra Britta) at de ting han interesserer sig for ikke er særlig lødige, og han soner sin synd ved at gå ind for offentlig støtte til "gode og nyttige" ting som ikke kan klare sig på markedets betingelser.

Det med fordærv vil Annie dog formulere på en anden måde: hun siger om sig selv, at hun dyrker sin kultur som en religion, og at hun har arbejdet sig "opad", og derfor hører blandt de "hellige", og at hun er helt på det rene med, at der blandt de hellige indenfor enhver religion altid er tendenser til hykleri. Det er en noget som enhver hellig udmærket er klar over, og "de ægte i troen" er dem som hele tiden er opmærksomme på tendensen og forsøger at modvirke den. Hvilke ord Torben bruger om Annie overfor Britta, er Annie ikke bekendt med, men ordet "hykler" skal nok have forekommet, for han aner vel at hendes kultur er en slags religion for hende. Hvad ville Annie sige til den anklage? Hun erkender (som vi allerede har hørt og som vi skal høre meget mere om) at der er noget der er gået galt i udviklingen indenfor den kulturtradition som hun bekender sig til, og hun indrømmer at hun i sin ungdom delvis har været forført. Men hun mener at hun absolut bør tilgives, thi ikke noget menneske er så bevidst om det der er gået galt som netop hende, og hun er i fuld gang med at gøre noget ved sagen. Den store bog om den moderne musik som hun arbejder på, har igennem årene fået et andet sigte end da hun begyndte. Og så har hun tænkt meget over problemet - opstillet en hel filosofi - og da hendes arbejde med musikbogen ikke tillader at hun også kan nedfælde sin filosofi, så har hun følt sig forpligtet til at gå med til, at jeg skriver nærværende bog. Jeg vil forsøge så godt jeg kan, at forklare Annies religion, så læseren kan tage stilling til den og afgøre hvor stor en hykler hun er. Det foregår især ved at vi følger med i hvordan Annie overfører sin religion til Niels-Henrik.

Denne overførsel begyndte længe før at Annie var nået til klarhed over disse ting. Til at begynde med vidste hun bare, at hun ønskede at Niels-Henrik var hendes egen søn og at han ville tilegne sig hendes kultur og vælge at leve som hun mener at man skal leve. Hendes kamp for at få Niels-Henrik væk fra Torbens verden og over i sin egen, har ikke været en kamp imod Torbens direkte påvirkning af Niels-Henrik, for den har der ikke været meget af. Og dagplejemødre og børneinstitutioner har hun ikke skullet skændes med. Men det har været en kamp imod miljøet i hjemmet og imod skolen. Annie ville aldrig drømme om at sende sit barn i en almindelig skole - og næppe heller i nogen privat skole. Skolelærer bliver man når man er blottet for interesser og ambitioner - et enfoldigt arbejde, men man får tryghed og man kan pleje sin dovenskab. Det er skolelærerne som har haft til opgave at vække de unges sans for de lødige skaberværker, men deres undervisning har til enhver tid haft den modsatte virkning. Det er en ulykke, men tænk hvis den ulykke ikke havde været der! Tænk, hvis det almindelige havde været, at mennesker blev vakt for de lødige ting. Så ville altfor mange drømme om de eksklusive former for arbejde, og så ville mange flere end det er tilfældet nu, være evigt ulykkelige, fordi de måtte leve med et lønarbejde som de i bedste fald fandt utilfredsstillende og i værste fald foragtede. Annie er taknemlig for skolelærernes uduelighed, men hun forlanger at der hersker respekt for hendes duelighed. Det kunne man opnå på følgende måde: man skulle indrette skolen sådan, at man fik alle de seriøst arbejdende indenfor kulturlivet til at tage timer i folkeskolen - bare en enkelt per uge - så enhver elev et par timer hver uge kunne møde en helt anden mennesketype og en helt anden verden. Men lærerne ville selvfølgelig aldrig gå med til det.

Skoleundervisningens form - altså den påtvungne tidsplan og det påtvungne samvær med mange andre og den ustandselige overvågning og irettesættelse (som ville drive ethvert voksent menneske til vanvid) - denne form har Annie ikke kunnet stille noget op imod når det gjaldt Niels-Henrik. Undervisningsformen i folkeskolen er vel den mest hensigtsmæssige for de fleste børn, det må man gå ud fra, men for nogle børn er den en katastrofe. Nemlig dem som kommer fra et frit og åndeligt stimulerende miljø, og som er bestemt til det frie liv. Og desuden er undervisningsformen en katastrofe for de såkaldt indadvendte - den mennesketype som generes af støj og anstrenges af small talk og som kun rigtigt kan folde sig ud når de er alene. Dette problem er der for lidt opmærksomhed omkring, fordi det at være skolelærer nutildags nærmest forudsætter at man er udadvendt. Annie og Niels-Henrik er indadvendte, de arbejder bedst alene, og de vil helst kun være sammen med få men udvalgte mennesker. Når skolesystemets skader på dem trods alt har været begrænsede, skyldes det at de bor i en egn hvor de fleste børn kommer fra nogenlunde ordentlige hjem og hvor klassekvotienten ikke er høj. Hvordan kunne Britta, som vist er mere indadvendt end Annie, finde på at blive skolelærer? Årsagen må være, at hun vidste at hun ville kunne skabe ro og at hun ville blive beundret - og noget skulle hun jo uddannes som, og hun ville gerne ud og virke blandt andre, selvom hun ikke behøvede. Britta er dygtig til sine fag (dansk, tysk og engelsk), og så er der hendes tiltrækkende ydre og væremåde, og det at hun er gift med en kendt person. Meget ondt kan Annie finde på at tænke om sin søster, men som skolelærer står Britta for Annie som et ideal - eller rettere: det mindst mulige onde. Hendes undervisning er påfaldende ude af trit med tidsånden, og hendes popularitet gør at hun kan ting som man ville påtale hos andre. Og så er der også det, at hun som indadvendt har blik for de indadvendte børns problemer. I flere tilfælde har hun fået igennem at en indadvendt elev er kommet væk fra folkeskolen, og hun har hjulpet med at finde en undervisningsform som eleven kunne trives med, og så den særlige skaberkraft som de indadvendte ofte har, kunne komme til sin ret.

Hvad skoleundervisningens indhold angik, når det gjaldt Niels-Henrik, så kunne Annie ikke gøre andet end at fortynde det: få det til at udgøre en mindre procentdel af hans uddannelse. Det var ikke så meget det han lærte der var noget galt med, det var måden han lærte det på (det fremgik af skolebøgernes uindbydende udseende), og så var det det han ikke lærte. Når skolen var færdig, kom han de fleste dage ind hos hende. Så havde hun en humpel parat, og cacao og hjemmebagt, og så fortalte han hvad der var sket. Hun fulgte med i alt og hun havde undervisningsmateriale parat. Hun har brugt hundreder af timer hos boghandlere og på biblioteker, og tusinder af kroner til bøger og fotokopier:

   — Se her Niels-Henrik! - se hvad jeg har købt! - se tegningerne!

   — Ja, det er "Den lille pige med svovlstikkerne" - jamen!? - jamen det står jo på fransk!

   — Ja, den hedder "La petite fille aux allumettes" - une allumette er en svovlstik - idag betyder det en tændstik - men se, nu læser jeg op og peger på ordene, og så oversætter du! - comme il faisait froid!

   — Hvor han øh var kold.

   — Nej, il behøver ikke at betyde han, det bruges også upersonligt om for eksempel vejret - il pleut, det regner.

   — Hvor det øh gjorde koldt.

   — Ja, men vi siger: hvor det var koldt - eller: hvor var det koldt! - og så står der: la neige tombait.

   — Sneen faldt.

   — Et la nuit n'était pas loin.

   — Og natten var ikke øh lang.

   — Nej haha, der står ikke longue, der står loin - det betyder langtvæk, fjern - natten var ikke fjern - det var ved at blive mørkt.

Niels-Henrik gjorde aldrig indvendinger mod det dobbelte skolearbejde. I begyndelsen troede han vel at det er sådan i alle hjem - hans mor fulgte også med - og senere nød han denne intimitet, og at han var dygtigere end de andre. Dygtigheden har givet ham selvtillid. Måske har han fået for meget af den - man ser en begyndende svækkelse af autoritetstroen. Så det bliver nok ikke med Niels-Henrik at Aphel-slægtens forbedring begynder.

Den største trussel kom dog fra hans opvækstmiljø: fritidskulturen - en kultur som hverken inspirerer til eller muliggør arbejde. For Annie er "arbejde" et helligt ord, som absolut ikke må forveksles med "produktion". Produktion er en ydre nødvendighed - tjenesteydelser og tilvirkning af varer. Arbejde derimod, er noget man drives til af en indre nødvendighed - arbejde er noget man føler for. Produktion udfører man for betaling, arbejde betaler man ofte for at udføre.

Rigtigt arbejde ses kun hos en minoritet - det er en "lykkelig omstændighed". I gamle dage havde de fleste ikke mulighed, i de seneste årtier har alle fået muligheden, men lysten når sjældent over hobbystadiets niveau. Det var en bestanddel af 70'er-idealerne, at det trælse og åndsforladte lønarbejde skulle reduceres, så vi alle kunne få tid og overskud til "en kreativ livsdimension": keramik, knækprosa, køkkenhave. Det var ikke lige Annie og Niels-Henriks ting, men det var en velkommen kursændring. Men der kom ikke noget ud af denne bevægelse - nærmest kun ulykke. Thi de der (som Annie) formåede at realisere "et alternativt liv", ville have realiseret det uden denne modebevægelse, og de som var påvirkede af moden, men uden de fornødne forudsætninger for at realisere noget alternativt (fordi de hverken fra forældrene eller skolen havde lært rigtig arbejdsadfærd), de gik mere eller mindre til grunde. Til stor fryd for dem der levede "det borgerlige liv", som oprørene havde gjort nar af. Så efter oprørernes nederlag med deres bofællesskaber og naturromantik og marxisme, og som fik til følge at de gik stille med dørerne, så kom der en udvikling som enhver i tiden omkring 1970 ville have anset for umulig: ikke nok med at de mennesker som oprørerne havde overdænget mest med skældsord (kapitalistsvin, mappedyr, habitstativ, ...), nu bredte sig endnu mere, men oprørernes egne børn sluttede sig til dem, og snart efter kapitulerede oprørerne en efter en for en ny tidsånd, hvor alt var det modsatte af det de i sin tid havde stået for. Selv den mest inkarnerede naturromantiker lod sig føre bort fra sin knortede sti og ud på en motorvej, hvor hele menneskeheden nu med stor fart bliver ført mod sin sande bestemmelse: et arbejdsliv som består i en produktion der bliver mere og mere specialiseret, og en fritid der er fyldt ud med underholdning og med helt nye ting som (ihvertfald til at begynde med) ikke kan have nogen større værdi.

Imod denne påvirkning har Niels-Henrik været ubeskyttet. Han har trasket skosålerne tynde i alverdens storbyer, han har siddet med klaphat i idrætsparken, og i det torbenske hjem kører popradioen og tv-kanalerne på døgndrift. Der var kun én ting at gøre: at lære ham at elske fred og ro og dansk natur, og at tilbyde ham denne menneskeret. I Annies hjem og store vildtvoksne have er der salig stilhed. Hun har naturligvis lært ham at lytte til klassisk musik, især den moderne, men hos Annie kommer ingen lyde uopfordrede - man bliver ikke revet ud af sin søvn eller læsning. Annie har skabt et miljø som tilskynder til Aphel-slægtens interesser. At Niels-Henrik ikke har valgt musikken er en mindre skuffelse - i Aphel-slægten er man kommet vidt omkring. Hun sørger blot for at de altid har et stykke for fløjte og klaver under indstudering. Og Niels-Henrik elsker disse stunder. Der kommer en glæde op i ham, når han hører klangen af dette fornemme instrument og ser hendes fingre danse frem og tilbage. Ufatteligt at hun kan holde rede på alle de noder - han har mere end nok at gøre med sin ene række. Han kan virkelig ikke høre forskel på hende og virtuoserne i koncertsalene.

Annie har været fritaget fra en masse trivielle opgaver, men der har været flere scener med jammer hos Annie end derhjemme. Engang så hun ham med en splatpistol - ja han sigtede på hende - i et snuptag fløj den ud af hænderne på ham, løbet blev knækket af og de to dele forsvandt under hendes store plader. Ved denne og lignende episoder løb Niels-Henrik grædende hjem og lovede sig selv aldrig mere at komme tilbage. Og her har farmand altid været den helt rigtige til at trøste - så disse episoder kan Annie takke skæbnen for. En anden gang medbragte han et bånd med rockmusik. Annie lyttede forstående, og da han bagefter afventede en udtalelse fra en ekspert, meddelte hun ham at dette ikke skal gentage sig: "Det er ikke den 'musik' vi hører her i huset."

Annie er hysterisk, ja, men er der noget at sige til det? - hun er repræsentant for en døende kultur. Hendes musik er ikke mere vor officielle musik. Det var den indtil omkring 1970. Endnu i 1979 kunne man dog ved en officiel festlighed (Universitetets 500-års jubilæum) finde på at bestille et værk hos en klassisk komponist (Ib Nørholm). Idag er det en selvfølge, at musik til en sådan begivenhed leveres af en popgruppe.

At Annie og Niels-Henriks kultur er døende, betyder ikke at folk er ved helt at ophøre med at dyrke disse ting. Selvfølgelig ikke - i vor tid findes der vist ikke noget som ingen dyrker. Indenfor Annies område, partiturmusikken, er aktiviteten ret beset større end nogensinde. Der er ganske mange komponister (Dansk Komponistforening tæller 200 medlemmer), og der er rimelig mange koncerter og radiotransmissioner og udgivelser. Og spor af rock høres kun i meget få værker - de fleste unge komponister hader den kultur ligeså meget som Annie. Men stemningen i det seriøse musikmiljø er trykket. En ung komponist siger: "Jeg synes der er en tydelig mangel på ånd i det samfund vi lever i. Fjernsynet handler kun om fodbold og prinsessebryllupper, og aviserne handler kun om det der kommer i fjernsynet. Det er selvfølgelig dybt deprimerende når man som jeg arbejder med kunst, oven i købet med det der i gamle dage hed finkultur. Jeg føler at vores materialistiske kultur er dødsdømt, at enden er nær, og at de institutioner der forvalter vores kultur, ryger med i faldet. Hvis jeg skal være rigtig pessimistisk så tror jeg at de fleste orkestre, konservatorier, operaer etc. forsvinder indenfor de næste 50-60 år." Men de fleste musikfolk, især de ældre, har skyklapper på. Men selv blandt disse er stemningen ikke som den var dengang i 60'erne hvor man, trods en modstand fra den brede befolknings side, troede på at den klassiske musik ville få den position tilbage som den havde i det forrige århundrede.

Annie og Niels-Henriks ting er blevet ting ligesom alle andre ting, de ligger rundt omkring i supermarkedernes utallige montrer, hvor de bliver taget af det store altspisende publikum hvis de er udformet som underholdning, og af sære eksistenser som Annie og hendes søn hvis de er den ægte vare. Og disse eksistenser skal ikke tro at de er noget. De kulturforskelle som engang var bestemt af hvor på jordkloden man boede og hvilket socialt lag man tilhørte, er væk: hottentotbarnet og Torbens datter ser de samme reklamer og tv-serier. Denne skrigen efter enhedskultur kan få et menneske med Annies baggrund og ringe tilpasningsevne til at gyse. Hun beder til at forskellene i verden vil vedblive med at være ligeså store som de har været. Hun går og fortæller sig selv, at sålænge mennesket ikke er tilskrevet nogen bestemt natur, så må de mange måder man kan være menneske på, vel afstedkomme en kulturopdelt menneskehed, og enhver vil altid kunne finde sin kultur - den kan være lille, men den vil være der. Og der vil fortsat være kulturer hvor der er uforgængelige ting og hvor også mennesket kan gøre sig fri af forgængeligheden.

Men hvorfor dog? Ethvert normalt menneske nutildags lever da udmærket med den erkendelse at glemslen og latteren venter. Hvis Annies ting og åndsbeslægtede mennesker eksisterer hendes tid ud, bør hun så ikke være tilfreds? Hvad der sker derefter, kan hun ikke være ligeglad med det?

Jo, Annie er blevet mere ligeglad i de senere år, men man ikke være ligeglad, og engang var hun det ikke. Derfor begyndte hun at lede efter den sande årsag til sin lede ved udviklingen. I hvor høj grad dette er lykkedes, er det læseren af denne bog skal tage stilling til. Hendes forklaring er da ellers ret nærliggende, for havde hun været kristen, så havde hun klaget over sædernes forfald. Nu er det ikke kristendommen hun bekender sig til, men det er en kulturtradition som har religiøse karaktertræk, og denne kulturtradition er nu, i lighed med kristendommen, kommet ind i den forfaldsfase som måtte komme før eller siden. Forfald, ikke i den forstand at man er ifærd med helt at forlade denne religions ting, men forfald i den forstand, at alle tingene er ophørt med at være hellige, og at nogle af tingene helt vil blive forladt - de ting som engang var de mest hellige. Annie begyndte at erkende sin kulturtraditions religiøse karakter, og derfor kan man sige, at hun begyndte at klamre sig til det redskab som mennesket tidligere benyttede til at sikre at dets liv og gerning fik en højere mening. Religionen er til for at skabe orden i verden - tildele tingene plads og give mennesket betydning. Men hvor Annies forgængere i slægten ikke behøvede at skænke ordenen så store tanker, fordi den var en håndgribelig realitet, så lever Annie i en tid hvor det ikke mere er god tone at tale om orden. Hvis man vil have orden må man selv konstruere den, og hvis man vil tale om den må det ske privat og med forsigtighed.

Annie har gode grunde til at mene, at Niels-Henrik allerede nu vil kunne forstå hendes konstruktion, ja at han vil kunne have nytte af den, men hun vil dog vente nogle måneder.




Annies fablen om tidens mangel på orden og retning, må bero på hendes mangel på kontakt med tiden. Thi Torben, som indånder verden i dybe drag, har altid haft en klar føling med i hvilken retning det går. I midten af 70'erne, hvor han skulle vælge livsbane, foregik der godt nok sære ting i samfundet. Der skulle sættes spørgsmål ved alt og mennesket skulle stækkes i en grad som ikke lod kristendommens tiltag noget efter. Og de mennesker som forfægtede dette vås, maste sig ind alle de steder hvor de kunne påvirke børn. Det hele var heldigvis så latterligt at det måtte få en ende, og snart gik det rask i den rigtige retning. Helt præcis i hvilken retning han selv ville løbe når han var færdig ved DTH, vidste han ikke. Kun én ting: han ville ikke sætte sine ben i familiens hæderskronede tekstilimperium. Hvorfor dog ikke? - leverandør til Det Kongelige Danske Hof og internationale priser for høj kvalitet. Torben kunne virkelig ikke se, hvad et menneske som ham skulle foretage sig i den virksomhed.

Men umiddelbart efter at han var blevet gift med Britta og umiddelbart inden at han skulle have sin eksamen, fik han hjælp af skæbnen: faderen døde af en blodprop - kun 54 år gammel. Nu stod Torben helt uventet med et kæmpe produktionsapparat som han kunne forvalte som det passede ham, da faderen var eneejer og Torben var enearving. Vist havde Torben en smule pietetsfølelse overfor faderen, men hvor lang tid skal man lade udviklingen hæmme af en afdøds vilje? Det halve år der var tilbage af hans studietid måtte være nok. I disse måneder udtænkte han detaljerne i sin geniale plan.

Faderen havde lært, at fabrikanten skal kultivere køberen, idet fabrikanten, som jo er fagmanden på sit felt, skal bidrage til at højne køberens smag og kvalitetsbevidsthed, ved at fremstille en gedigen vare til en fornuftig penge. Sønnen havde lært, at fabrikanten skal sætte sig ind i køberens livsstil, og ud fra denne indsigt aflæse og indfri køberens ønsker. Det er på den måde man får penge ud af folk. Og penge har folk masser af, for de elsker at tjene penge, mere end de elsker at bruge penge, men heldigvis elsker de unge at bruge penge, de er dog forhindrede i at tjene penge, men de er gode til at tigge penge. Torben kunne uden større omstilling tilbyde de unge en vare som til enhver tid vil optage dem: kluns.

Hans idé var at udbrede overklassekvindens forbrugsmønster til hele ungdommen: man skal have en stor garderobe af fantasifuldt tøj, og kun blive set nogle få gange i én og samme genstand. At tøj kasseres uden at være brugt ret meget, gør ikke så meget, når bare det ikke er altfor dyrt - og det brugte tøj kan jo sendes til de fattige lande, så man kan se det på billederne dernedefra. Men hvem skal designe dette tøj, hvem kender de unges smag? Det gør kun de unge selv!

Den sundeste af faderens fabrikker blev solgt fra, de øvrige skulle jo alligevel saneres, og den indvundne likviditet gik til sendetid på tv-stationerne. Torben Riisbye trådte frem på skærmen og opfordrede alle unge til at finde papir og farvetusser frem og designe smart tøj. Et dommerpanel vil vælge ud og vinderne vil få pæne procenter og masser af publicity og mulighed for en plads i dommerpanelet. Det væltede ind med tegninger af spøjse kasketter og veste og shorts. Langt det meste var aldeles håbløst, men der var en promille som fik selv de garvede modefolk til at spærre øjnene op. Og nogle måneder senere væltede det ud af Torbens fabrikker med dette tøj som hele verden var nysgerrig efter at se. Hovedparten af indtjeningen blev brugt til mere sendetid, og et halvt år senere havde en elev i enhver skole- og gymnasieklasse fået knust en drøm af det strenge dommerpanel, og halvdelen af eleverne bar mindst én RiisStyle genstand. Den første rekordindehaver var et 15-årigt pigebarn, hvis første lønudbetaling for sin megasmarte undertøjskollektion lød på næsten 100.000 kr. Da RiisStyle-feberen havde raset i et år, ændrede Torben firmaets profil. Nogle af designerne blev tilbudt uddannelse og fast ansættelse, og de mest outrerede indslag skulle neddysses, og der skulle satses mere på "The RiisStyle Classics". RiisStyle er blevet en roligt ekspanderende koncern og en stabil indtægtskilde for tv-stationerne. Torben står for mange som idealet af en erhvervsmand: en tillidsvækkende og flot fyr med en køn kone og en kvik datter, og hans bidrag til udvikling af de unges kreative evner har givet dansk industri et vældigt løft, og flere studieværter har trådt deres børnesko i RiisStyle Studio.

Men danskerne er et sært folk. Vi er åh så frisindede, men denne dyd er hæmmet af en flok stivnakker som farer til tasterne hver gang de øjner en smule sjov. Derfor måtte rektor Bjørns idé med salg af duftende pigetrusser i første omgang lanceres i udlandet. Torben loddede stemningen overalt hvor han kom frem, og muligheden viste sig det sted hvor vi danskere mindst ville have ventet det, nemlig i Japan. Hans japanske importør var begejstret: "Brilliant, excellent - we subjoin a photo of the girl." Man kunne for nylig læse om det japanske postordrefirma i alverdens aviser.

Efter Annies mening er Torbens industri er en pest som er ved at lægge vort åndsliv øde. Disse fabrikanter masser sig ind alle steder og forfører de svage: de dårligt uddannede og børn og unge - de mennesker som er mangelfuldt kultiverede og derfor domineret af primitive instinkter - det er disse instinkter som er fabrikantens levebrød. Selv Britta, som har imødekommet tidens krav om rummelighed, har været betænkelig. Niels-Henrik, som er Annies søn, har været udenfor fare, men Trine, som er fars datter og stolt af være dette, har måttet beskyttes. Og det har Britta sørget for, Trine har hverken været designer eller model eller tv-vært.

Selvom Annie aldrig har omtalt faderen negativt overfor Niels-Henrik da han var mindre, så har hendes tavshed været talende. Denne gabende kløft imellem menneskers opfattelse af hans far som en dæmon og som en folkehelt, har det været svært for ham at skræve over. Det må være det der er årsag til at han har udviklet en overdreven trang til orden og uvilje imod forandring.




På det tidspunkt hvor Torben holdt dundertale til Britta, var Niels-Henrik altså i fuld gang med at dygtiggøre sig. Ganske vist havde han natten før, lige inden han skulle sove, været henne ved computeren for at lave et lille eksperiment, og at dette var meget lille, havde Torben set hvis han havde haft bare lidt forstand på programmering, for efter nogle få linier var et punktum, og det betyder at programmet kun kører hertil - resten er programmateriale som han gemmer. Da Goldbachs formodning er et meget simpelt problem, kan man ikke undgå hele tiden at få en idé som må undersøges, men da Niels-Henrik ikke kunne finde nogen mening i tallene, blev han ikke hængende ved det.

Torben opdagede i den følgende tid forandringen. Han blev informeret af Bjørn og han drev spionage på Niels-Henriks værelse - et arbejde som var vanskeligt på grund af drengens idiotiske ordenssans. Men alt var som det skulle være: bøgerne fra Universitetsbiblioteket stod urørte og gymnasiebøgerne var i livlig bevægelse, og alle de matematiske udregninger var i overensstemmelse med de afkrydsede opgaver i hæftet.

Niels-Henrik var jo i bund og grund som en ung mand skal være. Han pjattede med de andre, og han gik til fester og drak øller, og en dag var Mads, som man ikke havde set i længere tid, på besøg:

   — Engang ka' man måske afgøre sådan noget udfra generne - og så, hvis hun ikke er brændt men bare begravet, så ku' man grave liget op - eller hvis man havde noget fra hende - en tot hår eller en tand - så ku' man undersøge det.

   — Ja, men det er jo stadig ikke det vi snakker om - vi snakker om hvorfor sætningen absolut skal være enten sand eller falsk - det er da muligt at man kan bevise noget udfra generne, så har man reduceret udsagnet til et andet udsagn, men det viser da ikke noget om oldemor - jeg siger jo lige at hun var luddoven, hun sad bare med en kaffekop og en cerut - og sådan havde hun altid været - og så er der jo igen lavet om på oldemor - lissom hvis vi skruede tiden tilbage - hvis vi skruede tiden tilbage, og det viste sig at hun overvandt sin dovenskab, fordi hun gjorde et forsøg på at lære et fremmedsprog og var overrasket over hvor nemt hun havde ved det, så viste det da ikke at hun var et sprogligt geni - det ville kun være en manifestation af at hun kunne være et sprogligt geni - det ville ikke vise egenskaben "sprogligt geni" - på samme måde som en skakspiller ikke har bevist at han er en fænomenal skakspiller, bare fordi han har vundet over en stor mester i et enkelt parti.

   — Næh.

   — Og igen: oldemor var den hun var - et menneske er ikke bare gener, det er da også dets historie - hvis vi skruede tiden tilbage og lod oldemor lære et sprog, så var hendes historie jo blevet en anden, og så var hun ikke mere den der ligger under gravstenen - og endnu en gang: må en sætning ikke ha' lov til hverken at være sand eller falsk? - du sagde, at sætningen om den fjerneste stjerne jo nok ikke har nogen mening - for vi blev enige om, at navnet "den fjerneste stjerne" nok ikke har nogen reference.

   — Næh, men det er jo også et helt yderliggående tilfælde.

   — Ja, og sætningen er heller ikke fremsat med nogen særlig kraft - det er det allerførste der skal afgøres når man har en ytring: dens kraft - det er ytringens type og hvor stærkt den er ment - ytringen kan være en hævdelse eller en ordre eller et ønske eller en bøn, og så videre - hvis ytringen er en ordre, så kan den være ment mere eller mindre stærkt, og den kan være adlydt eller ikke adlydt - hvis ytringen er en hævdelse, så er det påstået at noget er sandt - og det vil sige, at hvis man gør sådan og sådan, så er det og det en kendsgerning - det er det der er hævdelsens mening - men det er kun nogle af de meningsfulde hævdelser der har en sandhedsværdi - idealet er effektiv verifikation - jeg kan let overbevise dig om at hævdelsen "Gamle Just lugter af pis" er sand - jeg kan bede dig om at gå ned til Just og hente de bøger min mor lånte ham - så vil du komme styrtende tilbage uden bøger og skrige: "Føj for Satan en stank."

   — Hahaha.

   — Hvis verifikations-proceduren ikke er gjort, så må der være forskel på om den kan udføres eller om den ikke kan udføres - og det må i visse tilfælde være tilladt at proceduren kun i princippet er mulig - at den for eksempel kræver en urealistitisk hurtig computer eller urealistiske menneskelige evner, men det må være i forlængelse af det vi kender til - mennesket og dets redskaber - det må ikke være noget med et overnaturligt væsen som kan bevæge sig frem eller tilbage i tiden - og der må også være forskel på om sandhedsværdien engang i fremtiden kan komme frem eller om den aldrig vil kunne komme frem - hvis man påstår at noget er foregået i fortiden, og det er noget som intet menneske har set og som der ikke er det mindste spor tilbage af, så har påstanden da ikke nogen sandhedsværdi - og hvis en påstand er klart forståelig, så kan det være at den bør tilskrives en sandhedsværdi, men at sandhedsværdien hverken er "sand" eller "falsk", men ligger et sted imellem "sand" og "falsk" - hvis man for eksempel har en gammel kuvert med et brev i, så er det jo nok sandt at modtageren har eksisteret, men vi véd jo ikke om modtageren har læst brevet - det ka' være at hans kone opsnappede det - eller det ka' være at hun snappede det imens han læste - så har vi brug for en bredere skala af sandhedsværdier - for eksempel bør sandhedsværdien af udsagnet "han læste brevet" siges at være en trediedel, hvis han kun nåede at læse en trediedel af brevet - sådan kan man nemt indrette det i matematikken - hvis man for eksempel har to reelle funktioner f(x) og g(x) på et begrænset interval, og g(x) ligger over f(x) på tre fjerdedele af intervallet, så er sandhedsværdien af udsagnet "g(x) > f(x)" lig 0,75.

   — Ja, men i tilfældet med brevet, så der da være en sandhed - muligvis at han kun fik læst en trediedel af brevet - også selvom alle spor er forsvundet.

   — Ja, man kan måske godt sige at der er en sandhed i det tilfælde - alt er jo klart formuleret og forståeligt - men det rigtige må være at sige, at hævdelsen "han læste brevet" ikke har nogen sandhedsværdi, for man kan jo ikke bruge sandhedsværdien til noget - men det kan være at hævdelsen får en sandhedsværdi - hvis man for eksempel finder et brev som han har sendt og som er dateret senere, og som viser at han har læst brevet eller at han umuligt kan have læst det, eller hvor han skriver at han kun fik læst det første ark, for hans kone snuppede de andre ark og smed dem i kaminen - så har vi fået sandheden om brevet, men indtil da, må udsagnet "han læste brevet" siges at være uden sandhedsværdi - og så er der jo også alle de sætninger som er uden sandhedsværdi fordi de er ubestemte - sætningen "Mads er en idiot" er uden sandhedsværdi - ikke bare fordi "idiot" er ubestemt, men mere fordi "Mads" er ubestemt - det må jo være en anden Mads end dig.

   — Haha.

   — Men man kan godt forestille sig en sætning om fortiden som er helt klart formuleret og helt klart sand, men som alligevel ikke har nogen sandhedsværdi.

   — Det ka' man da ikke.

   — Jo, hvis jeg nu siger: "Nede i dammen er antallet af ænder der snadrer enten et lige tal eller et ulige tal", så er den sætning ubetinget sand - den er det man kalder en bar sandhed - men er den sætning ikke det samme som sammensætningen af to sætninger: "Nede i dammen er antallet af ænder der snadrer et lige tal" eller "Nede i dammen er antallet af ænder der snadrer et ulige tal"?

   — Jo, selvfølgelig.

   — Nej - for det første har sætningerne forskellig mening, for de udtrykker forskellige tanker, og for det andet kan den sammensatte sætning blive sand om en time, mens den var uden sandhedsværdi for en time siden.

   — Det er da noget vrøvl.

   — Nej, for den sidste sætning består af to sætninger med et "eller" imellem, og mindst én af dem skal verificeres - og jeg kan inden en time nå ned til dammen og tælle antallet af ænder, og fastslå at en af de to sætninger er sand, men jeg kunne ikke have været der nede for en time siden, ergo ville begge sætninger gældende for en time siden være uverficerede, og ergo ville min hævdelse være ukorrekt.

   — Er det ikke noget pindehuggeri?

   — Nej, det er præcision - men på samme måde som sætningen med brevet, så kan sætningen om ænderne for en time siden vise sig at være sand - det kan være at Pip lige om lidt ringer på og spør' om du er her - han kan ikke vente med at se det du har fået - og så siger han: "Jeg kommer lige nede fra dammen, jeg stod med min snadde og talte ænderne der snadrede..."

   — Hahaha.

   — Der kan også være andre grunde til at en hævdelse er ukorrekt selvom den er korrekt, nemlig hvis taleren ikke har ret til at fremsætte den - hvis den for eksempel er en fornærmelse - så har taleren udført en sproglig handling, og dens betydning kommer til at afhænge af om han trækker hævdelsen tilbage, og hvor hurtigt det sker.

   — Haha.

   — Og hvis en hævdelse handler om noget i fremtiden, så kan dens mening her og nu være afhængig af talerens hensigt med at fremsætte hævdelsen - han ønsker måske at påvirke udviklingen - det er alle sådan nogen ting som skal klarlægges førend man har en semantisk betydningsteori.

   — Det er sådan en teori Dummett er ved at udarbejde?

   — Ja, men han er sådan set ikke engang begyndt, for han véd ikke om teorien er mulig - der er formidable problemer - teorien skal jo være i overensstemmelse med den sproglige praksis, og det er ikke sikkert at det kan lade sig gøre - Wittgenstein nåede frem til at det ikke kan lade sig gøre - og det ville måske forudsætte at man opdragede folk til en anden sproglig praksis, og det er jo håbløst - det er håbløst at lave om på dig - at lave om på din opfattelse, at sandhed er noget som er uafhængigt af mennesket - sandhedsbegrebet må selvfølgelig da bygge på begrebet verifikation, og hvor proceduren er alment forklarlig og mulig for mennesket - eller i det mindste er i forlængelse af det mennesket kan - men det kan også være, siger Dummett, at udgangspunktet bør være begrebet falsifikation - altså hvis en taler fremsætter en hævdelse, så må man sige at den er korrekt, hvis det er umuligt at vise at den er ukorrekt - og alle de udtryk vi bruger, skal have en mening som er fælles og objektiv - det er en forudsætning for at vi kan kommunikere - de dér Vivi og Steen vi kender - du véd, de dér jehovaer - de mener at alt det der står i Bibelen er sandt - rub og stub - men det er aldrig lykkedes for dem at kommunikere den sandhed videre til os.

   — Ja, men jehovaerne de kommunikerer da indbyrdes.

   — Det har ikke noget med kommunikation at gøre - de remser bare det op der står i Bibelen.

   — Haha - men udviklingen går jo nok i den retning, at alle sådan nogen overtroiske forestillinger vil forsvinde - og vi vil mere og mere nærme os hinanden i tænkemåde.

   — Øh ja.

   — Hele Jordens befolkning - og vi vil tale det samme sprog.

   — Joh.

   — Og fortiden kommer også til at betyde mindre for folk - så vi nærmer os nok mere og mere til Dummetts krav, at det mest er det effektivt verificerbare vi kommunikerer.

   — Ja.

Nu er det imidlertid sådan med Aphel-slægten, at her er éns livsgerning ikke noget man sætter sig ned og vælger. Det er omvendt: man bliver valgt, man indfanges af et gøremål. Niels-Henrik er blevet indfanget af matematikken - det kan han mærke. Selvom han lige nu kører på nedsat blus, så må han under ingen omstændigheder svigte matematikken. Det er også på høje tid at han har fået en ordentlig interesse. I forhold til andre unge er han langt fremme, men han skammer sig over sin langsomme og retningsløse udvikling når han sammenligner sig med Annie. Hvad har han udrettet indtil nu? Det meste af hans liv er gået med at bladre hid og did i deres bøger. Så har han spillet fløjte nogle måneder, så har han lavet computerprogrammer nogle måneder, så har han læst lærebøger i matematik, og så har det været kosmologi, og så har det været teoretisk hydrodynamik, og så har det været fransk. Og hver gang han har arbejdet med én ting, så har han svigtet de andre ting. Han har været amatør på alle områder. Hans fløjtespil er elendigt - Annie var virtuos da hun var på hans alder. Han må stave sig igennem det franske - Annie kunne allerede som barn både tale og læse og skrive sproget flydende. Skal han løse opgaver i matematik, så må han bladre frem og tilbage i lærebøger og formelsamlinger - onkel Hermann sendte artikler til "Matematisk Tidsskrift" i gymnasieårene. Alle de andre i hans slægt de har vidst hvad de ville, han er et tilbageskridt. Det er hans forældres skyld - det er den idiot. Man skal gøres til en idiot lissom ham selv, men han kan tro nej, nu ska' der ta's fat! Og heldigvis har han fundet noget med format over og fremtid i.

Niels-Henrik har valgt at se bort fra Gerts formodning om Goldbachs formodning. Hvad forstand har han på det? Han siger, at der nok skal anvendes andre og mere avancerede metoder end dem man har brugt indtil nu, men så indrømmer han jo at man endnu ikke er begyndt at bruge dem. Sandheden om Goldbachs formodning er, at den - i modsætning til Fermats sidste sætning - er et fundamentalt og elementært problem, og derfor vil beviset også være elementært, men ingen har fundet det, fordi de ikke har fået den idé der skal til. Og det er den, han skal finde. Han må hver dag, når han har tid og ro, filosofere over Goldbachs formodning - og tid og ro har han når han cykler til og fra gymnasiet. Han må gruble over problemets allerdybeste natur. Først når han har fanget den, kan han begynde at lave udregninger og computerundersøgelser. Han er nået til den erkendelse, at man ikke skal styre direkte imod målet, men prøve at se problemet i et højere perspektiv, betragte det som et specialtilfælde af en mere omfangsrig teori. På samme måde som man ofte kan bevise kendsgerninger om de reelle tal mere elegant ved at anskue "de reelle tal" som en del af det mere omfattende begreb "de komplekse tal". Ja der er faktisk sætninger om de reelle tal, som kun kan bevises via de komplekse tal - måske forholder det sig på en lignende måde med Goldbachs formodning.

En af de muligheder han har tænkt på, er at man i første omgang tillader primtal at være negative, så kan man sikkert nemt beviste at ethvert lige tal er summen af to primtal, og der vil sikkert altid være uendelig mange opspaltninger, for eksempel 8 = (-3)+11 = (-5)+13 = (-11)+19 = .... Og når man har udarbejdet en teori for disse opspaltninger, så kan man måske bevise at der altid vil være en opspaltning hvor begge primtallene er positive.

Der så ud til at være mægtige perspektiver i nogle af disse muligheder, men han gik alligevel istå. Men så en dag, på vej hjem fra gymnasiet, kom han pludselig på en metode som forekom ham at være særlig fordelagtig, fordi den måske kan føre til at han kan studere en geometrisk figur. Han cyklede en omvej som blev forlænget og forlænget og som endte med at vare to timer. Da han kom hjem var de igang med maden. Han satte sig, skovlede maden i sig, rejste sig og forsvandt. Torben så bekymret til - det kan umuligt være lektierne som trækker så kraftigt.




Niels-Henrik havde erindret hvordan de gamle pythagoræere havde opfattet tallene figurativt, som mønstre - de dannede mønstrene med småbrikker. Et kvadrattal, som for eksempel 16, var naturligvis et kvadrat

o o o o

o o o o

o o o o

o o o o

Der var trekantstallene (1, 3, 6, 10, 15, ...)

o

o o

o o o

o o o o

og femkantstallene, og så videre. Ethvert tal kan opfattes som et rektangulært tal, og det kan normalt ske på flere måder - det svarer til at skrive tallet som et produkt på forskellige måder, for eksempel 12 = 2x6 = 3x4. Opfattet på den måde, vil primtallene skille sig ud fra de øvrige tal, ved at de bare er "liniestykker". Man kan opfatte et tal som et rektangulært tal på en sådan måde at det er mest muligt kvadratisk, altså således at forskellen mellem sidelængderne er mindst mulig. Eksempler:

27 = 3x9, 28 = 4x7, 29 = 1x29, 30 = 5x6.

Forskellen mellem sidelængderne er et mål for hvor aflangt tallet er - for at få pænere tal bør der dog lægges 1 til det udregnede tal. Den derved definerede funktion kaldte han kvad(n). Hvis altså n = axb, hvor a ≤ b og b-a er mindst mulig, er kvad(n) = b-a+1. Eksempler:

kvad(27) = 7, kvad(28) = 4, kvad(29) = 29, kvad(30) = 2.

For et kvadrattal n er kvad(n) mindst mulig, nemlig 1, og for et primtal n er kvad(n) størst mulig, nemlig n.

Han lavede et computerprogram som udregner kvad(n) for tallet n. Det var ganske simpelt, og selv for store tal n kom tallet kvad(n) frem øjeblikkeligt.

Lad nu 2n være et lige tal. Til hvert af tallene i = 1, 2, 3, ..., n, svarer en opspaltning af 2n:

2n = i + (2n-i).

Hvis man til hver sådan opspaltning knytter tallet kvad(i) + kvad(2n-i), så får man n tal som alle er mindre end eller lig 2n (da kvad(i) + kvad(2n-i) ≤ i + 2n-i = 2n). Og dette at Goldbachs formodning er sand, er ganske ensbetydende med at det største tal 2n forekommer blandt disse tal.

Når i gennemløber tallene 1, 2, ..., n, vil tallene kvad(i) + kvad(2n-i) sikkert variere meget uregelmæssigt, men man kunne jo ordne dem på rad og række efter størrelse, og hvis man afbilder dem grafisk i et koordinatsystem, hvordan vil så denne voksende kurve mon se ud? Det var dét, Niels-Henrik var nysgerrig efter at se.

Han lavede et program som ordner en given række af tal efter størrelse. Det program drillede en del, men så var resten en rutine, og sidst på aftenen var hans program der tegner den ønskede kurve for et givet lige tal 2n, klar til at afsløre kurverne.

Han prøvede først med forholdsvis små n-værdier: 50, 100, 200. Kurverne kom frem i løbet af nogle få sekunder, og de var meget uregelmæssige, men de var afgjort værd at studere. Når han kom op over 1000 blev kurverne rigtig flotte - her er kurven for n = 2310 (= 2x3x5x7x11)(tallene på koordinatakserne skyldes at der er divideret med n):

Det var det vandrette liniestykke foroven, der fascinerede ham. Han vidste at det ville komme: at dette liniestykke er der, betyder at Goldbachs formodning er sand for tallet 2n. Han bemærkede at kurvernes form er meget afhængig af tallet n's opløsning i primfaktorer: hvis n har mange små primfaktorer, er kurven uregelmæssig, og hvis n er et primtal, er kurven pænt afrundet. Her er kurverne for n = 3570 (= 2x3x5x7x17) og for n = 3571 (primtal):

At det vandrette liniestykke er længere for den første kurve end for den anden, betyder at det første lige tal har flere opspaltninger som summen af to primtal end det andet.

Der var to ting ved disse kurver som straks fangede hans opmærksomhed:

    1. De har et knækpunkt K når man er kommet halvvejs op, og stykket fra dette knækpunkt og op til det vandrette topstykke er næsten retlinet.

    2. Det ser ud som om at arealet A under kurven til venstre for K er lig arealet B under kurven til højre for K.

Alt tyder på at disse to egenskaber gælder med større præcision jo større n er. Hvis det virkelig er tilfældet, kan man garanteret bevise Goldbachs formodning ved at studere de kurver. Har nogen mon studeret dem før ham?

Niels-Henrik sov slet ikke den nat. Han lavede udprintninger af kurverne for en masse n-værdier, og lå i sin seng og studerede dem. Og han gjorde en værdifuld iagttagelse: arealet under hele kurven er netop summen at tallene kvad(i), i = 1, 2, ..., 2n, divideret med n2, altså:

areal = 1/n2i=1,...,2n kvad(i).

Da vækkeuret bibbede, gik han ned og meddelte at han bliver hjemme i dag, han har ondt i halsen - det er nok den lange cykeltur i går. Så gik han op igen og sov.




Da han vågnede ved middagstid, var hans første tanke: hvornår kan man forvente de mennesker hjem? Trine er den første, men hun kommer først ved halvfem-tiden. Altså over fire herlige timer med ro til videnskabeligt arbejde. Han tog papirerne med ned i køkkenet. Da han havde spist, lagde han et brev te i tekanden og hældte lidt koldt vand over, og tog kanden og et krus med op.

Nå, der skal allerførst laves et program som viser at forholdet mellem arealerne A og B, altså tallet A/B, nærmer sig mere og mere til 1 når n vokser. Det er let at lave: hvis vi sætter α(i) = kvad(i) + kvad(2n-i), er A/B = "summen af de α(i) hvor α(i) ≤ n" divideret med "summen af de α(i) hvor α(i) > n". Det viste sig, at man skal op på ret store n-værdier før tallet A/B er rigtig nær ved 1, men for disse n-værdier blev hans formodning til overmåde bekræftet:

      n        A/B

    5000   0.998

    6000   1.029

    7000   0.993

    8000   1.038

Tallene A/B svinger altså omkring tallet 1, men vil konvergere imod 1.

Derefter skal det undersøges hvorledes knækpunktet K bevæger sig. Hans studeren af kurverne om natten havde vist, at det bevæger sig ganske langsomt mod højre, dog noget uregelmæssigt, afhængigt af n's opløsning i primfaktorer. Et sådant program er også let at lave: x-koordinaten til K er lig "antallet af i således at α(i) ≤ n" divideret med n. På den udprintede liste forekom følgende tal:

      n            x

    5000     0.873

    10000   0.886

    15000   0.898

    20000   0.893

Det er tydeligt at disse x-værdier svinger omkring et tal i nærheden af 0,9.

Klokken var nu henad fire. Han slukkede computeren og gik ned i stuen med papirerne. Nu skulle der høres noget musik, noget der passede til hans stemning. Det skulle være første sats af Bartóks "Koncert for Orkester" - det stykke bliver han aldrig træt af, det kommer altid op i ham når der sker noget dramatisk. Han gik op og ned ad gulvet og nynnede med, imens han studerede udprintningerne. Men da han skulle til at flytte pick-up'en tilbage for tredie gang, så han Trine komme trækkende med cyklen op ad havegangen. Han tog pladen af og smuttede op på sit værelse. Han havde dårligt nået at lukke døren efter sig, førend en idiot brølede ud i stuen. Nej, han må væk herfra i aften - hans livs største dag skal ikke ødelægges af de fladpander. Når han har spist, vil han sige at han skal hente en bog hos Annie, og så vil han cykle en lang tur.




Niels-Henriks lykkeligste dag i sit liv, blev Torbens ulykkeligste dag i sit liv. Han havde set at græsplænen havde været oplyst hele natten, og han havde hørt Niels-Henriks computer. Og nu, hvor Niels-Henrik var væk, skulle den sag undersøges. Der var ikke umiddelbart noget at se på hans værelse. Bøgerne fra Universitetsbiblioteket var urørte og der lå ingen papirer fremme. I papirkurven lå dog en masse iturevne ark. Dem fiskede han op og tog med ind på sit kontor. Han bredte dem ud på sit skrivebord og begyndte at samle dette puslespil - klar til at feje det hele ned i papirkurven hvis nogen kom op ad trappen. Det tog en del tid at få Niels-Henriks kasserede kurver frem.

Foroven stod dato og klokkeslet - på den seneste: tir 6. okt 1998 4:37 - altså samme nat. De kurver ser nu ikke så tossede ud - han er måske begyndt på noget helt nyt? Han gik ind på Niels-Henriks værelse og tændte computeren. Programmerne "kurve" og "kurve-A-B" og "kurve-K" havde han ikke set før. Ved "kurve" kom der følgende oplysninger frem: "oprettet: man 5. okt 1998 19:29, revideret: tir 6. okt 1998 3:33". Han startede "kurve": "n=_", han tastede "3.7", programmet lukkede. Han slukkede computeren.

Han gik ned i stuen:

   — Jeg ta'r kaffen med op, jeg ska' forberede et møde i morgen.

Han skænkede sig en god whisky op.

"Nej, der er nogle uhyggelige kræfter på spil i den familie - det er en helt anden verden de lever i - de kender ikke til glæden ved almindeligt menneskeligt samvær - det ska' være noget fint eller man ska' kritisere - Britta ka' da heldigvis se at der er noget galt i den slægt, men hun ska' også hele tiden kværulere - det ligger dybt i de mennesker - hendes lille delikate snude kan ikke være videre fintfølende, ellers havde hun ikke tålt éns stank, men den skal ned i alt lortet, og alt får et ord med på vejen - Annie er kulminationen af slægtens intellektualisme - men deres snobbede forældre var ikke meget bedre - de med deres 'musikalske saloner' hvortil kun det allerøverste åndsaristokrati havde adgang - men selvfølgelig: 'du er da velkommen Torben, vi tror dog ikke at det er noget for dig' - og så var der denne dér Hermann - gudfaderbevarmigvel - han var til at hyle af grin af, når han kom cyklende med alpehue og knickers og morakkerrør - den største fagidiot der nogensinde har levet - man troede at Annie var denne slægts sidste deforme knop - og så kommer der en til: éns egen søn - men så er det da heldigvis også slut, der er ingen pige der vil have den asociale bums - han tror nok at han som en anden Søren Kierkegaard ska' leve af sin fars formue, og ringeagte nyttigt arbejde - men han ka' tro nej, ka' han, han ka' blive rengøringsassistent - på sit gamle gymnasium - eller han ka' stå i deres kantine og sælge cola og burgere - næ Trine - altid glad og kærlig og omfavnende - der er ikke noget aphel i hende - og heldigvis lever vi i en tid, hvor en datter ligeså godt som en søn kan gå i faderens fodspor - hun glæder sig til at ta' fat - hvorfor bekymre sig for ham? - sku' det være så svært? - modbydelige kælling - og så hendes 'musik' - den afspejler hendes hæslige sjæl - dén aften i Tivolis Koncertsal! - der sad man, fanget - man har spist middag med Britta og man stiller sig i køen foran koncertsalen sammen med de gamle koner - så sidder man midt i salen og læser i programmet at koncerten er et led i 'Nordiske Musikdage 1984' - fuldstændig ukendte komponistnavne, alle født efter 1950 - og dér sad Annie, langt fremme så hun rigtigt ku' høre - nu skulle man belemres med hende når koncerten var forbi - så kom et kæmpe brød ind, i kjole og hvidt og med hår og skæg som ikke havde set en saks i ti år - og man var nødt til at klappe - så vendte han bukserøven til og satte spektaklet igang - I guder! - alle, undtagen Annie og hendes meddisciple, skævede efter en flugtmulighed - nogle enkelte rejste sig og albuede sig ud - o'fryd - men som en kendt personlighed må man undgå den slags - helt undgå at blive bemærket her - i to stive timer blev éns ører torteret - man var syg i flere dage - og tænk: den musik er den 'rigtige' musik, disse komponister er Mozarts arvetagere - det vi andre hører, vores kommercielle pop og rock, næh, det fortjener ikke at blive kaldt musik, og det lider den samme skæbne som alt det andet lort vi producerer - ka' man ikke sidde som Annie dér, tilbagelænet og nyde orgiet, så er man en musikalsk analfabet - nej, tænk hvad menneskeheden har ladet sig forføre af i det tyvende århundrede: forrykte politiske ideologier og en såkaldt 'finkultur' hvor man betragter et talrigt publikum som en fornærmelse - det er sgu godt at den tid er ved at være forbi - at sjælelig sundhed er ved at sejre - og musikken har været værst - Robert Jacobsen har da en smule dekorativ virkning, og hundene har noget at pisse op ad - havde de 'musikere' dér bare været en børnehaveklasse, så havde man ikke behøvet at hidse sig op - men voksne mennesker som sidder og banker på violinen og puster i den modsatte ende af klarinetten og står med hele overkroppen inde over flygelet - i det sidste 'værk' gik dirigenten og hans medpatienter fuldstændig amok - nu udvandrede næsten alle - og inden det sidste slag på nodestativet var klinget ud, brød disciplene med Annie i spidsen ud i klapsalver - tyksakken måtte vralte ind tre gange og bukke - og så Annie: 'Jamen Britta! - og Torben! - det var en overraskelse! - I ska' hilse på Olli - det er ham der har komponeret det sidste værk' - og der stod man og spillede høflig - jeg ku' ha' plantet både hende og ham én lige i fjæset - ja det sku' man ha' gjort! - en knytnæve lige midt i hvert fjæs! - først hende, og så ham" - BANG - BANG - HAHAHA...

   — Jamen Torben?

   — Øh hva'? - det var Rolf i dag - høhø - Rolf...

   — Jamen rejs dog flasken - jeg henter en klud.




Da Niels-Henrik var kommet lidt ned ad vejen, mødte han Mads, han måtte standse:

   — Hej Mads.

   — Hvor blev du a'i'dag?

   — Jeg havde ondt i halsen i morges - jeg kommer i morgen - hva' har I lavet?

   — Ikke noget, vi fik tyskstilene tilbage - hvor ska' du hen? - jeg har fået spillene fra Politikens Computerklub - jeg har ikke set det hele endnu - kommer du ikke med over...

   — Jeg ska' over til Annie og hente nogle bøger - jeg er nødt til at ta' hjem med det samme - du véd, min mor - vi ses i morgen.

   — Jaja - hej.

   — Hej.

"Og der sku' man sidde resten af aftenen på en stol og se ham fingere med musen - nejtak - ellers tak." Han ville cykle ud til Hylderup Skov. Da han var inde midt i skoven, ledte han efter en sti så han kunne komme rigtig langt ind i nåleskoven. Da han havde fundet et godt sted hvor han kunne gå frem og tilbage, stillede han cyklen opad et træ og tog rygsækken af. Men inden han åbnede den, stod han helt stille og lyttede. Det blæste men man hørte kun en svag susen, og den overdøvede de andre lyde - bilerne. Er der mon ét eneste sted tilbage i Danmark hvor man intet mærker til hvilken tid man lever i, spurgte Annie engang. Han elsker nåleskove - duften og dunkelheden og det bløde tæppe man går på. Og han elsker denne årstid, hvor vi går imod mørket og kulden - modsætningen mellem barsk natur og varme hyggelige stuer. Især kan han lide Annies hus og have lige nu.

Gud! Han kommer pludselig i tanke om noget han helt havde glemt: Annie vil flytte! - det sagde hun forleden dag. "Engang", siger hun, "på et tidspunkt" må hun væk herfra, hun "kan ikke holde støjen og menneskene ud." Der er hverken en lyd eller et menneske dér hvor hun bor, men det er alligevel for meget for hende. Hun vil finde et nedlagt landbrug i Jylland. Og så vil hun give koncerter i kirkerne, så kommer der nok et organistembede et sted. Han er velkommen til at flytte med, men han skal ikke gå og tænke på det, der går nok nogle år.

Egentlig kunne han ikke være så opstemt, for han var ikke helt sikker på detaljerne i beviset - det kunne gå galt. Men han kunne ikke forestille sig det, han kunne mærke beviset - det han skulle igang med nu var bare en formalitet. Han tændte cykellygten og begyndte at gå frem og tilbage og studere denne figur:

- og skrive formler. Og i løbet af de næste par timer ledte hans overvejelser ham med sikre skridt frem til en bekræftelse af hans intuition. Der kom nemlig følgende ud af det: Arealet under kurven er

Cn = 1/n2i=1,...,2n kvad(i)

- altså helt uafhængigt af Goldbachs formodning. Hvert af tallene kvad(i) varierer mellem 1 og i, og hvis vi antager at gennemsnitsværdien af kvad(i) er omkring i/2, så vil Cn være omkring 1/n2 gange 2n gange (1+2n)/4, og dette tal er omkring 1 - men Cn må være meget mindre end 1. Vi antager at Cn er større end et tal f < 1, når n er tilstrækkelig stor. For knækpunktet K, afhænger dets x-koordinat xn af n's opløsning i primfaktorer, og tallet kan svinge kraftigt, men det vokser når n vokser. Der skal findes et tal g < 1, således at xn > g, når n er tilstrækkelig stor. Det skal bevises, at A/B → 1 når n → ∞ - og at konvergensen foregår ret hurtigt - det må være et simpelt argument. Og det skal også bevises, at stykket fra knækpunktet K og op til det vandrette topstykke bliver mere og mere retlinet når n → ∞ - det er nok også let. At Goldbachs formodning er sand for det lige tal 2n, er ganske ensbetydende med at arealet Bn er større end arealet under den skrå linie, og da dette areal er 3(1 - xn)/2, får man at Goldbachs formodning er ensbetydende med at

3(1 - xn) < 2Bn

Det gælder om at komme op på så store n-værdier, at f kan vælges så stor og g kan vælges så stor, at 3(1 - g) < f. Og da 2Bn er meget tæt på An + Bn = Cn for store n-værdier, har vi

3(1 - xn) < 3(1 - g) < f < 2Bn

- og dette beviser Goldbachs formodning for det lige tal 2n.

Nu kunne der ikke gøres mere end at vente og se hvad computeren siger. Undersøgelserne kan meget vel blive langvarige, da man nok skal op på meget store n-værdier, førend man kan se hvad f og g mon kan være - men computeren kan jo sættes til at køre imens han er i skole. Og så skal han studere tallene, og gætte hvordan tallene f og g kan vælges - finde formeludtryk for dem, og vise at de opfylder betingelserne - altså at 3(1 - g) < f, og at Cn > f og xn > g, når n er tilstrækkelig stor.

Han kom til at tænke på noget han havde læst i Gerts manuskript - om de beskrivelige og de ikke-beskrivelige tal. Alle hans tal er beskrivelige - han har jo givet præcise beskrivelser af dem. Men tænk, i virkeligheden er der ikke flere beskrivelige tal end der er naturlige tal: En beskrivelse kan udtrykkes i et tegnsprog, og beskrivelserne kan ordnes efter et leksikografisk princip, og de kan således opskrives på rad og række. Og i forhold til alle tallene, vil de beskrivelige tal kun udgøre en uendelig lille del. Alle de andre tal er ikke-beskrivelige - man vil aldrig kunne fremvise et eneste af dem.

Det var begyndt at blive koldt, eller rettere, det havde været koldt længe, men først nu opdagede han det, han havde for lidt tøj på. Han måtte hjem, men han havde ikke lyst, han måtte vente til denne kværnen af tv-apparater er forbi. Men han kunne jo tage forbi Annie. Ja selvfølgelig! - han må fortælle Annie om sin opdagelse!

Da han kom ud på vejen, var det modvind og op ad bakke, men det rørte ham ikke. Da han stod i pedalerne og vinden suste om ørene, hørte han "Koncert for Orkester". Han sang med i vilden sky på dette geniale værk. Fra i dag af er hans livsbane bestemt. Han hører til blandt de rigtige mennesker, de der skaber verden, dem man læser om i bøgerne. "De ska' få noget at tænke over allesammen! - og fars navn ska' for første gang blive set i en anstændig sammenhæng:

17-årig gymnasieelev løser berømt

matematisk problem

Goldbachs formodning bevist

Den 17-årige Niels-Henrik Aphel Riisbye, søn af direktør Torben Riisbye, har sendt en afhandling til det anerkendte tidsskrift Annals of Mathematics, hvori han beviser et problem, som matematikerne har kæmpet forgæves med i over hundrede år. Afhandlingen har vakt bestyrtelse på tidsskriftets redaktion, og den blev omgående sendt til eksperter i hele verden. Men ingen har kunnet finde én eneste fejl. Professor i matematik ved Københavns Universitet, Chr. Filtbak, siger til Berlingske: 'Niels-Henriks argument er, som al fremragende videnskab, lige så enkelt som det er genialt. Han har kombineret en ældgammel talforestilling med den moderne computerteknik, så hans bevis ville slet ikke kunne være udtænkt førend i vor computeralder. For at kunne udarbejde sit imponerende bevis, har det været nødvendigt for ham at udføre meget regnekrævende computerundersøgelser. Goldbachs formodning siger at...'"

Han kom til at tænke på familien derhjemme. "Tænk et liv at leve - dér ligger Trine og glor Beverly Hill - med tæppet over sig og gramsende ned i popkornsposen - hun bliver federe og federe - og dér sidder far og mor med kaffekoppen og kagedåsen og glor VM i svømning - hjælp nogen sørgelige tilfælde - og deres arbejde - mors véd ethvert barn over seks år alt om - og far, danskernes hovedleverandør af pudseklude - nej, der er virkelig noget der ska' rettes op på - og så er der gymnasiet - tænk, der er seksten elever i klassen og ikke en eneste - ikke én eneste! - foretager sig noget ud over lektier og fester - og lærerne, de er lige intetsigende allesammen - de står og gentager det samme år efter år - eleverne kommer da i det mindste videre - ja forresten, ret ska' være ret, Mads kommer virkelig videre! - han har en interesse med format over! - sidst havde han gjort en mageløs opdagelse: han har fundet nøglen til kisten i 'The Castle of Gloom'!"

Han var på én gang så euforisk glad over sin egen lykke og så rasende over de andres ulykke, at han måtte cykle en omvej inden han kunne ringe på hos Annie.

   — Jamen Niels-Henrik, først nu?

   — Først nu?

   — Ja, du sagde i forgårs at du kom i dag lige fra skole.

   — Gud! - det har jeg helt glemt - det må du undskylde - der har været så meget i dag - i skolen og... øh...

   — Derhjemme?

   — Nej.

   — Du er jo helt forfrossen - hvor har du været?

   — I Hylderup Skov.

   — Ta' skoene af - nu lægger du dig ind og ta'r tæppet over dig - og så ska' vi ha' en kop varm chokolade med flødeskum og en lækker kage jeg har - og et par glas Grand-Marnier - så får du varmen igen.

I Annies stue, eller rettere arbejdsværelse, er der altid bjerge af opslåede bøger og tidsskrifter og partiturer - utroligt at hun kan finde rundt i alt det. Hvad er det hun sidder og læser? - Milan Kundera: "L'identité".

   — Så, du får dit på en bakke - i Hylderup Skov? - måtte du væk hjemmefra?

   — Ja.

   — Er der noget?

   — Nej, men der er noget jeg arbejder med.

   — Er det stadig Goldbachs formodning?

   — Ja, og jeg har fundet ud af noget helt fantastisk! - jeg har omformet Goldbachs formodning til et geometrisk problem.

Han tog papirerne op af rygsækken.

   — Se denne her figur - se det vandrette liniestykke i toppen - det er Goldbachs formodning! - altså at det liniestykke er der.

   — Jamen? - er Goldbachs formodning så bevist?

   — Ja, næsten - jeg skal bevise at liniestykket nødvendigvis være der, og det har jeg næsten gjort - men der skal nogle computerundersøgelser til - men jeg véd præcis hvad der skal gøres.

   — Hvordan er du nået frem til den figur? - er det noget jeg ka' forstå?

   — Ja, det hele er enkelt og genialt - se her, jeg indfører først en funktion på de naturlige tal som jeg kalder kvad(n)...

Og så fulgte alt om kurverne og om beviset og det arbejde der nu skal udføres.

   — Du er en værre én, Niels-Henrik! - onkel Hermann sku' bare ha' set dig - tænk hvis han havde levet, så havde du haft én du rigtig ku' snakke med.

   — Jeg...

Nej, det ville han ikke sige: at han havde overvejet at fortælle sin matematiklærer om sin opdagelse. Annie ville nok fraråde det. Hun havde for nogle uger siden fortalt ham noget han aldrig har vidst: at hun, da han var lille, havde haft et vikarjob som gymnasielærer. Annie gymnasielærer? I musik? Det er da løgn. Ja, det var det også, efter én måned - hun gik i vrede. Hendes kolleger kritiserede hendes musikvalg, men eleverne overlevede vist. Hun forestiller sig nok at matematiklærere er ligeså forstokkede som musiklærere.

   — Hva'?

   — Ikke noget - jeg har ikke været i skole i dag!

   — Hvorfor ikke?

   — Jeg har arbejdet hele natten - jeg sagde jeg var syg.

   — I Aphel-slægten arbejder man til langt ud på natten og sover til langt hen ad formiddagen - det gør jeg jo også - onkel Hermann...

   — Jeg sov først klokken syv!

   — Niels-Henrik! - jeg måtte også engang imellem blive hjemme når der var vigtige ting, men husk: kun én pjækkedag ad gangen!

Niels-Henrik skal for enhver pris ud af gymnasiet. Men han må godt lige lære den verden at kende - han skal selv indse at han må ud. Hvis han havde spurgt hende, om han burde fortælle sin matematiklærer om sin teori, så havde hun sagt ja.




Niels-Henrik var dødtræt næste dag. Heldigvis, for ellers havde han ikke kunnet holde timerne ud. Han tænkte på sin teori, og på at komme hjem. Men han overvejede også at tale med matematiklæreren. De to sidste timer var matematiktimer, og efter den sidste time var der en god lejlighed, da læreren også havde fri. Han havde ham under observation i de to timer.

Har Annie ret i sin opfattelse af nutidens gymnasielærere, og snart også universitetslærere? Noget tyder på det. I to måneder har han haft denne lærer, og læreren må da for pokker have bemærket at han, i modsætning til alle de andre, er interesseret i faget og langt forud. Flere gange har han brugt løsningsmetoder som de slet ikke har lært om. Disse opgaver var bare rettede, men den sidste var leveret tilbage, urettet! Hvad er meningen?

Om denne lærer er der ellers ikke noget særligt at bemærke. Ung med de unge, men hvor gammel kan han være? - vel midt i trediverne. Han har nok været lærer i ti år. Interesserer han sig mon for matematik? Han har skrevet speciale om et eller andet, men hvad? - det kunne være Goldbachs formodning.

Som de to timer skred frem, var Niels-Henrik det ene øjeblik opsat på at tale med Thomas og det næste øjeblik ikke. Der var noget ved den lærer som irriterede ham. Og han var i tvivl om, om han skulle beundre lærerens evne til at køre på automatpiloten: han underviste samtidig med at han rettede opgaver. Afslutningen af timen forløb således:

  Thomas: Ja, så fik vi bevist at der er ligeså mange rationale tal som der er naturlige tal - nu har vi vist også fået sagt alt hvad der kan siges om de rationale tal - næste gang går vi igang med de irrationale tal.

  Jeanette: Er der også ligeså mange irrationale tal som der er naturlige tal?

  Thomas: Jah, se det er jo det vi ska' undersøge - men allerførst ska' vi bevise at der overhovedet er irrationale tal - det er jeres lektie til næste gang.

Niels-Henrik var lige ved at sige, at der heller ikke er flere irrationale tal end der er naturlige tal, men det ville være for provokerende, læreren ville latterliggøre det og det ville ødelægge hans plan om at tale om Goldbachs formodning. (Det er korrekt, at der ikke findes nogen bijektiv afbildning mellem de naturlige tal og de reelle tal i formal (matematisk) forstand, men man kan godt indrette tingene således, at der findes en bijektiv afbildning i ikke-formal (meta-matematisk) forstand. Han kunne også sige, at man ikke kan tilskrive påstanden "mængden af de reelle tal er ikke-numerabel" nogen sandhedsværdi. For eftersom man ikke kan fremvise et ikke-beskriveligt tal, så kan man med fuld ret hævde, at det kun er de beskrivelige tal der eksisterer, og dem er der ikke flere af end der er naturlige tal.)

Der blev trængsel omkring katederet. Sofie ville gerne have at vide hvortil præcis hun skulle læse til næste gang. Jonas forstod ikke den rettelse der var foretaget i hans opgave: skal man gange to brøker, skal de da først omskrives så de har fælles nævner. Niels-Henrik holdt sig i baggrunden. Folk begyndte at forlade lokalet. Men flere havde noget der skulle meddeles. Utroligt så lang tid det kan tage at få et par bøger ned i en taske. Jonas kunne ikke forstå hvorfor han er velkommen til at gange brøker som han hidtil har gjort. Da disse sager var ekspederet, fangede Thomas navnet "Henning Rasmussen", som kom et sted fra:

  Thomas: Hvod'n tror I det går i aften?

  Lars: Han overlever slet ikke.

  Thomas: Tror du virkelig? - han sendte da Bob Jackson til tælling.

Og på vej ud blev Henning Rasmussens chancer diskuteret. Niels-Henrik forlod lokalet som sidste mand.

Hvad havde han egentlig ventet? Han havde ikke gjort sig nogen særlige tanker. Men lad os forestille os et par muligheder. Denne samtale er Niels-Henriks allerstørste ønske (første halvdel er konstrueret af Niels-Henrik, anden halvdel af Annie):

   — Ja, Niels-Henrik.

   — Kender du det problem der hedder Goldbachs formodning?

   — Ja Goldbachs formodning, ja det gør jeg da! - det problem kæmper man jo stadig med - du véd måske at der er en englænder, Wiles hedder han, som lige har bevist et af de andre store klassiske problemer, Fermats sidste sætning?

   — Ja det har jeg hørt.

   — Han har jo sat hele verden på den anden ende - selv i dameugebladene kan man læse om det - gu've' hvordan det vil gå med Goldbachs formodning - for det problem har jo virkelig betydning, det kan man ikke sige om Fermats sidste sætning - den eneste grund til at Fermats sidste sætning er blevet berømt, er dens historie - du véd, han havde skrevet påstanden ned i margen i en af sine bøger, og så skrev han "Jeg har fundet et vidunderligt bevis, men denne margen er for smal til at jeg kan nedskrive det her."

   — Jah haha.

   — Goldbachs formodning derimod, den er nøglen til at forstå dén dybere sammenhæng mellem addition og multiplikation som alt tyder på at der må være - det vil blive en kæmpe sensation den dag det lykkes matematikerne at finde et bevis.

   — Ja!

   — Det er jo helt utroligt, at så elementære problemer kan volde så store kvaler - Wiles bevis fylder vist over tusind sider og han gør brug af den allermest avancerede matematik - men mon ikke man med tiden finder simplere og simplere beviser? - mon ikke sandheden er, at den slags elementære sætninger har relativt simple beviser, det er bare et spørgsmål om at forstå problemernes dybere natur?

   — Jo!

   — Men hvor har du læst om det?

   — Jeg har fået tilsendt nogle artikler fra professor Filtbak ved Universitetet.

   — Nå! - du går til den, hva'!?

   — Ja! - og jeg har fundet en metode som ingen har tænkt på!

   — Men dog! - virker den, tror du?

   — Ja! - det er jeg næsten sikker på - jeg har skrevet noget her - se, jeg studerer denne her kurve...

   — Orv for Søren! - sikke'n masse - Niels-Henrik, det ser spændende ud, men det må vi gi' os god tid til at se på - sig mig, ska' du noget nu?

   — Nej.

   — Vil du ikke med hjem? - så kan vi rigtigt se på sagerne - jeg bor jo ikke så langt væk.

   — Jotak!

   — Det var en overraskelse, det må jeg sige - du er den første elev jeg har haft, der rigtigt interesserer sig for matematik - jah, jeg har jo haft dig under observation, men at du er nået så langt, det glæder mig, det må jeg virkelig sige - Niels-Henrik, du må nok finde dig i at jeg ikke altid retter dine opgaver - det er bedre jeg bruger mere tid på visse andres opgaver, ikke sandt?

   — Jo!

   — Tro mig Niels-Henrik, det er trist at være lærer - og nu ska' man igang med de irrationale tal - vise at der findes irrationale tal, og vise at der er strengt flere irrationale tal end der er naturlige tal, hvilket enhver idiot ka' sige sig selv at der ikke ka' være.

   — Ja! - for det er kun de beskrivelige irrationale tal som eksisterer! - alle de ikke-beskrivelige ting indeholder uspecificerede variable - de er der kun for at få den formale teori til at stemme overens med vores intuition.

   — Nåså du er også inde i den teori? - det var dog utroligt som du kan - der er vist ikke engang nogen matematikprofessor der véd noget om det.

   — Næh.

   — Jeg sagde det engang til min ærværdige kollega, lektor Hansen - eller rettere, jeg forsøgte på det - jeg sagde, at der er ligeså mange reelle tal som der er naturlige tal - han gloede på mig som om jeg var faldet ned fra Månen.

   — Hahaha.

   — Jeg sagde ikke mere, det var håbløst - jeg lod ham endnu engang få bekræftet sin læresætning: folk lærer mindre.

   — Hahaha.

   — Og så er der eleverne - men jeg bebrejder dem på en måde ikke - når man er udsat for tvang, så stritter man instinktivt imod - så derfor hænger det man lærer ikke ved - du derimod, du lærer tingene på den rigtige måde - derfor husker du det du lærer - din dansklærer viste mig en stil du har skrevet - ja det var faktisk mig der læste den og vurderede den - din dansklærer havde ikke den fornødne tid.

   — Nå!

   — Ja - så aftalte vi at han til gengæld fik nogle af mine matematikopgaver - dem ka' enhver idiot rette.

   — Haha.

   — Men Niels-Henrik, det der står i din stil, det husker du resten af livet - og også alt det der står i de papirer, du har skrevet - fordi du lærer tingene på den rigtige måde - du har måske lagt mærke til, at der er nogle mennesker som har en utrolig hukommelse og som kan udrette det utrolige - hvis du ikke har lagt mærke til det endnu, så kommer du til det, når du begynder at følge mere med i kulturlivet - de mennesker, de er så flittige at vi andre dødelige ikke engang ka' nå at følge med i det de laver - de skriver bøger og artikler og holder foredrag og laver radioudsendelser, og på deres skrivebord står flere tårne af bøger - de læser det i bøgerne som de har brug for, og de forstår det og husker det, fordi det interesserer dem og fordi de har en sammenhæng at sætte det ind i.

   — Ja.

   — Men de fleste mennesker hverken husker noget eller udretter noget - og prøv at lægge mærke til hvor dårlige folk er til deres arbejde - arkitekterne, parterapeuterne, hjernekirurgerne.

   — Hahaha.

   — Og læg mærke til hvor grimme tingene er - bilerne, kunstværkerne, internetsiderne - og hvor ubehjælpsomt folk formulerer sig - sælgerne, præsterne, sygdomseksperterne.

   — Hahaha.

   — Årsagen er, at det bare er noget de laver, de føler ikke noget ved det - og de tænker allesammen de samme tanker, og det er fordi de i de første tredive år af deres liv har opholdt sig i institutioner hvor hele dagen har været skemalagt.

   — Haha.

   — Men alligevel er systemet som det skal være - de unge lærer ingenting, men de skal heller ikke kunne ret meget - de kunne egentlig godt udføre deres arbejde som tandlæger og korrekturlæsere og supermarkedsbestyrere allerede når de er på din alder, men hvis vi lod dem gøre det, så ville det vise en sandhed om lønarbejdet som vi ikke ønsker kommer frem - alt lønarbejdet er jo blevet højt specialiseret, så derfor skal den menige lønslave kun kunne lidt, men eftersom folk ikke laver andet end deres lønarbejde, og eftersom der slet ikke er brug for alt det lønarbejde, så bliver det at have et lønarbejde alles kamp imod alle, så derfor må vi have en skrap sorteringsordning - den er tilfældig, men det er ligemeget - for hvem der udfører lønarbejdet er ligemeget - jeg har nogle meninger som ikke er ligemeget, men jeg ka' ikke sige dem, så hvem jeg er, er også ligemeget.

   — Hahaha.

   — Alle de tumper der lige har forladt det her lokale, de spør' hele tiden om hvad de har for, for at jeg ska' se at de er flinke, og så spør' de om de ska' ku' det til eksamen - det er jo liv og død om at få et fint papir som de ka' vise de ledende idioter.

   — Haha.

   — De ledende idioter forstår ikke, at jo finere papir, jo dummere indehaver.

   — Haha.

   — Du Niels-Henrik, du er den klogeste af alle i denne her institution - lærerne inkluderet - så derfor vil du blive den der får det dårligste papir - ja der jo fare for, hører jeg, at du slet ikke får noget - og man taler om, at grunden til din overlegenhed er, at du ska' leve af din fars penge og se ned på alle mennesker - din far inkluderet.

   — Haha.

   — Og sådan går det jo nok - men hvis tingene var som de burde være, så ku' du blæse din fars penge et stykke, for så havde du allerede nu en topstilling som matematiker eller programmør, hvor din timeløn var så høj, at du kun behøvede at være lønslave én time om dagen - og så kunne du resten af dagen lære ting du har brug for, og udføre dit rigtige arbejde.

   — Ja!

   — Mit usle lønarbejde består i at holde de unge under opsyn og lære dem lidt - men jeg gør lissom dig, Niels-Henrik - ja du tror sikkert at jeg retter opgaver imens jeg underviser, men jeg sidder lissom dig og skriver formler.

   — Nå!

   — Ja - ellers havde jeg aldrig overlevet.

   — Hvad arbejder du med?

   — Ja det skal jeg vise dig - jeg havde selvfølgelig tænkt på at forhøre mig om hvad det er du er igang med, men jeg tænkte: hvad nu hvis jeg finder en fejl i din teori? - så mister du måske lysten til matematik, og det ka' vi jo ikke ha' - det er nok bedst at vente - men nu glæder jeg mig til at se hvad det er - og så ska' du se det jeg er igang med.

   — Ja!

   — Som sagt havde jeg aldrig overlevet det her lønarbejde, hvis ikke jeg havde mit videnskabelige arbejde, men jeg kan jo ikke lissom dig sidde nede på bageste række og forske uforstyrret - jeg bliver hele tiden forstyrret af visse forstyrrende elementer - deres spørgsmål så man ikke tror sine egne ører.

   — Haha.

   — Det er det der er grunden til at jeg af og til kan virke lidt irriterende - jeg beklager.

   — Nåså det er sådan det hænger sammen!? - så er du tilgivet.

   — Tak - du har sikkert tænkt, at jeg burde lade dig sidde ovre i biblioteket i matematiktimerne, så du kunne dygtiggøre dig i fred, men Niels-Henrik, jeg ka' ikke rigtig undvære dig - jeg ville føle mig så alene uden dig - jeg synes det er så hyggeligt at vi to sidder i hver sin ende af lokalet med hovederne nede i vores formler og med seksten grødhoveder imellem os.

   — Hahaha.

   — Og så er der også andre irritationsmomenter - man ska' være ung mæ de unge - jeg siger dig, det er en plage - tale deres sprog og sætte sig ind i deres ting - jeg har heldigvis en nabo der læser Ekstrabladet, og når han har læst lortet, så lægger han det i vores fælles papircontainer - og dér fisker jeg det op og bladrer det lynhurtigt igennem.

   — Hahaha.

   — Og i går så jeg med stor overskrift at Henning Rasmussen skal slås i aften - og jeg nåede lige at læse, at han engang sendte Bob Jackson til tælling.

   — Haha.

   — Véd du hvem Henning Rasmussen er?

   — Næh.

   — Vær du glad for det - der var et billede af ham - han har sandelig fået nogen på trynen i tidens løb - der var ikke meget fjæs tilbage, så hvis han bliver slået ihjel i aften, så er det kun til hans eget bedste.

   — Hahaha.

Og hvis ondt skal være, mon så ikke denne samtale ville være bedst:

   — Ja, Niels-Henrik, du har også noget på hjertet.

   — Ja, øh jeg har læst om et problem der hedder Goldbachs formodning.

   — Goldbachs formodning? - hvad går den ud på?

   — Den siger at ethvert lige tal er summen af to primtal.

   — Nåh-ja - ja, det ka' jeg godt huske - nåså du har læst om den sætning?

   — Ja, det er jo et uløst problem.

   — Ja - øh stadigvæk?

   — Ja.

   — Og det er det du har læst - i avisen?

   — Nej - jeg fik nogle artikler - jeg ringede til professor Filtbak...

   — Niels-Henrik, for at sige det som det er, Bjørn har anmodet mig om at tale med dig - din indsats her er jo noget ustabil, må man sige - alt det du laver er fremragende, men du laver ikke alt det du skal lave - sig mig, hvad tror du man gør ved sådan en person ude i erhvervslivet?

   — Øh - jeg...

   — Jeg siger det kun for at hjælpe dig - jeg synes det er synd - du misbruger dine evner - du fordyber dig i nogle ting og svigter de øvrige ting - med de evner du har, kunne du virkelig drive det vidt - ligesom din far - det er ikke min opgave at bestemme over dit liv, det er dit og dine forældres anliggende - jeg må blot bede dig om at træffe en beslutning - om det er her det foregår eller om det er andre steder.

   — Jeg vil tænke over det - det vil vise sig i morgen hvilken beslutning jeg har truffet.




Da Niels-Henrik kom hjem den eftermiddag, blev der ikke arbejdet - han faldt i søvn. Men efter at de havde spist, gik han igang. Men entusiasmen var ikke som den var i går. Mærkeligt, for han var da ikke begyndt at tvivle på sit bevis. Han gik igang med at studere figuren. Alle de overvejelser han havde gjort, syntes korrekte. Han skulle finde to faste tal f og g, begge mindre end 1, således at det for arealet af figuren Cn og for x-koordinaten til knækpunktet xn skal gælde at Cn > f og xn > g, når n er tilstrækkelig stor, og således at 3(1 - g) < f. Han lavede et program der udregner 3(1 - xn) og Cn for en række n-værdier:

        n      3(1 - x)    C

    5000     0.380   0.400

    10000   0.343   0.370

    15000   0.306   0.355

    20000   0.320   0.345

3(1 - xn) er ganske rigtigt hele tiden mindre end Cn, men tallene går ret kraftigt ned ad. Hvad nu hvis det fortsætter? Kan tallene fortsætte ned ad og nærme sig mere og mere til 0? Så er f = 0 og g = 1, og så er 3(1 - g) = f. Siden Goldbachs formodning jo er "meget sand", da antallet af opspaltninger af 2n i summen af to primtal vokser ret kraftigt, så skulle man ikke tro at det kan ende med at 3(1 - g) = f, men på en måde kan man godt forestille sig det. Og hvis det er tilfældet, så vil hans bevis være ugyldigt - vil det ikke? Denne usikkerhed har måske spøgt i hans underbevidsthed. I morgen vil han blive hjemme fra skole og tage ind og tale med professor Filtbak.

Næste morgen cyklede han til Humlebæk station istedet for til gymnasiet. Hvad nu hvis Filtbak ikke er der? Så må han ringe til Gert eller også må han tale med en af de andre lærere.

Ja, blev der sagt, da han bankede på Filtbaks dør.

   — Goddag, jeg hedder Niels-Henrik Aphel, jeg...

   — Ja goddav, det var dig der ringede - har du fået artiklerne?

   — Ja - tak - jeg var en dag herinde for at takke for dem, men De var til kongres.

   — Ja - har du læst dem?

   — Ja, den ene - kapitlet fra Ribenboims bog er ikke så svært, men...

   — Hardys artikel er svær - den har du næppe forstået ret meget af - jeg begyndte at læse den efter at jeg havde sendt fotokopien, og jeg forstod kun det allerførste - det er jo kun en løs skitse af hans og Littlewoods meget komplicerede bevis, og jeg kan ikke forestille mig, at én eneste tilhører ved det foredrag har forstået ret meget - der har næppe været megen diskussion bagefter - du er måske også slået helt ud?

   — Næh - ikke helt.

   — Der kan du rigtigt se hvor kompliceret den teori er!

   — Ja - men ingen af de metoder man har anvendt indtil nu, har jo ført til et bevis, måske skal der en helt anden slags metode til.

   — Niels-Henrik, jeg har som sagt ikke meget forstand på Goldbachs formodning.

   — Nej - men der er noget jeg har tænkt på...

Niels-Henrik fiskede sine papirer op af rygsækken. Filtbak kiggede med forundring på disse kurver og formler, og ville gerne høre om hvordan dette er fremkommet. Niels-Henrik spurgte om han kunne viske nogle af formlerne på tavlen væk, og da han havde fået at vide, at ikke noget af det skulle bruges, viskede han alt bort og begyndte sit foredrag.

Filtbak forstod alt - man behøvede ikke at gentage noget.

   — Niels-Henrik, jeg kan sige med sikkerhed at Cn går imod 0 og at xn går imod 1.

   — Jamen? - så bliver figuren tyndere og tyndere - den forsvinder helt væk - det ka' den da ikke.

   — Den bliver tyndere og tyndere, men den er der da hele tiden - Niels-Henrik, lad os nu lige se - figuren skal nok bare bruges på en anden måde.

Filtbak rejste sig og gik hen til tavlen og stod længe og skrev formler. Niels-Henrik kunne slet ikke følge med, det gik så hurtigt og han vidste jo ikke hvad det var Filtbak havde i tankerne.

   — Niels-Henrik, se nu her - det du skal vise, er at

3(1 - xn) < 2Bn

- og det er det samme som at

3(1 - x)/C < 2(B/C)

- og det er det samme som at

3(1 - x)/C < 2/(A/B + 1)

- ja Niels-Henrik! - se nu her! - 3(1 - x)/C er altid mindre end 1, så du skal bare bevise at 2/(A/B + 1) er større end 1, for n tilstrækkelig stor - og det vil gælde hvis A/B er mindre end 1, for n tilstrækkelig stor - du siger at tallene A/B svinger omkring 1, og at de fleste af dem er mindre end 1 - jeg vil påstå, at når man kommer op på meget store n-værdier, så vil alle de tal være mindre end 1 - og det betyder, at arealet A af figurens venstre side er mindre end arealet B af figurens højre side - arealerne kan komme ligeså tæt på hinanden som det skal være, men A vil hele tiden være mindre end B - det er helt sikkert, at beviset for Goldbachs formodning kan deles op i flere problemer som kan formuleres ganske enkelt - sådan som de to påstande her - altså at 3(1 - x) altid er mindre end C, og at areal A altid er mindre end areal B, når n blot er tilstrækkelig stor - det her, det ser virkelig interessant ud! - men Niels-Henrik, lov mig at komme herind hvis noget volder dig problemer - så ser vi på det!

På vej hjem følte Niels-Henrik sig både slået ud og lettet. Det var en ordentlig mundfuld. Tænk, hvis han ikke var taget derind. Det hele er helt anderledes end han havde troet, men Filtbak har måske ret, og nu er problemet jo på en måde forenklet. I første omgang er det bare at lade computeren køre.




Resten af dagen gjorde Niels-Henrik sig helt klart hvordan problemet ser ud under de nye forudsætninger. Jo, der er noget der tyder på at hans figur er den helt rigtige vej til et bevis for Goldbachs formodning, der skal bare en lille kursændring til. I første omgang vil han holde sig til Filtbaks forslag. Det afgørende er at tallene A/B på et tidspunkt altid er mindre end 1. Han vil lade sit program der automatisk udregner A/B køre hele natten. Da tallene jo svinger, fordi de afhænger af n's opløsning i primfaktorer, går det ikke at man får en ny n-værdi ved hele tiden at lægge et bestemt tal til n. Så derfor lod han programmet være sådan, at man får en ny n-værdi ved at lægge et trecifret tal til n, således at de tre cifre er valgt tilfældigt. Han startede med n = 10.000, og alle de tal han så inden han faldt i søvn var mindre end 1 - det ser virkelig lovende ud.

Da han vågnede om morgenen og hørte computeren, fløj han ud af sengen og løb hen og kiggede: "Jamen!? - hva' er det!? - alle tallene er større end 1! - allesammen - det er løgn!" Han snurrede rundt om sig selv og kiggede igen på skærmen. "Det er løgn!"

   — Niels-Henrik - er du oppe?

"Holdkæft kælling - der må være en fejl i programmet - nej, der er ingen fejl!"

   — Niels-Heeenrik - vi spiser nu.

"Holdkæft kælling! - æd dit lort selv! - men tallene er jo ikke langt fra 1 - det største er under 1,06 - hva' ka' der være galt?"

   — Niels-Heeenrik.

"Holdkæft! siger jeg - ka' tallene gå tilbage igen? - de bliver måske ved at vokse?"

   — Niels-Henrik! - se så at komme op! - det er slut med de her forestillinger hver morgen!

"Holdkæft din kraftidiot!" Han trak stikket til computeren ud, åbnede døren, satte foden på den og sparkede til! - af alle kræfter! Der lød et øresønderrivende brag, døren revnede, karmen gik løs fra væggen, et par billeder og en boghylde faldt ned, og farmors porcelænsskilt trillede ned ad trappen. Han skyndte sig at dreje nøglen om og trække sengen hen foran døren. I tre spring var Torben oppe og havde fat i håndtaget:

   — HVA' FANDEN FOREGÅR HER? - VIL DU LIGE ÅBNE.

Niels-Henrik svarede ikke.

   — VIL DU ÅBNE DEN DØR, SIGER JEG.

Intet svar.

Britta var kommet op, og Trine var på vej.

  Britta: La' mig tale med ham - gå I bare ned.

  Torben: Nej fand'me nej! - neeej, har I set der! - hele væggen! - nu flytter I jer fra den dør, den er alligevel ødelagt.

  Britta: Nej Torben! - nu flytter du dig! - det er mig der ta'r affære her!

  Torben: Væk siger jeg! - dine sødsuppemetoder...

  Trine: Det er det jeg har sagt HUNDREDE GANGE - den dreng er syg oven i hovedet!

  Britta: Ja, men hvis han er det, så er det mig der skal tale med ham - Niels-Henrik, vi går nu - der står mad til dig dernede - så, kom I med ned.




Niels-Henrik sad en hel time på sengen - han tænkte ikke på noget. Han ville cykle over til Annie, der var ikke andet at gøre.

Men på vej derover kom han til at tænke på noget - noget der havde spøgt i hans underbevidsthed i den seneste tid. Han havde længe haft lyst til at flytte hjemmefra. Han vil meget hellere bo hos Annie, men det må vente. Derfor havde han tænkt over andre muligheder. Og en dag for en måned siden, da han kørte igennem Uglevej, havde han skimtet et lille hus bag nogle træer. Han havde været der så tit, især som barn, men han havde aldrig bemærket det hus før - måske var nogle af træerne blevet fældet. Han drejede af og kørte ned mod Uglevej.

Da han stillede sin cykel, kunne han se at det lille hus lå på samme grund som en gammel villa, men et godt stykke fra den. Med raske skridt gik han hen imod villaen, og da han var sikker på at ingen så ham, drejede han til venstre hen imod det lille hus. Der var en dør i den side der vendte imod villaen, og da han var kommet bagom huset, var der et vindue som han uforstyrret kunne kigge ind ad. Der var en seng, et skrivebord hvor der stod en skrivemaskine, et par stole og flere tomme reoler - og så stod der en plæneklipper. Han gik hen til villaen og ringede på. En gammel dame lukkede op:

   — Goddag, mit navn er Niels-Henrik - Niels-Henrik Riisbye.

   — Riisbye?

   — Ja.

   — Er du søn af Riisbye? - oppe fra...

   — Ja.

   — Hva'?

   — Ja undskyld jeg forstyrrer - jeg har set at De har et lille hus - det ser ubeboet ud - så var det jeg tænkte, om De måske ville leje det ud.

   — Kom indenfor - Thorkild, det er Torben Riisbyes søn - han spørger om han kan leje Williams hus.

Niels-Henrik kom ind i en mørk stue med gamle møbler.

   — Riisbye? - vi har ikke noget med Riisbye at gøre.

   — Øh, gid jeg kunne sige det samme.

   — Undskyld? - du er søn af Riisbye, siger du?

   — Ja.

   — Han har en datter - vi har ikke hørt om at han har en søn.

Niels-Henrik fortalte det ældre par, hvorfor man aldrig havde hørt om Torben Riisbyes søn. Dette vakte deres interesse, og konen gik ud efter en kop. Niels-Henrik fortsatte sin beretning om denne ukendte side af Riisbye-historien, helt frem til den smadrede dør.

   — Unge mand, det ser ud til at være det lille hus' bestemmelse at skulle tjene som hemmelig bolig for flygtninge - i halvtreds år har en englænder boet i det hus - lige indtil han døde for tre år siden, over firs år gammel - i sit hjemland blev han anset for at være forsvundet, død - men han havde taget et nyt navn, og levede her som forfatter - nu overdrager vi huset til dig - vi modtog ingen betaling fra forfatteren, vi forventede blot at han hjalp lidt til - i haven og med vedligeholdelse - kan du flytte ind på de betingelser?

   — Ja selvfølgelig! - hvornår ka' jeg flytte ind?

   — Jeg synes at det kunne være ganske morsomt, hvis alle dine ting uden undtagelse er væk når dine forældre kommer hjem.

Niels-Henrik kunne ikke forestille sig nogen mere tilfredsstillende fortsættelse af forestillingen i morges. De viste ham huset. Der var brændeovn og petroleumslamper - englænderen ønskede ikke elektricitet, men Niels-Henrik er velkommen til at få en ledning trukket over. Og han kan benytte deres køkken og badeværelse.

Niels-Henrik cyklede alt hvad han kunne. Klokken var kun elleve, så der var masser af tid, men det var fredag, de kom tidligere hjem og det ville være katastrofalt hvis én kom hjem i utide. Han ringede straks til et transportfirma - de kunne være der om en halv time. Alt hvad han kunne finde af papkasser og plastikposer blev hentet op, og alle småtingene blev brokket ned. Og alt blev båret ned - også gardinerne og gulvtæppet. Da alt var nede, gik han rundt i huset og en sidste gang op på værelset, og da han så døren, fik han den idé at tage den med. De kunne ikke bruge den til noget, og han kunne bruge den til brændeovnen. Han hægtede den af og bar den - den var tungere end han havde regnet med - såmeget desbedre.

De gamle morede sig da de så flyttefolkene komme slæbende med døren. Tingene blev stillet i deres gæsteværelse, så huset kunne gøres rent og der kunne blive tapetseret. Manden hjalp med at skære tæppet til og konen syede gardinerne om.

Og først på aftenen kunne han flytte sine ting over, og en time senere kunne han invitere de gamle over og se hvor hyggeligt han havde fået det. Konen insisterede på at han gik med over og ringede til sin moster. Ja selvfølgelig ville han ringe til Annie i dag.

   — Det er Niels-Henrik.

   — Niels-Henrik! - hvor er du!? - din far har været her! - han har gennemrodet hele mit hus! - han sparkede døren op, og jeg var venlig at udlevere døren - jeg forstod ikke et muk.

   — Jeg er flyttet hjemmefra.

   — Ja det kan jeg forstå, men hvor er du?

   — Det vil jeg ikke sige.

   — Du må fortælle mig hvor du er! - du tror da ikke at jeg siger noget til nogen?

   — Jeg bor i et lille hus på Uglevej - det tilhører nogle gam... ældre mennesker.

   — Hvor ringer du fra?

   — Inde fra de ældre.

   — Er de i nærheden.

   — Ja.

   — Lad mig tale med dem.

Annie talte længe med konen, og de udvekslede telefonnumre. Annie ville straks ringe til hans forældre.

Klokken elleve lå Niels-Henrik i sin seng og kiggede op i mørket - og lyttede. Ikke en lyd. Ingen lyd af tv-apparatet nede fra stuen og ingen lyd fra Trines værelse. Og i morgen når man står op, ingen lyd af nyheder og pop. Og ingen der råber på én. At man har kunnet holde de mennesker ud i alle de år. Hva' med gymnasiet? Selvfølgelig går han ikke i skole på mandag - nej, aldrig mere! Nu begynder et helt nyt liv - nu skal der studeres og forskes. Hva' med penge? Han skal jo næsten ikke bruge nogen. Indtil videre må Annie give ham, og så hans mor - de har jo penge nok. Ingen undtagen Annie, skal få at vide hvor han bor.

I de næste par dage blev der ikke forsket. Der var en masse ting der skulle gøres ved huset. Døren og vinduerne skulle males, murværk skulle repareres og en ledning skulle trækkes over - og han ville også gerne vise de gamle at han betalte sin husleje.

Men så kom arbejdet med Goldbachs formodning igang igen. Det går nok med det bevis, havde han tænkt hver gang han var kommet til at tænke på det. Og nu kunne han se at han havde ret. At tallene A/B går imod noget der er større end 1, betyder at 1-tallet i

3(1 - x)/C < 1 < 2/(A/B + 1)

skal erstattes med et tal h lige lidt mindre end 1, og det tal skal han finde. Men grænseværdien for A/B kan ikke være meget større 1. Han prøvede at udregne A/B for en række n-værdier helt oppe omkring 100.000, og alle tallene var mindre end 1,06. Tænk at man har kunnet være så dum. Og tænk, nu kan man arbejde hele dagen - man er ikke skoleelev mere. Nu er man rigtig matematiker - lissom matematikerne i gamle dage der var betalt af en fyrste og kunne lave hvad de ville. Så nemt er det. De andre skal læse lektier i de næste ti år, og så skal de være lønslaver. Penge? Han må finde et lille job. Han kan gøre rent i Annies kirke - eller et andet sted - eller han kan gå med morgenaviser - no problem.




Niels-Henriks mor havde fået hans far dysset ned, og Annie sørgede for at han tit ringede til sin mor. Og snart kunne han vise sig i sit hjem. Til at begynde med kom han kun når hans far ikke var hjemme. Og når han kom og tog afsted, kørte han selvfølgelig altid den modsatte vej end den hvor hans hus lå.

   — Niels-Henrik, jeg har talt med Jørn om dit arbejde - han vil gerne høre om det.

   — En skolelærer?

   — Jørn er en dygtig matematiklærer - han kender godt Goldbachs formodning - vi er inviteret ud til dem i næste uge - jeg synes at du sku' ta' med, og fortælle ham om det du laver.

   — Det kan man ikke sådan fortælle på fem minutter.

   — Har du skrevet noget ned? - sku' jeg ikke lade ham læse den stil du skrev?

   — Joh - og jeg kan skrive noget ned om mit bevis, men han forstår nok ingenting.

Niels-Henrik gik med til at tage med ud til Jørn og Helle. Og han ville komme i morgen med stilen og en redegørelse for sin teori. Han ærgrede sig lidt over at han havde sagt ja - hvorfor skulle han deltage i deres middage med venner. Det blev aftalt at de skulle hente ham hos Annie, og at der ikke skulle siges noget om at han ikke mere bor hjemme eller er gået ud af gymnasiet.

Jørn og Helle havde mødt hinanden ved en fest hos Torben og Britta - Jørn er lærer på Brittas skole og Helle er ansat i Torbens firma. Jørns søn Lars bor hos dem, han går i 3.g - det har sikkert været fem år siden at Niels-Henrik sidst har set ham.

Da de var kommet, daskede Helle på en dør. Musikken blev skruet ned og et ordentligt hyl stak sit kronragede hoved frem.

   — Hej Niels-Henrik! - nåh, ka' du huske hvem der fiskede dig op af voldgraven?

   — Hej Lars - ja, og hvem der smed mig ned i den.

   — Du gled på kanten mand.

Lars nikkede mod et CD-cover som stod op ad afspilleren.

   — Ska' du ind og høre dem?

   — Nej, jeg skal til Ung Nordisk Musikfestival - sammen med min moster.

   — Ung Nordisk Musikfestival? - kommer der nogen kendte?

   — Nej, det siger sig selv - det er komponister under tredive, de kan ikke være kendte.

   — Nå! - og din moster ska' med?

   — Ja, hun er anmelder - for Dansk Musik Tidsskrift.

   — Anmelder?

   — Ja - kender du Dansk Musik Tidsskrift?

   — Næh - jeg køber Rock-Nyt - nåså der er også noget der hedder Dansk Musik Tidsskrift.

Helle stak hovedet ind og sagde at der er serveret.

Under middagen måtte Niels-Henrik underholde sig med Lars så godt han kunne - gymnasiet, lærerne, fremtiden. Lars vil på Journalisthøjskolen i Århus, men der er mange ansøgere. Niels-Henrik vil studere matematik, hvis evnerne er til det - han har nogle udregninger med som Lars' far skal kigge på. De voksne talte om firma og film og ferie, og Niels-Henrik så tiden for en god samtale med Jørn skrumpe mere og mere ind. Men på et tidspunkt talte Torben firma-anliggende med Helle og Britta skole-anliggende med Jørn, og pludselig sagde Jørn:

   — Niels-Henrik, jeg har lavet et eksperiment med din stil - jeg viste den til en af vore dansklærere, og sagde at den er af en 1.g-elev, og bad ham vurdere den.

   — Ja, hva'?

   — Han ville ikke give nogen karakter.

   — Nå!

   — Ja ikke fordi den er dårlig - tværtimod - men han siger, at han af princip ikke giver karakter for noget han ikke forstår.

   — Ikke forstår?

   — Ja bevares, han ville kunne forstå den, hvis han læste den flere gange, men en lærer ska' ikke læse tingene mere end én gang.

   — Den er da ikke svær - den er da ikke sværere end en avisartikel, men en lærer kan måske ikke læse en avis?

Alle lo - det vil sige Lars havde forlængst forladt selskabet, man kunne høre fjernsynet - og Torben lytter altid når lærere kritiseres.

  Jørn: Hvis du tænker på de artikler som visse folk skriver - folk med en universitetsuddannelse men uden journalistisk uddannelse - i Information og Weekendavisen - ja - men mange af de artikler hører ikke hjemme i en avis, de hører hjemme i et fagtidsskrift.

  Niels-Henrik: Jeg læser dem da.

  Jørn: Ja, men forstår du dem?

  Niels-Henrik: Gør det noget at man skal læse noget et par gange?

  Jørn: Nej, ikke når det gælder en artikel i et fagtidsskrift - men af en artikel i en avis kan man godt forlange, at den er skrevet så folk med en ganske almindelig skoleuddannelse kan forstå den, uden at skulle læse ting flere gange og have ordbøger fremme - det er faktisk ikke nødvendigt - det er snobberi.

  Torben: Jamen Jørn, du fornægter vel ikke betydningen af snobberi? - hvor ville menneskeheden befinde sig, hvis vi ikke var forsynet med denne kraft til at drive os frem? - frem mod de ædle sager og bort fra hobens forlorne ragelse.

  Jørn: Den økologisk gulerod jeg har hængende foran mig, den bringer mig ganske udmærket afsted.

  Torben: Måske, men hvorhen? - til fodboldkamp og rockfestival - næh ser du, min søn her og hans moster de har sjældne trøfler hængende i snoren - de skyder en ganske anden fart end du og jeg - de ska' til seriøs musikfestival i denne uge - de ska' høre værker som man først har hørt når man har hørt dem ti gange - ærgerligt bare, at de kun kommer til at høre dem én gang - men dig, du har ikke noget at klage over, den musik du hører og de artikler...

  Britta: Øh Jørn, du fortalte at du kender Goldbachs formodning.

  Jørn: Ja, men Niels-Henrik, jeg tror at du har misforstået problemet lidt - ser du, når det gælder problemer indenfor talteorien, så skelner man mellem elementære beviser og funktionsteoretiske beviser - i et elementært talteoretisk bevis må man kun benytte de naturlige tals aksiomer, men ikke de reelle tals egenskaber - og altså ikke differential- og integralregning - du véd sikkert hvordan Euklid beviste at der er uendelig mange primtal - det gjorde han elementært - men idag findes der masser af beviser hvor man bruger den højere...

  Niels-Henrik: Du mener altså at Goldbachs formodning er bevist, og at det uløste består i at man ikke har fundet et elementært bevis?

  Jørn: Ja, ganske rigtigt.

  Niels-Henrik: Hvem har givet et funktionsteoretisk bevis for Goldbachs formodning? - og hvornår?

  Jørn: Ja det ka' jeg ikke lige svare på - det burde du jo vide.

  Niels-Henrik: Har du ikke et matematik-leksikon?

  Jørn: Ikke her - vi har et på skolen.

  Niels-Henrik: Du har altså ikke taget stilling til min metode?

  Jørn: For det første erkender du jo, at du ikke har bevist Goldbachs formodning, og for det andet bruger du rask væk den højere matematiks begreber - grænseovergange.

  Torben: Hahaha - da jeg gik i gymnasiet, havde vores matematik-geni løst et berømt problem - Fermats problem hed det vist - han satte hele gymnasiet på den anden ende - alle skulle være vidne til denne historiske begivenhed - han måtte holde sit foredrag flere gange - og han havde sendt sin smukt indbundne afhandling til Universitetet, men vi fik aldrig lov til at se det svar han fik! - hahahahahahahahahaha.

Det var Britta der måtte køre.

  Niels-Henrik: Jeg synes du sagde at han er dygtig - havde fattet ligeså lidt, hvis det var hans egen søn der havde skrevet det?

  Britta: Der er vist ingen fare for at den søn kaster sig over noget alvorligt.

Torben sagde ikke noget.




Professor Filtbak lo fornøjeligt den næste dag, da han havde hørt om Niels-Henriks besøg hos skolelæreren:

   — Niels-Henrik, han er sikkert en dygtigere lærer end de fleste - når din mor nu siger det - og det med elementære beviser og "funktionsteoretiske" beviser, er der noget om - joh, han har bladret i det leksikon de har på skolen, men han har ikke nogen videre træning i matematisk tænkning - og siden han ikke talte om indholdet af din stil og dine papirer, så kan vi roligt gå ud fra at han ikke har forstået noget - og det fatter du til gengæld ikke, men du må huske på, at du er på et helt andet niveau end han er, og der er ikke noget der er mere uforståeligt for os mennesker, end at andre ikke forstår noget vi selv synes er indlysende.

   — Ja, men sådan en lærer kan da ikke inspirere eleverne til at interessere sig for faget.

   — Nej ved Gud, men det skal han jo heller ikke - han skal bare banke lidt brøkregning ind i knolden på dem, så de kan blive ekspederet videre - man undrer sig over at der vedbliver med at være unge der interesserer sig for matematik.

   — Er der det?

   — Ja, vi har et par stykker.

   — Men der var flere før i tiden?

   — Lad os sige det på den måde, at før i tiden var det at studere matematik en drøm der gik i opfyldelse for én ud af ti studerende, idag er det for én ud af hundrede, men da der idag er ti gange så mange studerende, så antallet er det samme.

   — Hvad vil de studerende med deres uddannelse? - være gymnasielærere?

   — Næh, idag er det mere erhvervslivet der trækker.

   — Jamen hvad laver en matematiker i erhvervslivet - helt konkret?

   — Alt muligt - inde i biblioteket ligger deres specialer - prøv at bladr' i dem - et af dem er en analyse af Hovedstadens Trafikselskabs handicapkørsel.

   — Haha - han har da sikret sig en arbejdsplads.

   — Netop! - Niels-Henrik, vi må stoppe for i dag, jeg skal holde forelæsning om fem minutter - a propos de stakkels skolelærere - en dag skal jeg vise dig en kasse vi har nede i arkivet - den indeholder de breve vi i tidens løb har fået fra folk der har løst uløselige problemer - herlig lekture, ærgerligt at folk ikke mere giver sig af med den slags - det er især cirklens kvadratur og vinklens tredeling de har løst - og det er især skolelærere der er bidragydere - men spøg tilside, jeg har på det seneste erfaret, at man skal være varsom med at gøre sig lystig over andres dumhed - jeg blev stillet nogle ubehagelige spørgsmål angående de irrationale tals natur - det er én der skriver på en bog om matematikkens filosofiske problemer...

   — Ja, det er én der hedder Gert.

   — Ja.

   — Der var en annonce i FAMØS - jeg ringede til ham - jeg har læst det meste af hans bog - og jeg brugte noget af det i en stil.

   — En stil? - i dansk?

   — Ja, et af de emner vi kunne vælge imellem, handlede om forskellen på realisme og idealisme - men det er en forældet måde at se problemet på, men det véd en gymnasielærer åbenbart ikke - idag skelner man mellem realisme og anti-realisme.

   — Javel - man sku' måske sætte sig lidt ind i de ting - han havde spurgt nogle af lærerne her, hvordan de forestiller sig at et irrationalt tal kan se ud - han var rystet over de tåbelige svar han fik.

   — Ja, han taler om beskrivelige og ikke-beskrivelige tal.

   — Ja, vi forestillede os allesammen at ethvert tal kan beskrives - måske ikke i praksis, men ihvertfald i princippet.

   — Og i virkeligheden er det kun en uendelig lille del af alle tallene der kan beskrives - de ikke-beskrivelige ting er bare symboler - de optræder som variable i udsagn - det er noget med, at hvis man skal bevise at der findes en genstand som opfylder en bestemt betingelse, så er den måske ikke konstrueret - den kan måske ikke konstrueres - så skal det bevises at den eksisterer, og så er det gerne sådan at den afhænger af en variabel x - lad os kalde genstanden f(x) - så har man vist at f(x) opfylder den betingelse den skal opfylde, hvis x opfylder den og den betingelse - og så viser man at der findes et x som opfylder den betingelse - men x er måske ikke en beskrivelig genstand, den indeholder variable, så derfor er den uden konkret indhold.

   — Bevarmigvel - der er virkelig noget man må sætte sig ind i - ja tænk engang, vi beskæftiger os med tal fra morgen til aften, år ud og år ind, og vi véd ikke hvad et tal er - forresten, jeg så lige Gert! - han er nok inde i biblioteket - vil du ikke hilse på ham?

   — Jo.

Filtbak åbnede døren til biblioteket og pegede på en langhåret mand som bladrede i et tidsskrift.

   — Goddav, jeg hedder Niels-Henrik Aphel.

   — Goddav, Niels-Henrik...

   — Jeg har lige talt med professor Filtbak - han syntes at jeg skulle hilse på dig.

   — Ja, men lad os gå ned i Vandrehallen - vi kan ikke tale her.

Gert bød Niels-Henrik på kakao og kage fra kantinen, og de bar deres bakker ned for enden af Vandrehallen hvor der var ro. Niels-Henrik fortalte om sit arbejde med Goldbachs formodning.

   — Du mener altså, at A/B går imod et tal som er lige lidt større end 1, og at der er et tal h < 1 således at 3(1 - x)/C < h og h < 2/(A/B + 1) - når man kommer tilstrækkelig højt op?

   — Ja - det mener Filtbak også.

   — Jeg tror ikke at et sådant tal h eksisterer.

   — Selvfølgelig eksisterer h da - h må da eksistere - det er jo grænseværdien af såvel 3(1 - x)/C som 2/(A/B + 1) - og for meget store n-værdier ligger de tal lige lidt under 1.

   — Hvad forstår du ved en meget stor n-værdi?

   — 100.000.

   — Det er ikke nogen stor n-værdi.

   — Det er det da - det tager flere timer at regne ét eneste tal ud.

   — Det må være en langsom computer du har, men selvom du havde den hurtigste man kan få, ville det ikke hjælpe dig ret meget - du skal op på tal af en helt anden størrelsesorden - hvad mener du at tallet A/B konvergerer imod?

   — Et tal lige lidt større end 1 - under 1,1.

   — Jeg vil påstå at A/B konvergerer imod uendelig - og at tallet h er 0.

   — Neeej! - det er da helt vanvittigt! - undskyld, jeg tror ikke du helt har forstået teorien - den er også lidt svær - jeg troede først at A/B går imod 1, og det mente Filtbak også, men så viste det sig, at når man kommer op på meget store n-værdier, så kommer A/B en lille bitte smule forbi 1 - omkring 1,06 - jeg gætter på at grænseværdien er under 1,1.

   — Ja jeg påstår som sagt, at grænseværdien er uendelig - hvis vi nu antager at A/B vokser med samme hastighed som logaritmen til logaritmen til n - den væksthastighed ser man da tit indenfor talteorien.

   — Øh ja... men sådan er det ikke her - Filtbak...

   — Filtbak har ikke forstand på talteori.

   — Nå - men A/B kan da ikke vokse mod uendeligt - det ville betyde...

   — At hvad?

   — At venstre side af figuren... øh...

   — Véd du hvad Niels-Henrik? - tag du og blæs på venstre side af figuren - den har i virkeligheden ingen betydning - det er i højre side af figuren at alt det interessante sker - og har du lagt mærke til, at hvis vi har et tal k som bidrager til højre side - altså kvad(k) + kvad(2n-k) > n - så må mindst et af tallene k eller 2n-k være et primtal?

   — Øh... nej.

   — Hvis både k og 2n-k var sammensatte tal, ville der opstå en modstrid - prøv selv at eftervis det! - antag at k er sammensat, så kan du se at 2n-k må være et primtal - helt uden at skrive noget ned.

   — Øh...

   — Og det medfører en betydelig forenkling.

   — Ja - er det virkelig rigtigt?

   — Ja - og udfra den egenskab kan du helt sikkert nå frem til en interessant ulighed ved at studere højre side af figuren - det ka' jeg se - det er det næsten retliniede stykke op til det vandrette liniestykke, der er påfaldende - i den højre side går værdierne fra 1 til 2, og det retlinede betyder, at hvis man deler intervallet fra 1 til 2 op i lige store dele, så vil der i hver af delene ligge næsten ligemange tal - og det er virkelig overraskende, for tallene ligger jo i virkeligheden kaotisk, grunden til at din kurve stiger jævnt, er at du har ordnet tallene efter størrelse - men selvom man ikke gør det, så er der alligevel en streng orden i dem - jeg kan slet ikke se hvad grunden kan være, og så tilskyndes man jo til at studere fænomenet.

   — Ja!

   — Der er jo næppe nogen der har studeret den figur.

   — Nej!

   — Vi må mødes engang imellem - jeg må høre om hvad du finder ud af.

   — Ja.

   — Jeg tror at du er den eneste på din alder som arbejder med matematik på professionelt niveau - det er vist kun indenfor musikken man finder den slags unge - øh forresten, Aphel, siger du du hedder? - du er ikke i familie med Annie Aphel? - fra radioen.

   — Jo, det er min moster!

   — Ja - ja jeg læser hendes artikler i Dansk Musik Tidsskrift, og jeg ser hende ved koncerterne.

   — Skal jeg hilse hende?

   — Hun kender mig vist kun af udseende - hun véd nok ikke hvad jeg hedder - jeg tror også jeg har set dig et par gange.

   — Det er højst sandsynligt - nåså du interesserer dig for moderne musik? - interesserer de andre matematikere sig også for den musik, tror du?

   — Nej - næh Niels-Henrik, deres faglige dygtighed må vi beundre, men mennesker der er kultiverede i gammeldags forstand, de er blevet en stor sjældenhed - og det er ikke mere blandt de store videnskabsmænd at man finder dem - jeg har talt med flere af de ansatte her om musik - det meste avancerede nogen havde hørt var Carl Nielsens femte.

Niels-Henrik fortalte om sit besøg hos en skolelærer.

   — Niels-Henrik, den lærer er måske ikke så elendig som du gør ham til - da jeg gik i skole fik vi at vide, at kun yderst få mennesker er istand til rigtigt at fatte teorien for logaritmer - glimrende lærer, han fik mig til at interessere mig for matematik - hos ham fik man da respekt for faget - øh den bog jeg har skrevet, den startede faktisk med at bestå af tre bøger - der var også en for folkeskolen og en for gymnasiet - jeg ville bidrage til at rette lidt op på skaderne - men ak, det er for sent, måtte jeg erfare - jeg er ihvertfald ikke kvalificeret - de må virkelig ha' fået sig et billigt grin på Gyldendal, da de så min bog for folkeskolen - men de gik med til at udgive den, til brug i gymnasiet, hvis jeg forkortede og forenklede og havde mindst en illustration på hvert opslag - sådan noget havde jeg slet ikke tænkt på - jeg havde skrevet en matematikbog som henvender sig til enhver matematikinteresseret, og som ikke er sværere, end at en skoleelev kan forstå det meste af den - men jeg var spændt på hvad der skete - man satte en gymnasielærer til at være konsulent, og hans ideal af en skolebog var lige det modsatte af mit ideal - jeg var så chokeret over hans "forbedringer", at jeg trak bogen tilbage - situationen svarer til, at man havde sat en marxistisk historiker til at være konsulent på en bog skrevet af en konservativ historiker.

   — Ja - må jeg se den bog?

   — Den ligger på Internettet - du ska' få adressen [tyve år efter at denne samtale, fandt Gert sin historie frem og udvidede den betydeligt, den har titlen "Pythagoræernes sidste dage i Kroton" og den er udgivet på forlaget TRYKVÆRKET].

   — Hvad handler den om?

   — Om de irrationale tal - det er en lille historie der foregår på Pythagoras' tid.

   — Den handler vel om det forfærdelige chok de fik, da de opdagede at deres tro er forkert - de troende jo at der til alle de grundlæggende fænomener er knyttet tal eller talforhold - men forholdet mellem diagonalen og siden i et kvadrat kan ikke udtrykkes ved et talforhold, de kendte jo ikke til irrationale tal.

   — Ja, lidt i den retning - pointen i min historie er, at Pythagoras udmærket var klar over det inkommensurable, men hans problem var at få forholdet mellem diagonalen og siden i den regulære femkant - som er det meste guddommelige forhold der findes - det vi kalder "Det gyldne snit" - til at blive det smukkeste af alle forhold, men jo mere man tilnærmer det med tal, jo grimmere bliver tallene, for tæller og nævner bliver jo større og større - skønheden kan altså ikke komme til at ligge i tilnærmelsestallene, den må ligge i metoden til at udregne dem og i måden de nærmer sig til det gyldne forhold, og det er en sådan guddommelig talrække han kæmper desperat for at finde - men Niels-Henrik, det har aldeles aldrig chokeret nogen at erkende, at liniestykker kan være inkommensurable - hvornår og hvordan sådanne skrøner er blevet sat i omløb, er ikke let at vide - men at der stadig er folk der tillægger dem autentisk oprindelse, er utilgiveligt - tænk engang, i en helt moderne gymnasiebog kan forfatterne i ramme alvor skrive, at "opdagelsen var lammende for pythagoræerne, hele grundlaget for deres livs- og verdensanskuelse var skudt i sænk", og at "medlemmerne af de pythagoræiske fællesskaber skulle sværge på ikke at røbe de 'uudsigelige' liniestykkers eksistens til udenforstående".

   — Hvad er det for en bog?

   — Den hedder vist noget med "Tal & Tanke" - forfatterne citerer helt ukritisk nogle udtalelser fra den tidlige middelalder, altså tusind år efter Pythagoras.

   — Det er måske bare for at gøre det så dramatisk som muligt.

   — Ja dengang, i middelalderen - men idag skal sådanne påstande da kommenteres - især i en skolebog - i mit eksemplar har jeg ændret bogens titel til "Tal & Tankeløshed".

   — Haha.

   — Det er da indlysende, at overalt hvor man seriøst har udforsket matematikken, altså tænkt længere end det rent praktiske, der har man lavet præcise udmålinger af forholdet mellem diagonalen og siden i et kvadrat - og nogle har fornemmet, at et nøjagtigt tal ikke findes - nu var der jo også det ved det, at dengang skrev man gerne en brøk som en sum af stambrøker, og man kunne ikke altid få den præcise værdi på den måde, men de må da alligevel have fornemmet at der er noget galt - hvis kvadratet har siden 1, så skulle diagonalens længde være en brøk som ganget med sig selv giver 2, og en sådan brøk findes ikke - og hvis de har kendt til en systematisk metode til at udregne tilnærmelser - og en sådan kan opdages på et tidligt stadium - så har de erfaret, at udregningerne gentager sig selv og kan fortsættes i al evighed - og pythagoræerne har selvfølgelig da sammenlignet diagonalen og siden i den regulære femkant, og så har de fået bekræftet deres opfattelse, at den figur er den mest guddommelige af alle geometriske figurer.

   — Ja! - udregningerne fører jo til en uendelig kædebrøk som kun består af 1-taller - men tror du at pythagoræerne skelnede skarpt mellem en figur i fysisk forstand og i idealiseret forstand? - altså sådan som vi gør?

   — Enhver der filosoferer over geometriske figurer, kan slet ikke undgå at få ideen "idealiseret figur" - på Platons tid hundrede år senere, blev matematikkens genstande jo betragtet som tilhørende en verden af abstrakte ideer.

   — Ja, men hvad er det så din historie handler om?

   — Vil du høre den?

   — Ja!

   — Men så skal jeg først lære dig et lille spil - ét hvor du kan være sikker på altid at vinde.

   — Det lyder godt! - så har jeg et levebrød!

Gert fiskede en æske tændstikker op af tasken og hældte en masse tændstikker ud på bordet og fordelte dem i to bunker - bunkerne skulle være så store, at man ikke kunne se hvormange tændstikker der var i dem. Og han forklarede Niels-Henrik spillets regler: der skal være to spillere og de skal trække lod om hvem der skal begynde, derefter skal de skiftes til at tage tændstikker fra bunkerne. Spilleren må selvom hvormange tændstikker han vil tage og fra hvilken bunke, men hvis han tager tændstikker fra begge bunker, så skal han tage lige mange. Den spiller der tager de sidste tændstikker har vundet.

Niels-Henrik og Gert spillede dette spil flere gange og hver gang vandt Gert.

   — Jeg kan se, at når en af bunkerne er blevet tilstrækkelig lille, så tæller du hvor mange tændstikker der er i den - du har lært nogle tal udenad.

   — Ja netop - og nu må du høre min historie - vi er tilbage ved år 500 før Kristi fødsel - udenfor byen Kroton i Syditalien har Pythagoras på sine gamle dage grundlagt et hemmeligt broderskab - og de fromme og mådeholdne pythagoræere er meget forargede over det syndige liv som indbyggerne i Kroton lever - og på det seneste er forholdene blevet endnu værre, og det skyldes tilsyneladende, at et spil med mønter er blevet voldsomt populært, og at der spilles om store pengebeløb - men så er der pludselig en dreng som vinder overalt hvor han spiller - han havde gjort noget som ingen andre havde tænkt på: han var gået til oraklet i Delfi og spurgt præstinden Pythia hvordan man kan vinde i spillet - og hun havde svaret, i gådeform, at han skulle gå til "Den gyldne Allé" der fører til pythagoræernes kloster - denne allé er åbenbart belagt med fliser i to slags rækker - nogle rækker bestående af korte fliser og andre rækker bestående af lange - for dér skal han på hver af de korte fliser lægge en mønt fra den lille bunke til der ikke er flere, og så skal han borttage ligeså mange mønter fra den store bunke som der er mønter i den lille bunke, og lægge en mønt fra den resterende bunke på hver af de lange fliser til der ikke er flere - og hvis de to rækker af fliser med mønter når lige langt, uden at de korte fliser dog når forbi de lange, så kan han altid vinde spillet - du må selv filosofere over hvordan man udfra den gåde, kan nå frem til den talrække vi kommer til nu...

   — Navnet "Den gyldne Allé" hentyder vel til at forholdet mellem de lange og de korte fliser er det gyldne snit.

   — Ja selvfølgelig - nå, men drengen tager ud til Den gyldne Allé, og han har en pind og en kniv med, så han kan afmærke længden af de korte og de lange fliser - og han går hjem og laver en tegning af to parallelle linier med inddelinger, og han får løst gåden - og der går ikke lang tid førend han bliver kåret som den største mester og har en svimlende indtjening - og han tænker selvfølgelig slet ikke på, at han har bragt sig i livsfare, men det gør hans familie - og de bringer ham ud til pythagoræernes svært befæstede kloster, for pythagoræerne er jo interesserede i alt hvad der har med tal at gøre, så de vil nok give ham asyl, hvis han fortæller dem om spillets hemmelighed - pythagoræerne kan naturligvis aldeles ikke forestille sig, at talforholdene i dette syndige spil kan være særlig kønne, men de vil gerne høre nærmere - og så hører de at spillet har at gøre med deres gyldne allé...

   — Haha.

   — Men Pythagoras giver tegn til sine disciple om ikke at vise sindsbevægelse, og han imødekommer drengens ønske om at få bragt en tavle - og på den skriver han denne række af talpar som kan fortsættes i det uendelige:

    1  2

    3  5

    4  7

    6  10

    8  13

    9  15

Når man kan de første seks-otte talpar i denne række udenad, så kan man altid vinde spillet, fortæller han - forudsat altså at modparten ikke kender rækken - man skal bare sørge for at tage så mange mønter hver gang det er éns tur, at antallet af mønter i de to bunker forekommer i rækken af talpar, og det vil altid kunne lade sig gøre - med mindre at antallet af mønter i de to bunker allerede er i rækken af talpar, men det er ikke sandsynligt hvis der er mange mønter i bunkerne - den besynderlige talrække har beroliget Pythagoras lidt, og han beundrer drengen for hans skarpsindige løsning af Pythias gåde - og tilgiver ham at han har spillet dette spil, han er jo så ung - og Pythagoras tilbyder ham, at han kan blive i klosteret indtil hans familie skønner at han er uden for fare - men da drengen har været der i nogen tid, opdager han, at han nu er i større livsfare end før - han stifter bekendtskab med pythagoræernes lære om tallenes og de geometriske figurers hellige betydning - blandt andet lærer han, at den mest guddommelige figur der findes, er den regulære femkant med dens diagonaler:

- og det går op for ham, at hans række af talpar i allerhøjeste grad har forbindelse til denne figur: forholdet mellem de to tal i talparrene - 2/1, 5/3, 7/4, 10/6, 13/8, ... - vil nærme sig mere og mere til forholdet mellem diagonalen og siden i femkanten - har Pythagoras også opdaget det? - da Pythagoras foreslår, at han lader sig optage i deres broderskab trods sin altfor unge alder, så indvilliger han - han har ikke noget valg - og så er det at Pythagoras, takket være ham og hans spil, får ideen til en smuk talrække som fører til en række af brøker der konvergerer harmonisk imod det gyldne snit - nemlig fibonacci-rækken

1  1  2  3  5  8  13  21  34 ...

- forholdet mellem to på hinanden følgende tal i den række, konvergerer jævnt imod det gyldne snit, det gør forholdet mellem tallene i spillets række ikke.

   — Det er en virkelig genial historie - men hvor har du det med spillet og dets teori fra?

   — Det er du den første der spørger om - jeg har selvfølgelig ikke selv opfundet og analyseret spillet - det er sikkert ældgammelt, og det er forlængst undersøgt på alle leder og kanter - den første afhandling er fra 1907, af én der hedder Wythoff - i min bog har jeg forresten en opgave som er inspireret af Goldbachs formodning - udfra rækken af talpar kan man danne to rækker af tal, nemlig tallene i venstre og højre kolonne:

1  3  4  6  8  9 11 12 14 16 17 19 21 ...

2  5  7 10 13 15 18 20 23 26 28 31 34 ...

- læg mærke til, at de to rækker tilsammen udgør alle de naturlige tal - opgaven lyder: kan ethvert tal skrives som summen af et tal i den første række og et tal i den anden række? - for eksempel kan tallet 17 skrives som 17 = 4+13 = 12+5 - men kan alle tal opspaltes på den måde? - nej! - for eksempel kan 12 og 20 ikke opspaltes - men hvilke andre?

   — Øh det var en bog for folkeskoleelever?

   — Nej, det var som sagt en bog om en interessant matematisk teori for enhver matematikinteresseret - og den teori er ikke vanskeligere, end at en elev i folkeskolens ældste klasser kan forstå en stor del af den - jeg mener, at der i en skolebog gerne må være stof - ja der skal være stof - som eleven må anstrenge sig for at forstå - og der må også godt være stof som kræver særlige forudsætninger - i min bog skulle teorien for spillet præsenteres i sin helhed, også selvom kun de færreste ville kunne forstå alt, det drejer sig kun om nogle få sider - i enhver lærebog må der gerne være stof, som eleven ikke skal kunne eller må vente med at kunne forstå til et senere tidspunkt - ja jeg har endda den opfattelse, at enhver bog skal have kvaliteter som gør at man senerehen kan få lyst til at vende tilbage til den - der er noget deprimerende ved ting der kun er skabt til et kort liv - ihvertfald for visse ting virker det imod tingens natur.

   — Ja, jeg siger det samme - men hvad var det i bogen der skulle skæres ud i pap?

   — Jeg havde for eksempel skrevet "lad a og b være to rationale tal således at 1/a + 1/b = 1" - men så skulle jeg vise ved et eksempel hvad a og b konkret kan være - den slags kan virkelig ikke være rimeligt i et gymnasium - og alle opgaver der var for svære til at de fleste elever kunne løse dem, skulle fjernes - og et lille computerprogram skulle fjernes - de svage sjæle i klassen må ikke se sådanne ting.

   — De ku' jo være gavnlige for de stærke sjæle.

   — Til det ville de vel sige, at den stærke sjæl er stærk fordi han har særlige evner eller kommer fra et særligt miljø, og så...

   — Og så klarer han sig jo nok.

   — Netop - næh Niels-Henrik, når man har haft sådan en gymnasielærer på nakken, så kommer man til at værdsætte sine rigtige fagbøger og fagtidsskrifter, hvor fagfolk skriver for fagfolk - men du har jo selv lige oplevet hvor irriterende det er, at skulle være mere pædagog end rimeligt er.

   — Ja mon ikke - men hvad nu med den opgave? - Goldbachs formodning for de to talrækker - burde en folkeskoleelev kunne løse den?

   — Ja, hvis han følger pythagoræernes eksempel og sætter sig til at meditere over tallene i de to rækker - så vil han se at der er noget særligt ved tallene 12 og 20 - og også 4 og 7 - og hvis han fortsætter, vil han se at de næste tal der opfylder betingelsen er 33 og 54 - og når han skriver de tal op efter størrelse:

1   2   4  7  12  20  33  54 ...

- og mediterer videre, så vil han se at den række er dannet efter en ganske enkel regel.




En dag da Niels-Henrik havde været væk fra gymnasiet en månedstid, mødte han Mads på vejen.

   — Hej Niels-Henrik! - hvor bli'r du af? - bor du ovre hos din moster?

   — Ja.

   — Kommer du slet ikke mere?

   — Nej - efter nytår tager jeg til Frankrig - jeg skal have en studentereksamen i Frankrig - den er mere værd.

   — Nå - men kommer du ikke over en dag? - forresten der er fest i aften på gymnasiet! - vil du ikke med? - det er "The Assholes" der ska' spille.

Niels-Henrik havde ikke været sammen med jævnaldrende i en hel måned. Han savnede alligevel sine kammerater lidt, og han havde arbejdet så meget, så han sagde ja. Og måske møder han en pige. Han ville komme over til Mads klokken syv.

Mads havde aftalt med Kasper, at de skulle komme over til Kasper - dér ville nogle andre også møde op, og så ville de tage bussen derned. Han drak et par øller inden han tog hjemmefra. Han ærgrede sig over at han havde fundet på det med Frankrig - det må han også sige til de andre, og så begynder de vel med franskbogen. På den anden side, nej - i deres verden er tingene hurtigt glemt - slår man en skid for åben skærm, så står det i formiddagsbladene dagen efter, men dagen efter igen er det glemt.

Der stod en del flasker på bordet i Kaspers værelse og stemningen og musikken var høj. Alle var overraskede over at se Niels-Henrik, men det var nok at sige at han bor hos sin moster og at han skal gå i gymnasiet i Frankrig.

På vej ned ad trappen:

  Nalle: Fandens, jeg har sgu ikke mere end en hund.

  Niels-Henrik: I ka' bare holde jer i nærheden af mig - jeg huggede lige et par tusser i den gamles pung - det opdager han sgu ikke.

Ved stoppestedet:

  Kasper: Niels-Henrik! - hvorfor har du ikke taget din mor med? - hende er der sgu riisstiil over - ikke lissom de her discountvarer.

  Rikke: Åh, hva' tror du du er?

  Jakob: Hans mor har nok været vidt omkring - hans rigtige far er vel en af hendes gamle elever.

  Sofie: Hvor dum ka' man være? - dengang var hun ikke engang begyndt på seminariet.

  Jakob: Så'r hans far Prins Henrik, eller en anden franskmand.

  Sofie: Prins Henrik mødte hun først da Torben var kendt.

  Jakob: Der'r én der kender til de kendte - Niels Henrik! - hvem er din rigtige far?

  Niels-Henrik: Det er min farfar - han døde af en blodprop lige da sæden sprøjtede - jeg slog ham ihjel.

Hele flokken lo.

  Pip: Det derfor Torben slagtede sin fars firma.

I bussen kastede de sig indover de bageste sæder - Niels-Henrik ved siden af Beatrice.

  Jakob: Og så var der manden der var til tandlæge, og tandlægen sagde: nåh, du har nok slikket kusse, hva'? - øh hva', sagde manden, sidder der et kussehår imellem tænderne? - nej, men du har lort i næsen.

Brølende latter. Niels-Henrik skævede imod Beatrice - hun kiggede ud ad vinduet. Pip rejste sig og satte sig længere frem, alle vidste at han ville tænde sin snadde, så han ku' blive smidt af når han alligevel sku' af. Det hedder sig at det er pulveriseret tagpap han stopper i den. "Ryger Pip ryger pap", mumlede Niels-Henrik. Det var kun Beatrice der hørte det, hun lo. Hun har en sød latter - og hun er ikke så højrøstet. Han vil holde sig til hende. Det er godt man har fået de øller - nu skal stemningen bare holdes ved lige.

Der stuvende fuldt da de kom ind, og musik og lys og folk var allerede på fuldt omdrejningstal. Niels-Henrik tilbød at hente en øl til Beatrice. Da han havde fået øllerne, gik han ud midt på dansegulvet og holdt Beatrices øl højt tilvejrs. Hun banede sig vej frem til den.

Niels-Henrik havde det elendigt da han vågnede næste formiddag. Han havde drukket for meget - og så musikken og lyset og alle de mennesker. Men der var Beatrice. Han kunne huske at han sagde til hende hvor han boede, da de gik ned til bussen - han sagde hvor hans forældre boede. Hvorfor fanden gav han sine forældres adresse, og ikke Annies? Hun ville komme, sagde hun. Hvor er hun sød - helt anderledes end Trine. Men hvordan mon hun er - interesserer hun sig mon for noget? Han ville ikke spørge. Hvad snakkede de om? Han husker det ikke - jo, han sagde, at han ikke ville ind i sin fars firma, han ville studere matematik - hun ville vist studere dansk.




En dag da Niels-Henrik var oppe på loftet i sit hus for at hente noget, opdagede han, at et af gulvbrædderne var sat fast i den ene ende med skruer istedet for søm. Underligt, der var søm alle de andre steder. Han gik over og hentede en skruetrækker. Da skruerne var løsnede, kunne brædtet løftes fem-ti centimeter op, og han kunne lige få en hånd ned. Der lå noget! - en bog! Han fik den lirket op - den var ikke så tyk. Den var på engelsk og hed "Order at any Price" - forfatteren hed Victor Pitt. Det må være ham englænderen der har skjult den - men hvorfor? Hvad handler den mon om?

Resten af dagen læste han i den. Det var en sandfærdig beretning om forholdene på en opdragelsesanstalt - det foregik i 30'erne. Børnene blev torteret, men ingen greb ind. Skolen lå meget afsides og ingen interesserede sig for børnene. Der var hårdt fysisk arbejde og et minimum af undervisning. En dreng som ikke arbejdede nok, døde tilsidst. De forskellige metoder lærerne anvendte til at opretholde disciplin blev nøje beskrevet. Niels-Henrik havde en frygtelig nat. Han fik sine kønsorganer vredet og han blev proppet ned i et hul under gulvet hvor han slet ikke kunne bevæge sig, men han arbejdede fortsat for lidt.

Næste dag tænkte han over bogen. Det var de allermest umulige børn der blev sendt til den skole, men umulige på hvad måde? Kunne man forestille sig, at man dengang havde sendt en dreng som ham på en sådan kostskole? Hvornår har børn og unge egentlig ret til at sætte sig op imod forældrene og skolesystemet? Når det gælder alle dem, som kan mærke at de er bestemt til noget særligt og som senere bliver berømte, men hvor forældrene var imod det de ville, der må man sige at forældrene har begået en fejl. På den anden side, hvad ville han selv gøre, hvis han fik en søn der blev lissom hans far? - eller en datter der blev lissom Trine? Hvis det gik hans søn lissom hans far, så ville alle sige, at det var godt hans far ikke fik sin vilje igennem. Hva' ka' man gøre? På en måde kunne han ikke forestille sig, at hans barn ville vende ryggen til de ting som han ville tilbyde barnet - lissom han ikke kunne forestille sig, at han selv havde vendt ryggen til Annies ting. Men på den anden side må man erkende, at idag har forældre kun meget begrænset indflydelse på deres børns udvikling. Det er virkelig et stort problem - i aften vil han vise Annie bogen og spørge hvad hun mener.

Da han så sin husvært udenfor, fortalte han om sit fund. Den gamle kunne ikke svare på hvad det kunne være for en bog, og hvorfor den var skjult - men det jo være englænderen der har skjult den. Nej, det er ikke englænderen der har skrevet den, han hed William Thomson.

Da Niels-Henrik om aftenen havde fortalt Annie om bogen, sagde hun:

   — Jeg ku' godt li' at se den pjece han taler om - den hvor forbryderspirerne beskrives - den skulle have været med som appendiks i bogen.

   — Ja hva' nu hvis der virkelig er noget om det? - og hvis sådan noget ligger i generne? - hvis en prøve viser at et foster er en forbryderspire, skal det så fjernes?

   — Ja afgjort - hvis sagen er klarlagt på samme måde som Downs syndrom, men det kan jeg nu ikke forestille mig at den kan blive.

   — Næh, men hvis nu forbryderspire er noget helt bestemt - hvis det er genetisk bestemt, og hvis barnet er født, kan man så aflive det?

   — Ja, det kan af og til være vores pligt at aflive et menneske - jeg overnattede engang hos en familie som havde en dreng der var spastisk lammet og retarderet, og i lang tid efter gik jeg og tænkte på den dreng - hvis han havde været min søn, havde jeg fået ham aflivet.

   — Hvordan?

   — Ja vi har jo endnu ikke aktiv dødshjælp herhjemme, og selvom vi havde, så ville det ikke nytte - altfor mange tilfælde ville blive afvist og der skulle altfor megen forhandling til - det man kunne tænke sig var, at det blev almindeligt at mennesker som har besluttet at begå selvmord på grund af alder eller uhelbredelig sygdom, tog andre med sig i døden - følte sig forpligtet til det - det er jeg sikker på at jeg vil gøre - når mit liv er slut, så vil jeg som sagt begå selvmord, og jeg kan godt forestille mig, at jeg vil tage et menneske med mig i døden - jeg vil skaffe mig kendskab til et menneske som klart og vedholdende har givet udtryk for et ønske om at dø.

   — Hvordan...

   — Jeg vil besøge vedkommende og tilbyde min assistance - aftale en dag og en måde - måske tage mit eget liv ved den lejlighed - hvis det var nu jeg skulle dø, ville jeg aflive den dreng - i hans liv var enhver glæde udelukket - madindtagelsen må have været en plage, og han kunne ikke lege og han kunne ikke følge med i noget - og det var i alle døgnets timer han led - da jeg vågnede om natten og skulle på toilettet, hørte jeg en klynken fra hans værelse - døren stod åben - så så jeg at dynen var faldet på gulvet og at han lå i en akavet stilling - hans ansigt var fortrukket og han forsøgte at sige noget til mig - jeg forstod at jeg skulle vende ham - han havde forsøgt at ændre stilling, men var kommet til at ligge forkert - jeg glemmer ikke følelsen af at røre ved hans spændte muskler - han havde blå mærker, og han peb da jeg rørte ved ham - og jeg glemmer ikke det bønfaldende blik han sendte mig - jeg var en fremmed, så der har måske været et håb om at jeg kunne befri ham fra livet - jeg sov ikke mere den nat, og jeg gik uden at spise morgenmad, jeg kunne ikke længere være i det hus - jeg var aggressiv på forældrene - for dem var han vel bare en rutine, og han krævede vel ikke ret meget.

   — Det ku' jo være at de holdt af ham, og at der var ting du ikke så.

   — Ja, der ku' være så meget - det er det de altid disker op med - men et menneske er et kompliceret maskineri hvor alt helst skal fungere normalt, og der er nogle former for svigt som man godt kan leve med, og andre former for svigt som man ikke kan leve med - man kan leve med blindhed - nogle kan ihvertfald, og endda et godt liv - andre kan ikke, og de må så ophøre med at leve - den dreng havde et svigt i maskineriet som man ikke kan leve med - og det samme kan måske siges om nogle af børnene på den kostskole - og hvad nu hvis det viser sig at det ligger i generne, som du siger - defekten er måske sådan, at personen umiddelbart virker normal, men han har nogle karaktertræk som må støde ethvert menneske, og som gør at han ikke kan opbygge noget fællesskab med andre - så derfor hader han alle mennesker, og også deres skaberværker - undtagen de alment forhadte ting - han er et menneske som vil være udenfor enhver kultur - jeg siger bare, hvis man opdagede en genetisk fejl af en sådan art, at livet for alle uden undtagelse med den fejl vil blive et helvede for dem selv og for deres omgivelser, hvad skal man så gøre hvis man først opdager det efter at barnet er født? - der er noget jeg evig og altid undrer mig over, og det er menneskers mangel på medfølelse - og det har du jo også talt om - kammeraternes ondskab og lærernes modbydeligheder - det er nok vores isolerede og priviligerede liv der fører til overfølsomhed.

   — Ja.

   — I gamle dage accepterede man i en uhyggelig grad lidelse, men nu har vi jo nærmest officielt afskaffet lidelse - men der er stadig lidelse som egentlig godt kunne fjernes, men som de der skulle fjerne den, ikke vil fjerne - og grunden er at de selv lider - vi vil gerne hjælpe andre, men selvfølgelig ikke til at få et bedre liv end det vi selv har - den arbejdsløse og førtidspensionisten er fritaget for at skulle gå på arbejde, ergo må han lide på anden vis - hvordan får man ham til det? - man diskuterer ham - jeg læste lige en beskrivelse af en særlig mennesketype kaldet den arbejdsresistente - det en person med en slet karakter som undergraver velfærdssamfundet.

   — Haha.

   — Han må kaldes arbejdslivets vaneforbryder - det menes vist ikke at ligge i generne, men det er stærkt miljøbestemt, så derfor skal han identificeres så tidligt som muligt - der er nok udarbejdet en pjece med kendetegnene på arbejdsresistensspiren - udleveret til pædagoger og skolelærere - i mange tilfælde ender det vel med en tvangsfjernelse - men det skulle da hedde produktionsresistent - og det er jo det du og jeg er - og det er sandt at det er stærkt miljøbestemt - du sku' ha' været tvangsfjernet fra mit miljø - at din far ikke i tide sørgede for det, det har han ærgret sig gul og grøn over.

   — Ja - haha.

   — Jeg håber sandelig ikke at du mister gejsten og ligesom de fleste bliver arbejdsresistent - jeg håber at du, ligesom jeg og onkel Hermann, vil arbejde så meget som muligt og producere så lidt som muligt.

   — Ja.

   — I min ungdom troede man på en fremtid hvor der var byttet rundt på de to størrelser, men det viste sig jo at være håbløst - der er tværtimod kommet en udvikling som har gjort det menige menneskes liv endnu mere farveløst - lønarbejdet bliver jo mere og mere specialiseret, så derfor er resultatet af arbejdet blevet ligegyldigt for den arbejdende - den menige ansatte i en virksomhed har ikke nogen større personlig relation til det færdige produkt, og følgelig ikke nogen større glæde ved arbjedet - det eneste der kan betyde noget, er livet i firmaet, men det betyder også mindre - for der er heller ikke mere nogen større glæde ved mennesker - folk har fået meget større berøringsflade med andre mennesker - især igennem Internettet - de er hver dag i kontakt med et astronomisk antal mennesker - de fleste af dem har de aldrig mødt - man finder ikke mere de dybde venskaber som man har hørt så meget om.

   — Næh.

   — Og så er der evigt bøvl i folks liv - både på arbejdspladsen og privat - den eneste mulighed de har for at skabe forsoning med dårligdommene, er at arbejde sig op og blive en vigtigere funktion i produktionsmaskineriet - det giver tilfredsstillelse, men fører til endnu mere bøvl - for viser man tegn på at ville en smule frem, så mister man sin frihed - så er man under observation og vurdering - så derfor skal de der har sociale ambitioner passe meget på hvad de siger.

   — Ja.

   — Det er derfor at der er alvorlige samfundsproblemer som ikke kan løses, som jeg har sagt - for de der ytrer sig og som man lytter til, er dem der er tilvejrs - jeg tænker på spørgsmål som vores håndtering af døden - og vores erotiske liv - og lønarbejdets placering i vores liv - tænk hvis jeg var ansat i et firma og sad i frokostpausen og sagde mine meninger - noget af det jeg lige har sagt - mine skumle planer - eller hvis jeg gjorde nar af mit lønarbejde og fortalte om mit rigtige arbejde - en bog om nutidig partiturmusik - et arbejde som trækker i langdrag fordi jeg ikke har haft held med at finde et deltidsarbejde - der ville blive en pinlig tavshed, og bagefter ville jeg blive kaldt ind til chefen - gu've' hvad han ville sige.

   — Han ville sige at du er moralsk suspekt.

   — Haha ja - og tænk hvis det var mennesker jeg havde haft med at gøre - det rejser et interessant spørgsmål: kan min tale om at jeg engang langt ude i fremtiden vil hjælpe et menneske til at dø, være grundlag for afskedigelse? - men selvom jeg ikke talte om noget i den retning, så ville jeg alligevel komme i modvind - for som sagt, alle de der har med mennesker at gøre, de har det ikke for selv godt og de er omgivet af lidelse, så derfor ser de kun den mest åbenlyse lidelse - meget bagatelliseres - de kunne gøre meget for at lindre ubehagelige situationer uden at det ville tage ekstra tid - for eksempel ordne ting mere uformelt - spørge til patientens dagligliv, og få ønsker halet frem som er vigtige for patienten, men som patienten ikke kan få sig selv til at bringe på bane - og hjælpe med at opfylde dem - men de gør det ikke - de lever et liv fyldt af pligt og rutine, så derfor udvikler de ikke nogen særlig personlighed - de har ingen særheder, så derfor betragter de særheder som noget latterligt - de forstår ikke, at i en krisesituation er det ekstra vigtigt at man opretholder sin vaner - nogle af behandlerne forøger ligefrem lidelsen, fordi de har en magt som det er fristende at udnytte og nyde, så de selv lider lidt mindre - jeg er sikker på, at hvis jeg fik ørerne i deres maskineri, så ville det ende med en klage.

   — Det er jeg også sikker på.

   — Ja - jeg har en underudviklet evne til at gebærde mig og en veludviklet evne til at udforme en klage.

   — Ja, rigtigt.

   — Grunden til at de ikke lider så meget som du og jeg ville lide i deres sted, er at de ikke har nogen forestilling om et meget bedre liv - de har ikke noget alvorligt virke udenfor deres arbejsliv - derfor føler de ikke at de mister værdifuldt liv, og derfor har de ikke respekt for livet - eller rettere: de har falsk respekt - de oprøres ikke ved tanken om, at mennesker der er så defekte eller syge at deres liv intet er værd, får lov til at suge livet ud af andre - dem der skal passe dem - og de oprøres heller ikke, for deres krav til livet er små - og de har jo et arbejde, så de bør jo være tilfredse.

   — Jah.

   — For os som har den verden på lang afstand, er den ufattelig - hvordan kan man have et arbejde hvor man en hel dag er omgivet af børn som den dreng jeg taler om? - hvordan kan man være på en skadestue? - hvordan kan man stå en hel dag og rode i menneskers indvolde? - hvordan kan man være dommer? - ja faktisk undrer jeg mig over, at nogen kan være skolelærer, for de er jo også en slags dommere - det bliver vel altsammen en rutine - man deler sig i to - men gør man nu også det? - jeg tror at de fleste unge som vælger et sådant arbejde hvor man ser sygdom eller social elendighed, enten ikke har tænkt nærmere over hvad det er de går ind til, eller også drømmer de om at kunne være til gavn og modtage tak - men det burde være meget mere almindeligt, at man bakker ud igen - jeg tror, at hvis man undersøger dem som går ind til et sådant arbejde helt uden betænkeligheder og bliver der hele livet, så vil man finde en overvægt af mennesker med mangel på empati - de ser fortvivlede mennesker fra morgen til aften, og deres eget liv er heller ikke meget værd, så derfor berører ulykke dem ikke særlig meget, men deres ufølsomhed bekymrer dem alligevel lidt, så derfor vil de gerne demonstrere overfor verden at de tager menneskelivet alvorligt - og derfor maser de sig frem i debatten om dødshjælp - jeg synes ærlig talt at man skulle holde dem på afstand af den debat - og det kunne man gøre hvis man diskuterede de mest højttalende af dem - kiggede deres liv efter i sømmene.

   — Hvordan ka' man det? - så skulle man jo spørge deres familie og venner, og de vil da ikke begynde at udtale sig.

   — Næh, men jeg kunne tænke mig at en forfatter ville tage sig af den sag - lade sin hovedperson være en "sagkyndig" - vise hans triste hverdag, så læseren kan se grunden til hans opfattelse: at livet må strækkes så længe ud som muligt.

   — Ja, men hvad nu med børn som dem på kostskolen, men hvor det ikke er noget genetisk - børn som bare er umulige?

   — Jeg har ikke forstand på det - jeg tror, at en stor del af umuligheden kommer af at børn ikke har en naturlig plads i vores samfund - går vi langt tilbage i tiden, så blev børnene jo gradvist indført i de voksnes liv ligefra de var helt små - og sådan var det endnu på landet for hundrede år siden - idag véd vi ikke hvad vi skal stille op med børnene - derfor har vi skabt en særlig verden til dem - i min barndom legede drenge med biler og piger med dukker - absurd - drengene så deres far køre afsted i sin bil om morgenen og komme tilbage om aftenen, de forestillede sig vel at han kørte rundt i den hele dagen.

   — Haha.

   — Og pigerne klædte deres dukker af og på, fordi de så mødre klæde deres børn af og på - men jeg vil påstå, at bruger man meget tid på sandt menneskeligt arbejde, så kan man også på en naturlig måde indføre sit barn i det arbejde - din matematik ville tilsyneladende være lidt svær at videregive, men det er fordi den mest har været betragtet som et skolefag - men der er da masser af muligheder - tænk bare på onkel Hermanns bøger - og nu har vi jo computeren - med den kan man lave interessante ting - når du engang får børn, går du vel igang med at lave programmer - noget af det du lavede da du begyndte - labyrinten - billiard - planeterne - du kan udarbejde opgaver - lave programmet sådan at man kan styre ting, og så stille spørgsmål - spørgsmål som du måske selv er i tvivl om - kan man for eksempel få en planet hørende til en dobbeltstjerne til hele tiden at holde sig i en ottetals-formet bane imellem de to stjerner - det fandt du aldrig ud af, vel?

   — Næh.

   — Du vil garanteret lære dine børn programmering lige fra de er helt små, og det ville være en god ting - det udvikler tænkeevnen og det kan bruges i næsten alle fag - og hvis mange flere forskellige mennesker lærte den kunst, så kunne vi få lidt mere ånd og kritik ind i den verden - for de computerbøger du købte, var ganske forfærdelige - du skulle engang skrive en lærebog i programmering - det kan du gøre imens dine børn vokser op - du kan garanteret finde på en masse gode eksempler.

   — Ja.

   — I mit fag kan man jo nemt få et barn med - men i dit tilfælde holdt jeg lidt igen med det udøvende - har du ikke undret dig over hvorfor jeg mest har lært dig musikhistorie og musikvidenskab, og ikke sørget for at du fik en regulær musikeruddannelse?

   — Du spiller jo ikke fløjte.

   — Næh, men jeg ku' ha' bedt Dennis komme meget oftere - det foreslog han endda selv - og det havde slet ikke noget med pengene at gøre - jeg kunne også ha' lært dig meget mere klaver.

   — Ja - hvorfor?

   — Fordi jeg selv har foretrukket videnskaben - jeg har aldrig haft særlig meget lyst til at være udøvende musiker - ja jeg har nærmest haft lidt ondt af mormor og morfar - deres lønarbejde var langt mere tilfredsstillende end de flestes lønarbejde, men deres virke i orkesteret havde mange sider som spolerede arbejdsglæden - og det var jo produktion, og som jeg altid har sagt: produktion er prostitution.

   — Ja.

   — Men der var også en anden grund til at jeg var lidt bange for at du gik musikervejen - prøv at forestille dig, at jeg ligefra du overhovedet kunne begynde, havde givet dig massiv klaverundervisning - det spil ville snart være kommet din far for øre, og så ville han få det stoppet.

   — Hvordan?

   — Ved at flytte væk herfra - meget langt væk - det er derfor jeg altid sørgede for at du ikke var her mere end højst nødvendigt - jeg sagde tit at jeg havde travlt med noget, og at du måtte gå hjem, og det var for at han skulle se at du vidste hvor dit hjem er - en anden grund til at vi ikke fik gjort så meget ud af musikken, var at det meste af tiden gik med skolearbejde - alt det lort de havde fyldt i hovedet på dig, det skulle ud igen.

   — Haha.

   — Men som sagt, umulige børn skyldes umulige livsbetingelser - det...

   — Du kan altså slet ikke forestille dig at dit barn blev umuligt?

   — Selvfølgelig kan jeg det - noget kan være gået galt, eller der kan være noget galt med barnet - hvis barnet var normalt, men ville noget helt andet end det jeg ville, fordi det var påvirket andetsteds fra, så ville jeg sikkert skaffe et andet hjem til barnet - en familie hvor det kunne trives bedre end sammen med mig - og hvis barnet var defekt på en eller anden måde, så ville jeg nok gøre det samme - jeg er ikke egnet til den opgave - jeg har ikke tænkt så meget over det, men jeg er sikker på, at hvis jeg så hvordan pædagogerne går tilværks, så ville jeg stejle - de mennesker der tager sig af den slags børn, har ingen kulturmæssige ambitioner, og slet ikke på børnenes vegne - her gælder det bare om at få gjort barnet så normalt som muligt, og for mig er normale mennesker ikke normale.

   — Næh - du mener altså, at du kunne løse problemerne bedre end andre? - hvis du bare gad?

   — Ja, hvis barnet kunne fatte interesse for de ting jeg står for, så vil jeg påstå at jeg kunne nå langt - også selvom mine ting er ude af trit med tidsånden - det er du et bevis på, du var jo stærkt påvirket andetsteds fra - men jeg tror da på, at der er børn som uanset hvad, vil volde problemer - det allervigtigste når det gælder børneopdragelse, er at barnet har en klar fornemmelse af i hvilken retning det skal - børn hungrer efter udvikling, og efter anerkendelse - der skal ikke meget til - undervisningen består nærmest bare i at vælge...

   — Men hvis barnet sætter sig imod?

   — Det gør barnet ikke - ihvertfald ikke i de tidlige år - sålænge kravene er rimelige, så sætter barnet ikke spørgsmål ved dem - og man kræver ikke noget af et barn som er i komplet strid med dets lyst og evner - men ulykken kan opstå, når barnet lever i et miljø hvor kravene er uklare - fordi forældrene ikke har noget ståsted eller fordi der er modsætninger forældrene imellem eller fordi forældrene ikke beskytter barnet imod ødelæggende påvirkning udefra.

   — Ja, men der er vel også børn som ikke kan leve op til kravene?

   — Ja, barnet kan have en håndgribelig mental eller motorisk defekt - så er vi i en situation hvor lidelse er uundgåelig - hvorledes underviser man aggressive eller hyperaktive børn? - at man gør barnet til grin anses åbenbart for mindre uværdigt, end at man for en tid anbringer det i et miljø hvor kravene er klare og hvor de håndhæves.

   — Ja, men man kan jo sige at problemet er samfundsskabt - engang eksisterede ordblindhed slet ikke, og i fremtiden vil det heller ikke være noget problem - det sagde vores dansklærer - det vil blive mere og mere unødvendigt at kunne læse og skrive.

   — Sikkert, men til den tid vil de der kan læse og skrive, tænke i andre baner end de der ikke kan, og så er det dem der kan læse og skrive der er et problem - og sådan vil det være i ethvert samfund - der vil altid være uretfærdighed - vi kan lindre det, men vi kan ikke afskaffe uretfærdighed - enhver kultur må stå fast på nogle krav til mennesket - det er mere uværdigt at slække på kravene, end at der forekommer nogle handlinger som umiddelbart kan synes uværdige - i vort samfund som det stadig ser ud, må vi stå fast på at mennesker ikke bare kan læse og skrive, men at de også gør det i dagligdagen - jeg kommer til at tænke på Kim ovre fra plejehjemmet - han var her i går for at se på det med fyret - jeg spurgte hvordan det gik med hans søn, om han havde fået et arbejde - næh, Sune ser ingen grund til at arbejde, og nu er han blevet smidt ud af sin lejlighed fordi han støjede hele natten - jeg spurgte hvad han selv mener er årsagen til Sunes udvikling - det er skolen! - der var ingen disciplin! - da han selv gik i skole, blev der gjort noget - men på den anden side kunne han ikke se at der er noget galt med Sune - Sune har gode interesser, han hører musik og nu er han begyndt at fotografere og fremkalde film - den anden halvdel af forklaringen på Sunes udvikling nævnte han ikke, den illustrerede han: miljøet i hjemmet - når Kim kommer, så kan arbejdet først begynde når hans radio er installeret - jeg måtte sætte mig op ovenpå.

   — Tror du ikke at miljøet er sådan i alle hjem?

   — Sikkert, men de hører vel for fanden da ikke musik hele døgnet - da jeg ville byde ham en kop kaffe ude på terrassen, havde han gudhjælpemig radioen med - jeg foreslog at vi slukkede for musikken imens vi drak kaffe.

   — Undrede han sig ikke? - du er jo musikinteresseret.

   — Jo, han så noget spørgende ud - men baggrundsstøjen skulle være der - da jeg kom ud med kaffen var radioen igang igen - all right, halv styrke - jeg var så målløs, at jeg spurgte om han også hører musik når han sover - jo, han kan ikke sove hvis der ikke er musik - her er virkelig tale om nærkontakt med døgnkulturen - og når et barn vokser op i en sådan verden, så kan der ikke opstå nogensomhelst form for lødig virketrang.

   — Næh, vel ikke lødig, men nu folk som min far...

   — Det er noget andet - din far er godt opdraget, og han hører trods alt til en nogenlunde velafgrænset kultur - Sune og hans far har ingen følelse af at høre til et bestemt sted, derfor forstår de ikke, at en ting som hører naturligt hjemme ét sted, kan være malplaceret et andet sted - eller deres manglende situationsfornemmelse skyldes måske snarere, at deres kultur er så allestedsnærværende, at de ikke kan forestille sig at der findes mennesker som ikke bryder sig om den - din far er udmærket klar over, at der er mennesker som ikke bryder sig om hans kultur, og de mennesker undgår han - og han bryder sig ikke om min kultur, det er mere end man kan sige om Kim.

   — Tror du ikke Kim ville bryde sig ligeså lidt om din musik som du bryder dig om hans?

   — Nej, den ville hverken bevæge ham i den ene eller den anden retning - når man omgås musik på den måde, så er følelserne sat ud af kraft - Niels-Henrik, ethvert menneske må leve i en kultur som er noget bestemt - og at opdrage et barn betyder, at indføre barnet i den kultur det skal leve i - så hvordan et barn skal opdrages, og hvordan de unge skal uddannes, det kommer helt an på hvordan kulturen ser ud.

   — Ja.

   — Jeg tror at du har meget mere klare forestillinger om sådan noget med kulturforskelle, og hvor du selv hører til, end de fleste.

   — Joh.

   — Når du engang kan betragte dig som nogenlunde etableret - når du har fundet et lille job og når du kan sige at du er færdig med din uddannelse - og når du har læst krævende afhandlinger og selv skrevet afhandlinger - eller lavet et avanceret computerprogram - og når du også har udrettet noget udenfor dit fag - skrevet artikler og debatindlæg - så skulle du invitere nogle af dine skolelærere og gymnasielærere, og vise dem dit liv - og diskutere sagen med dem - spørge om de mener at du havde været bedre tjent med at følge deres system.

   — Ja.

   — Det ville nok gi' dem noget at tænke over.

   — Ja.

   — Jeg er helt sikker på at du vil nå vidt - både med matematikken og med andre ting - dit liv kan slet ikke forudses, fordi du har en særlig evne til at tilegne dig højere kultur - dine kammerater vil modstræbende tilegne sig det man forlanger af dem, og så vil man ikke høre mere fra dem - og Sune, han...

   — Ham vil man høre fra hele døgnet.

   — Ja, han vil blive en evig plage for folk - han kan ikke opdrages - men han er sådan set ikke mangelfuldt opdraget, hans far klager jo ikke over ham.

   — Jamen hvad nu hvis Sunes far var utilfreds med Sune?

   — Det er sandelig noget sent at finde ud af det - for sent - engang kunne man rette lidt op på skader der var sket, idag kan man kun gøre én ting: undgå at skaderne opstår.

I den følgende tid tænkte Niels-Henrik meget på englænderen og bogen. Især inden han faldt i søvn. Det er mærkeligt, her har boet en mand i så mange år. Hva' mon han var for en snegl? Og hvorfor har han skjult den bog? Der må være en grund. Han må have noget med bogen at gøre. Ja måske var han en af de lærere der er i den. Ja måske var det ham der var forstanderen! Ja! - det er klart! - det er derfor han måtte flygte! Det er sådan det hænger sammen. Det har de gamle slet ikke vidst. Tænk, forstanderen har ligget her. Det er godt man tog sin egen seng med.

En dag spurgte han de gamle om hvordan William var.

  Konen: Han holdt sig mest for sig selv - han var glad for vores børn - legede med dem - passede dem - lærte dem engelsk.

  Manden: Han læste og skrev altid - han var ansat som kulturjournalist ved et engelsk dagblad - han korresponderede med en del mennesker, men han var ikke så meget for at tage nogen steder - og vi og min kones bror var de eneste han talte med.

  Niels-Henrik: Havde han mange bøger?

  Konen: Ja det havde han, de kunne slet ikke være i dit hus - vi havde de fleste her ovre.

  Niels-Henrik: Men øh da han døde - hvad med bøgerne?

  Manden: Vi pakkede hans ting i kasser, og for et par år siden bad vi en antikvarboghandler om at hente dem.

Niels-Henrik blev nysgerrig efter at vide mere om William Thomson, men han ville ikke spørge de gamle så meget. Hvor mon bøgerne og papirerne er blevet af?

En dag ringede han til en antikvarboghandler og spurgte hvad man gør, når man finder manuskripter og personlige papirer i en kasse med bøger. Han fik at vide, at de pårørende normalt tager sig af den slags ting. Er der tale om en kendt person, bliver tingene solgt på en auktion eller overdraget til Det Kgl. Bibliotek. Men er personen ikke kendt, bliver tingene oftest smidt ud - ingen kunder spørger efter breve eller manuskripter af ukendte personer, med mindre at det er meget gammelt.

Når Niels-Henrik var i København, gik han af og til ind i en antikvarboghandel og spurgte efter bøger af William Thomson, men ingen kendte dette navn - en enkelt spurgte om det var Lord Kelvin han tænkte på - nej.




Niels-Henrik holdt jul hos sine forældre og nytår hos Annie, og hvis man ikke interesserer sig for hans faglige arbejde, bliver der mindre og mindre at fortælle om ham - og også om hans arbejde bliver der mindre at fortælle. Gert havde anbefalet ham kun at kigge på den højre side af figuren, den retlinede halvdel - arealet B. At Goldbachs formodning er sand, betyder at et polygont areal med fire sider er mindre end B. Men der er jo også et polygont areal med fem sider som er større end B, og her ligger de to arealer meget tæt ved hinanden. Og når man regner på det, får man en ulighed med flere led og hvori Goldbachs antal forekommer, og nogle af leddene kan sikkert samles til noget som har forsvindende betydning i forhold til det øvrige, og det øvrige kan måske omskrives så det kommer til at bestå af led med enklere udtryk. Niels-Henrik er gået over til kun at arbejde med den ulighed, men den er indviklet, og arbejdet trækker i langdrag. Man må nok se i øjnene, at det kun er igennem et stædigt og systematisk arbejde, at man kommer frem til de betydningsfulde resultater. Hvis han forlader den strategi han er inde på nu, så må han igang med en anden og så vil han have spildt en masse tid.

Men efterhånden som hans arbejde skrider frem, falder de mennesker der har interesseret sig for ham, fra. Det er jo ikke mange der har interesseret sig for hans arbejde. Hans far kunne vel have fulgt ham et godt stykke ad vejen, men han har ligefra begyndelsen været negativ. Hans mor er "dum til matematik", som hun siger. Det er Annie også, når hun selv skal sige det, men hun er vist ikke så dum endda, og hun gør en indsats for at følge med.

Skolelæreren forstod ikke et muk af det han havde skrevet, og det undrede Niels-Henrik, for han havde kun skrevet det vigtigste ned. Bagefter læste han sine papirer igennem, for at se hvad det mon kunne være at Jørn ikke forstod, men han kunne virkelig ikke finde noget som man kan forestille sig kan have voldt problemer.

Filtbak og Gert forstår alt med det samme og de kan se ting han ikke selv har set, men de har jo også tredive års træning. Men hans stak af papirer er efterhånden blevet så tyk, at de forvirres. Filtbak har travlt og hvorfor skulle Gert interesserer sig for ham, når han ikke har været til større nytte for Gert? Han har fået tilsendt hele manuskriptet, men han har ikke fået læst det hele, og han har næsten ikke kunnet sige noget - man skal læse sådan noget mange gange førend man kan sige noget.

Ville det have været meget anderledes hvis han havde valgt et andet fag? Hvis han istedet var begyndt at komponere musik? Annie ville have været begejstret, men ville nogen andre høre det han lavede? Og hvis de hørte det, hvad ville de sige? Han ville nok have haft det endnu værre.

Han besøger tit biblioteket på Matematisk Institut. Her bladrer han i "Mathematical Revues", som indeholder anmeldelser af nyligt udkomne tidsskriftsartikler. Bøger og artikler om Goldbachs formodning findes under "11P32 Goldbach-type theorems; other additive questions involving primes", som er en underafdeling af "11P Additive number theory; partitions", som igen er en underafdeling af "11 Number theory". Men han forstår oftest ikke noget af anmeldelserne - de er for folk som er specialister i den pågældende teori. Alligevel finder han af og til en afhandling frem - biblioteket abonnerer tilsyneladende på alle verdens seriøse matematiktidsskrifter - han vil se om hans kurver er der. Men de har ingen bøger om Goldbachs formodning. I "Mathematical Revues" har han dog fundet to bøger om Goldbachs formodning - dem vil han anskaffe. De er begge kinesiske og hedder begge "Goldbach Conjecture". Den ene (udgivet 1984 af Wang Yuan) skulle indeholde de vigtigste artikler der er skrevet om problemet. Disse artikler kunne han sikkert finde i biblioteket, men da han ikke véd hvilke artikler det er, må han have bogen. Den anden bog er af Pan Chengdong og Pan Chengbiao (1992). Han har bestilt bøgerne hos Universitets Boghandelen. Men han regner ikke med at de kan være til megen nytte, og der kan gå måneder inden de kommer, og de er dyre - 500 og 700 kr. - hans mor må betale.

Men selvom Niels-Henrik arbejder flittigt, så er hans entusiasme ikke som den var i begyndelsen. Den mægtige kraft som skulle have sendt ham ud i en svimlende bane - billedet i hans fantasi af det kæmpe postyr som et bevis for Goldbachs formodning ville vække: interviews af dagblads- og tv-journalister, hans udnævnelse til æresdoktor ved Universitetet, hans fars stolthed og undvigene svar på spørgsmålet om hvorfor Niels-Henrik ikke bor hjemme - den kraft er ikke som den har været. Den er skrumpet ind til nødvendigheden af at finde på et eller andet som der kan skrives en artikel om, så de allesammen kan se at han er inde i en lovende udvikling. Desuden er han ensom. Han savner nogen at arbejde sammen med og han savner kontakt med jævnaldrende. Men hvem kunne han komme sammen med? Ikke én eneste af de kammerater han har haft indtil nu, kunne han have holdt ud idag - Mads var den eneste ordentlige, men de har fjernet sig for meget fra hinanden. Og piger, han har ikke fidus til nogen af dem - Beatrice hørte man ikke noget fra, og det var måske også det bedste. Han savner jævnaldrende, men han føler sig også ligeglad med dem - dem allesammen. Det er ikke bare det, at de interesserer sig for helt andre ting end ham, det er noget mere, noget han ikke kan forklare. Jo, lidt kan han forklare. Han mærkede det den dag der blev hans sidste i gymnasiet. Når hans entusiasme var forsvundet da han kom hjem, var det ikke kun fordi han var begyndt at tvivle på sit bevis. I timen havde han siddet og forestillet sig hvordan hans kammerater ville reagere når hans bevis var færdigt, men han kunne ikke forestille sig andet, end at de ville reagere på samme måde som han selv ville reagere, hvis en af dem var blevet danmarksmester i tennis.

De fleste af dagene er han i sit hus hele døgnet. Han laver mad ovre i køkkenet og bærer det over på en bakke. Af og til spiser han eller drikker kaffe hos de gamle. Hvad mon de tænker om ham? At han mere og mere bliver ligesom William?

Situationen begynder at skræmme ham. Der tales vel om ham. Hans far hoverer - siger en masse til hans mor og Trine. Snakken går vel også blandt hans kammerater. Annie tænker sit. Og Gert og Filtbak tænker - ja de taler måske ligefrem om ham. Sandheden siver ud. Den gik inte Granberg. Hans forsøg på at hæve sig over de andre blev grusomt straffet - spildt arbejde, ensomhed, ingen fremtid. Han må erkende overfor sig selv og indrømme overfor de andre, at han har tabt og at de har vundet. De andre er idioter, men verden er kun for idioter. Det er deres liv der er det rigtige, de har haft noget ud af deres arbejde, og de har venner og kærester og fester. Han kørte ud på et sidespor, måtte rykke tilbage til start, begynde forfra i gymnasiet, gå en klasse under de andre. Nej! Der er ingen vej tilbage! Der skal arbejdes!

Og så bliver der arbejdet, og der bliver skåret ned i Annies ting: romaner, artikler, koncerter. Men flere triste tanker trænger frem: hans liv på længere sigt. Hvordan vil det komme til at se ud? Kan han fortsætte med at leve som han gør? Hvis han nu aldrig kommer frem til noget betydningsfuldt? Hvis han ikke har evner. Alle matematikerne drømmer jo om at skabe noget stort, men det lykkes kun for nogle få af dem. Ligesom komponisterne. Der er noget tragisk over det at folk et helt liv laver noget som hverken har eller får nogen betydning, ingen læser deres afhandlinger, ingen hører deres musik, de er kun til for at man kan se det store i de store.

Men matematikerne ved universitetet får da i det mindste penge for deres arbejde, og en fin titel og samvær med andre. Hvis han hverken får anerkendelse eller penge eller samvær, så er hans liv da så tragisk som det kan være. Han kan sige at han ikke er lønslave, men vil nogen beundre hans frie liv, hvis der ikke er noget at beundre?

Det mindste han kan gøre, er at få fagligt samvær med andre. Han må ind i universitetsverdenen, det er dér alle matematikerne er, men hvordan? Han kunne gå til forelæsninger, men han ville jo aldrig kunne blive rigtig studerende - uanset hvormeget Annie end siger at han netop er rigtig studerende. Han vil helst gå til noget for viderekomne - noget indenfor talteori - men har han forudsætninger nok? Efter sommerferien kunne han gå til noget mere elementært - om ikke andet, så bare for at være sammen med andre. Men det elementære foregår i store auditorier med hundrede tilhørere, og det tiltrækker ham ikke. Og ville han komme i snak med nogen? Han ville jo være meget yngre end dem, og han kunne vel ikke aflevere opgaver. Ville han bryde sig om den situation? Og er miljøet dér mon meget anderledes end i gymnasiet?

Når han er derinde undersøger han alt - især studerer han opslagstavlerne. Der sælges brugte bøger og cykler, der søges deltagere til skiture, musikere til rockorkestre, sangere til kor, og der inviteres til filmforevisning og til diskussionsaften for kristne og til fest, hvor der holdes auktion over de bukser Henning Rasmussen havde båret i den kamp der kostede ham livet. Men ikke ét eneste af de opslag han har set, har appelleret til ham. Mødes de matematikstuderende virkelig ikke engang imellem og diskuterer et fagligt problem?

Der er nogle af de studerende som er rigtigt interesserede i matematik, siger Filtbak. Det må være dem der skriver artiklerne i de matematikstuderenes blad. Han kunne jo skrive en artikel - så var han da kommet lidt indenfor. Men han kan ikke endnu, for han er ikke nået frem til noget konkret, og han kender ikke meget til de forskellige teorier om Goldbachs formodning. Den vigtigste af alle artiklerne om Goldbachs formodning er den som Hardy talte om i sit foredrag i København i 1921 - den han ville skrive sammen med Littlewood, og hvor de (ved hjælp af cirkelmetoden og udfra en modificeret form af Riemanns hypotese) udleder (men ikke beviser) tilnærmelsesformlen for antallet af opspaltninger af et lige tal i summen af to primtal. Han har fundet artiklen frem, men den er håbløs at komme igennem - den er på 70 sider.

Så snart han har fundet ud af et eller andet, vil han holde en pause med Goldbachs formodning, og så vil han læse nogle lærebøger så han kan følge et kursus for viderekomne. Men han kan jo tidligst begynde til næste forår. I næsten et helt år skal han altså sidde her. Han kunne selvfølgelig tale noget mere med lærerne, men om hvad? - ingen af dem interesserer sig jo for Goldbachs formodning. Og samtalerne med Filtbak og Gert viser hvor det bærer hen. Engang vil han finde én i udlandet der forsker i Goldbachs formodning, og korrespondere med vedkommende, men han skal være meget dygtigere - der kan gå lang tid.

Og vil noget af det lykkes? Hvis man er dygtig, så kan man vel altid få samvær med andre, men han vil jo nok aldrig blive ansat noget sted, han vil måske altid være udenfor. Annie er også ensom og udenfor - det meste af det hun laver, laver hun alene - men det er alligevel noget andet med hende. Hun er ikke anderledes end så mange andre, hun spiller orgel og giver klaverundervisning og skriver artikler og laver radioudsendelser - altsammen anerkendt arbejde. Men kan han også blive anerkendt?

Idag er alting så stift. I gamle dage var det meget mere almindeligt at videnskabsmænd arbejdede på egen hånd - på universiteterne var pligtarbejdet minimalt eller også var de adelsfolk der ikke behøvede at arbejde. Filtbak siger, at universiteterne sikrer at det faglige niveau er højt, og hvis universiteterne ikke var der, ville den "unyttige" videnskab uddø. I gamle dage behøvede man da ellers ikke nogen universiteter til at forhindre at unyttige ting uddøede - det er først indenfor de sidste par hundrede år, at forskningen i matematik er kommet ind på universiteterne. Og hvad nu hvis folk begyndte at leve som i gamle dage? Så var det universiteterne der ville uddø! Jo, for politikerne ville da ikke bevilge penge til noget arbejde, som der er folk der udfører gratis. Hans aktivitet er jo strengt taget en trussel imod matematikerne. Finder han ud af noget stort, så vil de nok blive sure på ham - og det ville virkelig more ham! Men finder han ikke ud af noget stort, så er han en latterlig person. Knald eller fald.

Det er også gået op for ham, at han har været en kæmpe skuffelse for Annie. Hendes store drøm har sikkert været, at han imens han gik i gymnasiet havde gjort en opsigtsvækkende opdagelse, og fået en artikel optaget i et fagtidsskrift - eller at han i det mindste havde fået skriftlige udtalelser fra matematikere som utvetydigt viste at hans arbejde virker modent og ser lovende ud. Og det skulle have ført til at han svigtede gymnasiet endnu mere, og ført til at lærerne blev forlegne. De ville være nødt til at give advarsler, og de ville indkalde hans forældre til samtale. Hans mor ville bakke ham op og være uforstående overfor deres bekymring: Jo yngre man er når man begynder at gøre sig gældende, jo bedre - og hvis man er rigtig dygtig, så går det af sig selv med at komme frem - og han har jo allerede den nødvendige almene dannelse, og det han mangler, det kommer nok. Og hvis hun ikke tænkte sådan, så skulle Annie nok sørge for at hun kom til det - og få lagt hende ordene i munden. Hans forældre ville komme op og skændes, og det ville ende med at han blev smidt ud af gymnasiet. Den situation ville have været lige noget for Annie!

Han skal leve et helt andet liv, og engang skal han vise folk sit liv, siger Annie, og det skal få dem til at skamme sig over deres eget liv. Og så skal han fortælle hende om deres forlegenhed, og hun skal sidde og godte sig. Hvornår kommer den dag? Vil det ikke snarere gå modsat? Vil han ende som sådan en sær eksistens, der hele livet bare har siddet alene og arbejdet? Lidt småting er måske blevet udgivet, men det meste er aldrig blevet færdigt eller godt nok. Og når han dør, bliver hans bogsamling solgt til en antikvarboghandler. Matematikbøger - hvem gider at købe dem? Og tusinder af papirer med matematiske formler - hvem vil læse dem? Kasserne med bøger og papirer vil blive stillet på Matematisk Institut, med et skilt "Tag selv" - og det der ikke bliver taget, bliver smidt ud af kontorpersonalet. Det var hans liv.




Selvfølgelig kan Annie godt mærke at Niels-Henrik ikke har det godt. Det er tydeligt at hans matematik optager ham og giver hans liv indhold, men de mangler der er, er så store at selv et menneske som Annie kan se dem, og hun gør da også en indsats for at afhjælpe dem. Hun sørger for at vise ham interesse når han er hos hende, og for at han får læst avisartikler, og at de får spillet engang imellem eller går til en koncert. Men så gør hun heller ikke mere. Hvorfor ikke? Opfylder hun ikke den pligt forældre har til at drage omsorg for at deres børn trives?

Nej, ikke lige i øjeblikket. Annie kunne sagtens skaffe Niels-Henrik de kontakter han ønsker - hun kunne tage de initativer han selv holder sig tilbage for. Hun kunne tale med Filtbak. Han kunne muligvis formidle kontakt til en helt ung matematikstuderende - at denne ikke interesserer sig for Goldbachs formodning er underordnet - ja måske en fordel. Hun kunne også ringe rundt til gymnasierektorer, for at høre om der skulle være en matematikinteresseret elev. Niels-Henrik har talt om at der er en årlig matematikkonkurrence for unge. Hun kunne også finde en anledning til at invitere nogle helt unge musikstuderende eller elever fra Sankt Annæ Gymnasium - det er ikke faget der er det mest afgørende. Ja faktisk kunne hun skaffe ham en veninde den dag i dag hvis det skulle være. Hun har en klaverelev som spørger interesseret til Niels-Henrik, men hun bryder sig ikke om hendes forældre, og hun ville nok ikke lade dem møde hinanden alligevel - ikke foreløbig.

Nej, Annie foretager sig ikke noget - ikke endnu. Niels-Henrik er på vej i den rigtige retning, og han skal ikke ud af kurs. At han arbejder de fleste af døgnets timer, er hun sikker på. Hvis hans entusiasme for tiden er lidt bleg, så opbygger han i det mindste en afhængighed af faget. Og han vil næppe sætte spørgsmål ved sin leveform, fordi den har nogle sociale slagsider. Når først arbejdet, det rigtige arbejde, er kommet ind i et menneskes liv, så forlades det ikke igen.

Men Niels-Henrik skal ikke bare have et fagligt engagement der er beslægtet med hendes, han skal også have det had til verden som hun har. Visse forandringer må vi acceptere, men der er udviklingstendenser som vi under ingen omstændigheder bør tolerere. Og dem skal Niels-Henrik heller ikke tolerere. Han skal ikke være en bevidstløs fagidiot, han skal videreføre hendes kulturtradition, og hendes kamp imod de ting der truer den. Han skal være vred.

Mennesket er ikke menneske uden vreden. Man kan godt forestille sig et samfund, hvor der er så megen retfærdighed og integritet, at vreden kun undtagelsesvist dukker op, men selv i et sådant samfund må der være vrede: den potentielle vrede må være der. Det er den vrede som man provokerer frem ved fantasiens eller litteraturens hjælp, ved at høre om mennesker der udsættes for uret og om værdier der nedtrampes. Men Annie har evig og altid den aktuelle vrede i sig, og Niels-Henrik skal også have den. Jo mere han mærker hvordan den måde næsten alle lever på, skader den måde han lever på, jo mere vred vil han blive.

Annie nærer ingen illusion om styrken af de bånd han har til hendes kultur. Han har trods alt tilbragt det meste af sin tid udenfor hendes miljø, og man bevæges let i hans alder. Uanset hvem han møder, så vil vedkommende stå for noget andet end det han skal stå for. Alle unge idag er éns - hvis de har en alvorlig interesse, er den det eneste der adskiller dem fra de andre. Den tendens til samfundskritik som hun ser hos nogle få yngre komponister - og det er ikke meget mere end en tendens - den har ikke oprindelse i et helt andet opvækstmiljø, den kommer af at den musik de har fattet interesse for, er ude af trit med tidsånden - en musik som det vist nærmest er tilfældet, der har bragt dem i kontakt med.

Selvfølgelig skal Niels-Henrik lidt ind i institutionernes verden - det er nødvendigt, det har det også været for hende selv. Og universitetet er det eneste sted, hvor han vil kunne få kvalificeret fagligt fællesskab med andre. Han skal gå til forelæsninger, men det skal være noget hvor der er få og engagerede studerende, altså noget for viderekomne. Og eftersom han inden der er gået nogle få måneder, må ud af sin isolation, så må han gå til forelæsninger for viderekomne fra efterårssemesteret. Og det kan han også, vurderer Annie, hvis dette forslag bliver bragt på bane inden sommerferien.

Men indtil videre skal han arbejde flittigt og rigtigt mærke hobens tyranni. Og herregud, det drejer sig kun om nogle få måneder. Han har altid været en glad dreng, og det bliver han igen. Situationen er ikke ufarlig, men hun vil vente så længe som muligt med at gribe ind. Dengang han havde talt om bogen om kostskolen, havde hun overvejet om hun skulle begynde på alt det hun har at fortælle ham, men tiden gik og det blev kun til lidt om børneopdragelse og om folks elendige liv.

Niels-Henrik på sin side, bliver mere og mere vred på Annie. Hans mor spørger ham ud og foreslår ting, men han afviser alle hendes forslag - selv gode ting, som at spille i et ungdomsorkester eller gå til foredrag i Ungdommens Naturvidenskabelige Forening. Han afviser hende, fordi hun ikke forstår noget. "Du sku' besøge Mads engang imellem - hvorfor ta'r du ikke med til deres fester? - der er da så mange ting du ku' gå til." Annie derimod, burde være klogere. Han kan kun give én forklaring: hun tænker ikke over det, for hun har altid selv levet et sådant liv. Hvis hun ikke skænker hans særlige situation en tanke, så er det for dårligt. Da hun var på hans alder, havde hun meget mere fællesskab med jævnaldrende, og hun har hele livet haft fagligt samvær med andre.

Det Annie mest gør, er at holde ham fast ved det fag han har valgt. Hun viser hans arbejde med Goldbachs formodning så megen interesse som det er muligt for hende. Og hun har også nogle gange givet ham arbejdsopgaver indenfor sin musikvidenskab. Hun har bedt ham forklare hende nærmere om de forskellige "uendelighedsrækker", som flere komponister har benyttet i deres værker (en uendelighedsrække er en tonerække som er konstrueret ved hjælp af en algoritme og som kan fortsættes i det uendelige). Og hun har vist ham en artikel i Dansk Musik Tidsskrift, hvor en komponist taler om nogle "endelige" uendelighedsrækker som han har brugt i sine værker. Men komponisten ønsker rækker som har nogle særlige egenskaber - findes sådanne rækker? Han efterlyste en matematikkyndig læser som kunne svare på dette. Det fik Niels-Henrik til at glemme Goldbachs formodning i flere dage, men så var det problem løst, og han sendte nogle papirer til komponisten. Denne takkede mange gange, men kunne han mon overhovedet bruge Niels-Henriks formler, hvis det blev aktuelt?

Men faktisk kunne Annie godt give Niels-Henrik en opgave som ville vende op og ned på hans liv. En komponist har fortalt hende om computergenereret musik. Indenfor partiturmusikken har computeren selvfølgelig helt overtaget fremstillingen af det man tidligere kaldte båndmusik, og desuden bruges computeren til at bearbejde lyd, eventuelt simultant under fremførelsen. Alt dette omtaler Annie udførligt i sin bog. Men det komponisten tænker på, er noget hun ikke selv har skænket så mange tanker, fordi hverken musikerne eller komponisterne har beskæftiget sig med fænomenet - ja de har vel nærmest en modvilje imod det - nemlig computeren som instrument uden at være betjent af en musiker ved en opførelse: Musik lavet af særligt uddannede computermusikere, og som man hører igennem højtalere, i lighed med den rene båndmusik som man har lavet i det sidste halve århundrede. Komponisten fortalte hende, at det er relativt let at lave et program som kan spille musik. Tonernes højde, varighed og styrke kan for eksempel indtastes i et tekstdokument, og lydbølgerne kan indføres ved at optage toner fra instrumenter og måske bearbejde, eller - endnu bedre - ved at tegne lydbølger på papirer og skanne dem. Der kan opstå sære paradokser ved efterklang og flerstemmighed, på grund af den matematiske præcision, men disse problemer kan løses ved milde variationer i klangen. Komponisten har foræret Annie en CD med nogle klassiske værker lavet på den måde, og hun er overrasket over så godt noget af det lyder. Der er noget charmerende ved den matematiske præcision. Man kan få en meget fyldig harmoni, og man kan få ting frem som er umulige for musikere. Blandt andet kan man opnå klangfarve på andre måder end ved overtoner. Alle de traditionelle musikinstrumenter frembringer overtoner: de kommer af at strengen eller luftsøjlen, foruden den tilsigtede frekvens, også svinger med dobbelt så høj frekvens og med tre gange så høj frekvens, og så videre. Men hvem siger, at denne tingenes orden er den smukkeste måde at få klangfarve på? Med computeren har man ubegrænset mulighed for at skabe klangfarve. Ved nogle af computerindspilningerne mærkes dog endnu det lidt "kolde", der kan være ved en altfor regelmæssig lyd. Der er nok lang vej til den varme og klangfylde som en violinvirtuos kan få frem. Komponisten mener, at det ikke bare er muligt at få en helt tilfredsstillende klang, men at brugen af computer engang vil blive den almindelige fremstillingsmåde af seriøs musik, og at musikeres opførelser vil fremstå som efterligninger, og vil blive vurderet som sådanne - og at musikerne primært vil tjene til at gøre musiklivet levende. Annie kan godt forestille sig alt dette, musik som ikke er frembragt af musikere er jo ikke fremmed for hende, og hun tror heller ikke at den nye teknik vil ødelægge miljøet. Tværtimod, den vil skabe en større afstand til det rytmiske miljø, for dér vil man garanteret ikke give afkald på optræden. Komponisten mener, at computeren som instrument engang vil kunne studeres ved konservatorierne på linie med andre instrumenter, og at disse "musikere" i første omgang især vil blive brugt til at lave indspilninger af "glemte" klassiske værker. Målet er, at hele den klassiske musikarv ligger på Internettet i form af noder og indspilninger - og kun en mindre del af indspilningerne kan selvsagt være udført af musikere. Desuden kan enhver let lære at lave mangestemmige og vellydende indspilninger, og det vil kunne fremme interessen og sansen for musik.

Hvorfor siger Annie ikke dette videre til Niels-Henrik? Hvorfor skjuler hun CD-en for ham? Komponisten har endda presset hende lidt, fordi han kunne tænke sig at gøre sig uafhængig af musikere. Han og Niels-Henrik kunne arbejde sammen, så Niels-Henrik lavede programmet og komponisten udtænkte hvordan lyden klangmæssigt kan forbedres. Men nej, har Annie bestemt: hvis Niels-Henrik skal have noget med musik at gøre, så skal det være som musiker eller som komponist eller som lærd - ikke som programmør. Han ville helt sikkert blive begejstret for opgaven og glemme Goldbachs formodning. Han ville lave den ene indspilning efter den anden, og bedre og bedre, og hun og komponisten kunne foreslå værker og påpege de ting der skal forbedres. Ja han kunne blive en pionér på dette område. Annie stritter imod, fordi det ikke har vingefang nok til Niels-Henrik. Han ville relativt hurtigt - i løbet af nogle måneder - nå frem til indspilninger som er næsten perfekte, men herefter ville gejsten aftage, for tilbage ville kun være pillearbejde. Computermusik er et teknisk problem i lighed med alle de andre tekniske problemer, det er noget der afsluttes, i modsætning til matematikken og de øvrige gamle videnskaber - og kunsten - som evigt kan udvikles og fængsle. Niels-Henrik skal ikke beskæftige sig med noget der ligger i tiden - det vil give bagslag - og det vil spolere hendes planer. Derfor.

Istedet har hun holdt ham hen med ligegyldige opgaver, som for eksempel at udtænke hvordan en toneskala til tonal musik bør være opbygget, for at musikken kan have den optimale grad af mangfoldighed og særpræg. Han har udtænkt nogle betingelser som skal være opfyldte (og som vi senere skal høre om), og han har fundet en metode så enhver skala der opfylder betingelserne, er karakteriseret ved et naturligt tal (noget tyder på at Niels-Henrik har fortalt om sit system til sin kommende kæreste - det må være det der hentydes til i det digt som bringes allersidst i denne bog).




Niels-Henrik gjorde ingen større fremskridt i sin teori og han var ensom og han bekymrede sig for fremtiden, men egentlig ulykkelig kunne han ikke siges at være. Havde han været ulykkelig, så havde Annie kunnet mærke det, og så havde hun grebet ind. I Niels-Henriks liv er den størrelse som er menneskets bedste beskyttelse imod ulykke: arbejde. Meningsfuldt arbejde vel at mærke - og Niels-Henrik oplever sit arbejde som meningsfuldt. Og han er vel også ved at være klar over videnskabsmandens - og kunstnerens - vilkår: der kan være lange perioder hvor arbejdet er trælst, og hvor man måske tvivler på sit projekt eller på sine evner, og ikke sjældent viser arbejde sig at være spildt. Men den drivende kraft er glæden ved at opleve værket blive til, og drømmen om at det bliver et mesterværk. Og fremfor alt, alle de øjeblikke hvor man har fået et lovende indfald som skal undersøges. Og dette moment af spænding er større i Niels-Henriks fag end så mange andre steder, og især i Niels-Henriks tilfælde: det er jo et berømt problem han har kastet sig over, han kan nårsomhelst få en tanke eller se en formel på papiret som vil vende op og ned på hans liv. Og så er det heller ikke sandt at Niels-Henrik ikke gør fremskridt, han gør store fremskridt. Han mærker hvordan hans træning i matematisk tænkning vokser, og hør bare den viden om matematikkens filosofiske problemer som han om kort tid vil lægge for dagen overfor Annie, når han skal tage stilling til hendes filosofiske problemer. Og så vokser hans træning i programmering: allerede nu ville han være et fund for ethvert firma der har brug for matematikinvolverende programmering, og det er han selv klar over. Men ikke et eneste firma ville ansætte ham hvis han henvendte sig til dem, fortæller han mig.

Det er muligt, men jeg bør på dette sted meddele noget som har fundet sted efter at vores beretning her er slut - det foregår i skrivende stund. Som vi har hørt, forestiller Niels-Henrik sig at hans levebrødsarbejde engang vil blive et ufaglært deltidsjob. Han er dog (som vi skal høre om senere) kommet på en idé som nu har båret sin første frugt, og som måske kan fortsætte. Den går ud på at han vil lave computerprogrammer der kan ting og sager som er interessante eller nyttige, men som ingen tænker på, fordi de ting ikke kan laves med noget program der er på markedet - eller fordi tingene slet ikke forbindes med programmering. Det er ting som kun kan laves ved programmering helt fra grunden, og denne programmeringsmåde er Niels-Henrik helt gået over til, og den betyder at hans tanker kan bevæge sig meget mere frit. Den idé som først er blevet realiseret, fik han da han hørte om vores bogprojekt. En af Annies utallige kæpheste er bogforlagenes sjuskeri: de lader halvfærdigt arbejde fra forfatterens side passere, og en bagsidetekst er altid så man ikke har lyst til at læse bogen, og et omslag er altid så man ikke har lyst til at have bogen liggende fremme. Og så ser man kun sjældent udsmykning i bøgerne: smagfulde tegninger eller akvareller, eller vignetter der skiller kapitlerne. Denne evigt tilbagevendende klage, erindrede Niels-Henrik nu Annie om. I et sekund eller to kunne man se på hendes ansigt at hun her havde fået et problem, men så udbrød hun: "Den sag kan vi vist roligt overlade til dig Niels-Henrik - matematik og programmering vil der blive talt en hel del om i vores bog, og en af dine flotte fraktaler skal med, så du må kunne finde på noget - omslag og vignetter - noget med et flot farvespil - ikke fraktaler, de er for anmasende - noget mere roligt - men ligesom fraktaler noget med en simpel opskrift - og du har rigelig tid, der går et par år inden bogen er færdig." Men Niels-Henrik behøvede ikke rigelig tid, han kom straks til at tænke på det billardprogram han engang havde lavet. I dette program følger man en partikel som bevæger sig indenfor et rektangel hvori der er nogle figurer, og hvor partiklen bliver reflekteret når den rammer en forhindring. Vignetterne skal være smalle rektangler som er fyldt ud af sådanne partikelbaner, farvede efter et eller andet princip - og ved anvendelse af nogle af de mange cykliske farveskalaer som han har konstrueret til fraktalerne. Og omslaget - genialt! - to rektangler inden i hinanden så de danner en rektangulær mur: Annie (som kan lide genbrug af gode titler) havde talt noget om at bogen burde hedde "Indenfor Murene". I programmet til vignetterne er der parametre som kan justeres, og der måtte eksperimenteres en del førend Annie var tilfreds med billederne - og nu forlangte hun at der skal være mange forskellige vignetter, så man kommer hele vejen rundt i programmets muligheder. Og så fik hun en idé: sådanne billeder kan sælges. I stor størrelse kan de tjene som dekoration over opgangene i et boligkompleks. Annie er pludselig blevet forretningskvinde! Hun ringede rundt til kommuner og spurgte om planer for boligkomplekser som endnu var på arkitektstadiet. Og snart havde hun telefonnummeret til en kendt arkitekt. Hun måtte meget gerne maile nogle af Niels-Henriks billeder. Og de er faldet i god jord. Niels-Henrik og arkitektfirmaets farvekyndige er øjeblikket igang med at lave et stort antal billeder, så der er noget at vælge imellem. Og der er fundet et firma som kan masseproducere dem: billederne skal printes på gennemsigtig plast og klistres imellem to glasplader, og bag glasset skal være en kasse med en lyskilde, så de leverer belysningen foran opgangen når det er mørkt. Det kan måske blive en eksportartikel, hvor der hele tiden vil blive brug for nye mønstre. Men nu tilbage til Niels-Henriks svære tid:

Niels-Henrik bekymrer sig for fremtiden, javist, men det er der så mange unge der gør, og han har i virkeligheden mindre grund til bekymring end de andre, og det véd han også godt. Ihvertfald fandt Annie ingen grund til at gribe ind før hen i maj-måned. I løbet af april-måned var han begyndt at komme hyppigere og han sagde mindre, og i begyndelsen af maj var det næsten blevet et ritual at han kom hver anden dag og spiste. Han var sikkert gerne kommet hver dag, men det ville være en for tydelig demonstration af at der er noget galt.

Men så ændrede noget sig pludselig. En dag hvor Annie havde ventet at han kom, kom han ikke, men næste dag kom han - midt på eftermiddagen og i strålende humør. Han kom ligefra København - han havde haft møde med både Filtbak og Gert:

   — Du ser ud som om du har bevist Goldbachs formodning.

   — Ja! - så er der fri bane! - den ulighed jeg taler om, nu er den undersøgt på alle leder og kanter - og jeg er kommet frem til tre simple uligheder som ligger i forlængelse af hinanden og som tilsammen vil føre til Goldbachs formodning - den første og den sidste ulighed kan sikkert bevises, og den midterste er yderst interessant - det er en helt ny formodning - den er beslægtet med Goldbachs formodning, men den har mere indhold - både Gert og Filtbak siger at den garanteret er ukendt.

   — Du har altså opdaget en ny formodning som vil blive berømt? - Aphels formodning?

   — Nemlig! - og den indeholder det væsentlige i Goldbachs formodning, og den ser ud til at kunne bevises - og når den er bevist, så skulle resten være ligeudad landevejen - og hvis det virkelig viser sig, at den nye formodning er ligeså genstridig som Goldbachs formodning... ja det vil på en måde være en fordel, for så vil den vække endnu mere opsigt - for den ser ud til at kunne bruges til noget - Goldbachs formodning er opsigtsvækkende, men den kan jo ikke bruges til noget.

   — Nå! - kan Goldbachs formodning ikke bruges til noget?

   — Nej, den bruges ikke til at bevise noget - og den kan jo ikke bruges, sålænge den ikke er bevist, det ka' du da nok forstå - og selvom den var bevist, så ville den ikke blive brugt alligevel - der er nogen sætninger som er et middel til at bevise andre sætninger, og så er der nogen sætninger som er et mål i sig selv - Goldbachs formodning er et mål i sig selv - og noget tyder jo på at man aldrig vil nå det mål.

   — Nå! - jeg troede lige at alt tyder på at det mål meget snart er nået - men tag nu skoene af og sæt dig ind og køl lidt af, så går jeg ud og laver kaffe, og så må jeg høre nærmere.

Da Annie kom ind, var der bredt papirer ud over det meste af sofabordet.

   — Du har talt med Gert og Filtbak, siger du - hvordan? - havde du aftalt med dem i forvejen?

   — Øh ja - jeg ringede til Filtbak - og Gert kunne også komme.

   — Og hvad sagde de?

   — De var målløse - de siger som sagt, at det nok kan lade sig gøre at bevise den nye formodning, og så udfra den bevise Goldbachs formodning.

   — Hvad går den formodning ud på? - er den ligeså enkel som Goldbachs formodning? - ka' jeg forstå den?

   — Den er ikke helt så enkel som Goldbachs formodning, men du kan sagtens forstå den - jeg arbejder jo med en funktion som jeg kalder kvad(k) - man skriver tallet k som produktet af to tal a og b således at differensen mellem a og b er mindst mulig, og så tager man den differens og lægger 1 til - kvad(k) har jo den egenskab, at værdien er størst mulig når k er et primtal og mindst mulig når k er et kvadrattal - og hvis man nu har et tal n, så danner man gennemsnittet af tallene kvad(n-p), hvor p gennemløber primtallene mindre end n - det tal kalder vi D - se her

D = gennemsnittet af kvad(n-p) for p primtal < n

- og det tal sammenligner vi med gennemsnittet af alle tallene kvad(k), hvor k er mindre end n - det tal kalder vi S - altså

S = gennemsnittet af kvad(k) for k < n

- så siger min formodning, at når n er lige er S mindre end D, og når n er ulige er S større end D - se denneher tabel, der har jeg trukket de to tal fra hinanden, derfor skifter tallene hele tiden mellem plus og minus

      n          D - S

    990         199

    991        -74

    992         4

    993        -37

    994         70

    995        -57

    996         123

    997        -75

    998         17

    999        -44

    1000       87

    1001      -47

    1002       117

    1003      -74

    1004       26

    1005      -17

    1006       26

    1007      -79

    1008       149

    1009      -69

    1010       69

- og den skiften mellem plus og minus vil fortsætte i al evighed - det er den nye formodning - og jeg er helt sikker på at den er sand - computeren har kørt hele natten - jeg havde sat den til at standse og udsende en kraftig tone hvis der kom en afvigelse, men jeg blev ikke vækket - systemet er stensikkert.

   — Javel - men hvad siger Aphels formodning? - hvad har den at gøre med Goldbachs formodning?

   — Jo, hvis nu n er et lige tal, så siger Goldbachs formodning at n er summen af to primtal, men det gælder jo at n på mange forskellige måder er summen af to primtal, og det betyder at når p gennemløber primtallene mindre end n, så vil mange af tallene n-p være primtal, og det betyder at mange af tallene kvad(n-p) vil være størst muligt, og det betyder igen at deres gennemsnit vil være stort, og det peger i retning af, at gennemsnittet af tallene kvad(n-p) for p primtal er større end gennemsnittet af alle tallene kvad(k) for k mindre end n - men når n derimod er ulige, så vil alle tallene n-p for p primtal være lige - ingen af dem er altså primtal - og det betyder at alle tallene kvad(n-p) langt fra kan være størst muligt, og det peger i retning af, at gennemsnittet af tallene kvad(n-p) for p primtal er mindre end gennemsnittet af alle tallene kvad(k) for k mindre end n.

   — Ja - det er et heuristisk bevis for at din formodning er sand.

   — Ja, men det bygger jo på Goldbachs formodning - og det er det omvendte jeg skal bevise - og det kan også let bevises heuristisk - for min formodning betyder, at når n er lige, så vil der blandt tallene kvad(n-p) for p primtal være mange der er størst muligt, og når kvad(n-p) er størst mulig, så er n-p et primtal, og så er n summen af to primtal - Goldbachs formodning og min formodning er sikkert ensbetydende.

   — Ja.

   — Og læg mærke til, at S som en funktion af n, vil være en jævnt voksende kurve - og at D som en funktion af n, også vil være en voksende kurve, men den vil ikke vokse jævnt - jeg regner med at den har samme forløb som røgskyen der stiger.

   — Og det at den ujævne kurve D ligger over den jævnt voksende kurve S, det er det der er din formodning?

   — Ja, når n er lige - når n er ulige er det omvendt, så ligger den ujævne kurve under den jævne kurve - ideen i min strategi er, at jeg ændrer lidt i formuleringen af Goldbachs formodning - hvis vi kalder Goldbachs antal GF, så siger Goldbachs formodning at

0 < GF

- men så har jeg fundet et tal bestemt tal som jeg kalder GF' og som jeg lægger til på begge sider - GF' er antallet af opspaltninger af det lige tal i to tal, således at det mindste er et primtal og det største ikke er et primtal men det jeg kalder et "næsten-primal" - så kommer uligheden til at lyde

GF' < GF + GF'

- og det har den fordel at GF + GF' har en meget enkel definition - og når n er lige, er S < D, og det viser sig, at de to tal S og D kan indskydes imellem GF' og GF + GF' - altså

GF' < S < D < GF + GF'

- her er S og D nu ikke lige præcis de samme S og D som før, men det betyder ikke noget - det er en variant af min formodning - der er altså ialt fire tal på rad og række som vokser i størrelse, og det giver tre uligheder, og her er den midterste min formodning.

   — Nå.

   — Det første af de to tal jeg indskyder, S, er som sagt en talrække der vokser jævnt når n vokser - de andre tre tal vokser meget ujævnt - den jævne række S ligger imellem to stærkt ujævne rækker, GF' og D, og det er lige præcis at der er plads til den.

   — Ja.

   — Og der er også noget andet genialt, og det er at min formodning er mere generel end det jeg lige har sagt - den gælder også selvom man erstatter funktionen kvad(k) med en helt vilkårlig funktion med lignende egenskaber - formodningen er et universielt princip - funktionen kvad(k) skal bare opfylde den betingelse, at den er størst mulig når k er et primtal og at den er lille når k har mange primfaktorer - jeg har kontrolleret formodningen for forskellige funktioner, og den er korrekt hver gang - og det mest interessante er, at jeg har fundet en funktion som opfylder betingelserne og som har den mest muligt elegante definition - den må betragtes som prototypen på den slags funktioner.

   — Nå, hvordan ser den ud?

   — Dens definition lyder simpelthen, at hvis man har et tal k, så opspalter man det i primfaktorer og tager summen af primfaktorerne - man erstatter altså bare gangetegnene med plustegn.

   — Det var genialt.

   — Ja, for det betyder at funktionen har den samme egenskab som logaritmefunktionen: hvis man har to tal m og n, så får man det tal der hører til m gange n, ved at lægge de tal der hører til m og n sammen.

   — Ja, den regel kan jeg godt huske: logaritmen til et produkt er summen af faktorernes logaritmer - den sidder i rygmarven - det er jo det der er fidusen ved logaritmerne - du har altså også opfundet en helt ny slags logaritme?

   — Nej, det er en kendt talteoretisk funktion - Gert siger at den betegnes σ(k) - han kalder den bare sigma-funktionen.

   — Men hvorfor har du ikke brugt den i udregningerne?

   — Fordi den er for langsom at regne ud - man skal jo først opspalte i primfaktorer og det er besværligt - den nye funktion er teoretisk interessant, men maskinen kører meget hurtigere når man bruger den gamle.

   — Så er det da godt at du først har opdaget den funktion nu - hvis det var den du havde brugt ligefra begyndelsen, så var du måske aldrig nået så langt?

   — Ja, det er faktisk et held - alle undersøgelser ville have taget en evig tid, og mange ting ville jeg måske slet ikke ha' opdaget - der er noget mere: den jævne række betyder at Goldbachs antal bliver spaltet op i to dele - jeg har jo fire tal på rad og række, og nummer to er den jævne række S, og den ligger imellem de to yderste, GF' og GF + GF', men forskellen mellem dem er Goldbachs antal, så den jævne række opspalter altså Goldbachs antal i to dele - det står her, se

GF = (GF + GF' - S) + (S - GF') = a + b

- jeg kaldet det første a og det andet b - og hvis man først kunne bevise at a og b ikke kan være negative, og så kunne bevise at det ville føre til en modstrid hvis man antog at de begge er 0, så ville Goldbachs formodning være bevist.

   — Ja, men det er en anden bevisstrategi, ikke?

   — Jo, men jeg tror at det er den første vej man skal gå - altså det med min formodning og de to andre uligheder - der findes garanteret tilnærmelsesformler for tallene i min formodning - S og D - ligesom tilnærmelsesformlen for Goldbachs antal - de formler skal jeg igang med at finde.

   — Det bliver jo spændende om du kan finde dem.

   — Ja - men det ka' ta' tid, for det er formlerne for sigma-funktionen jeg ska' finde - den har jo den mest enkle definition.

   — Ja - men hvordan har du fundet ud af alt det?

   — Ved at studere figuren - den højre retlinede halvdel - udfra den kunne jeg udlede en ulighed, men den består af en masse led, og...

   — Det har jo stået på en del tid?

   — Ja, men det er yderst vanskeligt må du regne med - nogle af leddene skulle samles til noget hvor der er ting der ophæver hinanden, så det tilsammen bliver noget der er forsvindende i forhold til det øvrige - det kræver logisk ræssonneren - og en dyb forståelse for leddenes betydning.

   — Der kan du se hvordan udholdenhed bliver belønnet!

   — Ja.

   — Så nu har du rigtig noget at se til i den kommende tid?

   — Ja mon ikke.

I de følgende dage var Niels-Henriks sociale problemer væk. Det første han skulle igang med, var at finde frem til tilnærmelsesformler for funktionerne S og D, når det er sigma-funktionen σ(k) der er anvendt. Altså formler som svarer til Hardy & Littlewoods tilnærmelsesformel for GF = "antallet af måder hvorpå det lige tal n kan skrives som summen af to primtal". Denne formel er korrekt i den forstand, at forholdet mellem formlens antal og det sande antal går imod 1 når n vokser, men den er ikke særlig god, og dette har Hardy & Littlewood sikkert været klar over, men for dem gjaldt det bare om at finde en korrekt formel, så de kunne studere afvigelsen, og måske bevise at den får mindre og mindre betydning. Og det som Niels-Henrik om nogle uger fortæller Annie om den tilsvarende tilnærmelsesformel for "antallet af primtal < n", viser, at også han er blevet klar over at man kan få meget bedre tilnærmelsesformler. Den simpleste (og dårligste) tilnærmelsesformel for "antallet af primtal < n", siger at dette antal er n/log(n), og den formel minder om Hardy & Littlewoods tilnærmelsesformel for GF. Når det gælder "antallet af primtal < n", så kan man få en meget bedre tilnærmelse ved istedet for n/log(n) at tage integralet af dx/x fra x=2 til x=n - dette er Gauss' integralformel (fra slutningen af 1700-tallet). På samme måde kan man forbedre Hardy & Littlewoods formel betydeligt ved at erstatte n/log(n)2 med integralet af dx/(log(n-x)log(n+x)) fra x=0 til x=n-2 (for n = 1.000.000 er det sande antal opspaltninger 9720, den forbedrede formel giver 9739, og Hardy & Littlewoods formel giver 9223). Denne forbedrede formel kender Niels-Henrik endnu ikke, fordi han ikke har studeret teorien systematisk, men han véd, at i de to tilnærmelsesformler han skal finde - en formel for S = "gennemsnittet af tallene σ(k) for alle k < n" og en formel for D = "gennemsnittet af tallene σ(n-p) for primtallene p < n" - i begge disse formler er den primære del af tallet nok tallet n/log(n). Og da dette tal jo er en (dårlig) tilnærmelse til "antallet af primtal < n", så får man nok meget bedre tilnærmelser ved at erstatte n/log(n) med "antallet af primtal < n".

Niels-Henrik lavede først et program der sammenligner S = "gennemsnittet af tallene σ(k) for k < n" med "antallet af primtal < n". Forholdet mellem disse to tal må variere meget regelmæssigt, og det viste sig, at forholdet nærmer sig mere og mere til et tal omkring 0,82 når n vokser. Herefter lavede Niels-Henrik et program der sammenligner D = "gennemsnittet af tallene σ(n-p) for primtallene p < n" med "antallet af primtal < n", og forholdet mellem disse to tal varierer som ventet meget uregelmæssigt, for der skal (ligesom i Hardy & Littlewoods formel) indføres en afhængighed af primfaktorerne i n: "antallet af primtal < n" skal ganges med et tal κ(n) bestemt af n's opspaltning i primfaktorer. I Hardy & Littlewoods formel er dette tal "et fast tal gange produktet af (p-1)/(p-2) for de ulige primfaktorer p i n", så κ(n) har nok en lignende form, blot skal tallene (p-1)/(p-2) ændres lidt. Niels-Henrik fik den smarte idé, at lade n være produktet af to primtal, et meget lille og et meget stort. Så er tallet n jo stort, og man skal kun gange to tal, hvoraf det første har lighed med (p-1)/(p-2) og må afhænge stærkt af p, hvorimod det andet kan sættes lig 1. På den måde nåede Niels-Henrik frem til at (p-1)/(p-2) skal erstattes med (p-1)/(p-2 + 1/(p+1)), og det faste tal synes at være omkring 0,95. Altså: κ(n) = "et tal omkring 0,95 gange produktet af (p-1)/(p-2 + 1/(p+1)) for de ulige primfaktorer p i n". Når n er ulige, skal κ(n) dog divideres med 3.

Niels-Henriks første formel er uproblemantisk, og den er korrekt: forholdet kan bevises at konvergere imod π2/12 = 0,822. Niels-Henriks anden formel er ganske imponerende, for afhængigheden af n's primfaktorer (i tallet κ(n)) er nemlig korrekt, men det faste tal er ikke omkring 0,95, men omkring 0,92 - den præcise værdi er "π2/8 gange produktet af 1-1/(p(p-1)) for alle primtallene p > 2". For som Gert fortalte Niels-Henrik, så skal man for den slags formler indenfor talteorien op på ekstremt store tal, førend man kan sige noget præcist om talværdierne. Det er Gert som ved formale udregninger er nået frem til de præcise tal, for han vil, som vi senere skal høre om, tage initativ til at udarbejde en omfattende artikel om Niels-Henriks teori, men da vi ikke kan vide hvornår den er færdig, og da en matematiker der læser dette (for eksempel en studerende med henblik på speciale) måske gerne vil høre nærmere om Niels-Henriks metode, skal vi kort redegøre for den:

Lad σ(k) være sigma-funktionen: k opspaltes i primtal, og σ(k) fås ved at erstatte gangetegnene med plustegn. For alle k er σ(k) ≤ k, og der gælder kun lighed når k er et primtal. Jo større σ(k) er, jo færre primfaktorer har k, og for et tal h vil vi kalde k et "næsten-primtal med hensyn til h", hvis k-σ(k) < h. Lad nu n være et naturligt tal. De naturlige tal q fra 1 til 2n er delt i to lige store klasser K1 og K2: K1 er tallene fra 1 til n og K2 er tallene fra n+1 til 2n. Lad os (i de to klasser) begrænse os til tallene q således at komplementet 2n-q er et primtal, og lad os i K2 yderligere begrænse os til de af tallene q således at q er et næsten-primtal med hensyn til n. Tallene q i K2 kan deles i to dele: de q som er et primtal og de q som ikke er et primtal - antallet af de første er Goldbachs antal GF for 2n og antallet af de sidste betegner vi GF'.

Goldbachs formodning siger at

0 < GF

Her lægger Niels-Henrik GF' til på begge sider af ulighedstegnet, således at 0 < GF er ensbetydende med at

GF' < GF + GF' = "antallet af q i K2"

Lad os sætte

D = summen af tallene σ(q)/(n/2) for q i K1

(bemærk at for q i K1 er σ(q) ≤ n, og at n/2 er gennemsnittet af tallene 1, 2, ..., n)

Arealet af den højre side af figuren er mindre end arealet af det omsluttende polygonale område med fem sider. Dette fører til uligheden D + Z < "antallet af q i K2", hvor Z bidrager minimalt. Det skulle gerne bevises at den ulighed fortsat gælder når Z fjernes. Der er to muligheder. Den ene er at bevise denne ulighed direkte, og så bare sige at figuren har givet ideen til den. Og den mulighed nok den nemmeste - det skal altså bevises at

D < "antallet af q i K2"

(Den anden mulighed for at bevise denne ulighed, er at bevise at den "retlinede" del af kurven er konkav, og så undersøge Z nærmere. Z kan skrives som Z1 - Z2, hvor Z1 og Z2 er positive og relativt nær 0, og her er Z2 regelmæssig og helt uproblemetisk. Da Z1 er positiv, følger af D + Z < "antallet af q i K2" at D - Z2 < "antallet af q i K2", og her skal det bevises at man kan se bort fra Z2.)

Hvis det nu yderligere kan bevises at GF' < D, så er Goldbachs formodning bevist. Niels-Henriks store opdagelse er, at der imellem disse to tal GF' og D kan indskydes tallet S givet ved

S = "antallet af primtal i intervallet [n, 2n]" gange "gennemsnittet af alle tallene σ(k) for k < n" divideret med n/2.

Der skulle altså gælde

GF' < S < D

Den anden ulighed her, S < D, er en variant af Aphels formodning for de lige tal og som lyder: "gennemsnittet af alle tallene σ(k) for k < n" er mindre end "gennemsnittet af tallene σ(2n-p) for primtallene p i intervallet ]n, 2n]".

Den første ulighed, GF' < S, kan bevises (mener Niels-Henrik), for tallene GF' er dem som ham dér Chen (side ...) har regnet på og tilnærmelsesformlen for S kan jo bevises.

Der skulle således alt ialt gælde de tre uligheder

GF' < S < D < "antallet af q i K2"

Strengt taget skal de tre ulighedstegn erstattes med ≤-tegn (mindre end eller lig med), for hvis Goldbachs formodning var ugyldig for en n-værdi, så ville der i alle tre tilfælde gælde lighed for denne n-værdi. Har man bevist den første og den sidste ulighed, så er beviset for Goldbachs formodning altså reduceret til (en variant af) Aphels formodning: S < D. For n omkring 20000 forløber tallene således - de tre sidste tal er Goldbachs antal og opspaltningen af dette tal (udfra S) i to dele (a og b) som Niels-Henrik fortalte Annie om:

       n           GF'      S         D    "antallet af q i K2"                  GF      a          b

    20000     197     365     514     586                                        389     168     221

    20001     99       365     644     692                                        593     266     327

    20002     174     365     416     479                                        305     191     114

    20003     187     365     404     476                                        289     178     111

    20004     87       365     629     641                                        554     278     276

    20005     186     365     511     572                                        386     179     207

    20006     172     365     486     536                                        364     193     171

    20007     93       365     746     780                                        687     272     415

    20008     178     365     443     496                                        318     187     131

    20009     202     365     477     550                                        348     163     185

    20010     58       365     867     893                                        835     307     528

Bemærk, at den jævnt voksende række S ligger imellem de to stærkt uregelmæssige rækker GF' og D (og at GF' er lille når D er stor, og omvendt), og at de to rækker D og "antallet af q i K2" - og også Goldbachs antal GF - nogenlunde følger hinanden. I opspaltningen af Goldbachs antal (bestemt af S), GF = a + b, er a = "antallet af q i K2" - S og b = S - GF', og det ser ud som om at antallet af opspaltninger hvor a < b er det samme som antallet af opspaltninger hvor a > b. Så hvis man først kan bevise at tallene a og b ikke kan være negative, og derefter kan bevise at der vil opstå en modstrid hvis de begge er 0, så er Goldbachs formodning bevist.

(Niels-Henriks første strategi - den som ikke førte til noget - var at bevise at arealet af den højre side af figuren er større end arealet under den skrå linie. Den ulighed man så får er GF' - Z < D, men det forudsætter at man har bevist at den "retlinede" del af kurven ligger over den skrå linie. Er Aphels formodning sand, er GF' < D, og så er Goldbachs formodning bevist, hvis man kan bevise at det yderligere gælder at GF' + Z2 < D.)

Men så opdagede Niels-Henrik noget som lige først gav ham et chok. Aphels formodning skal kun bruges for de lige n-værdier, så derfor havde han lavet et program som kun udregner tallene for de lige tal, for at nå igennem så mange tal som muligt. Og nu gjorde han det tilsvarende for de ulige tal, for at blive helt sikker på Aphels formodning. Han havde sat programmet til at stoppe og udsende en hyletone, hvis der kom en afvigelse. Og det gjorde der! Det var det ulige tal n = 1155. Han satte programmet til at fortsætte, og igen stoppede det efter nogen tids kørsel, denne gang ved n = 1365. Hans formodning er altså forkert for sjældne ulige tal - der bliver nok længere og længere afstand mellem dem, men det vil sikkert fortsætte i al evighed. Da han kun skal bruge formodningen for de lige tal, er afvigelsen for de ulige tal uden betydning, men det betyder at Aphels formodning ikke er ubetinget sand - der er sjældne afvigelser for de ulige tal. Men så gik det op for ham, at afvigelserne på en måde er en fordel, for man kan jo studere afvigelsestallene nøjere - finde en beskrivelse af dem og finde ud af deres betydning - de er måske interessante. Han fandt flere afvigelsestal, og det viste sig, at de alle har mange små primtal i deres opløsning i primfaktorer - for eksempel er 1155 = 3x5x7x11 og 1365 = 3x5x7x13.

Med Aphels formodning nåede Niels-Henrik ikke meget længere end dette - ja den så nærmest ud til at være sværere at bevise end Goldbachs formodning. Aphels formodning (S < D) skulle sammen med to andre uligheder, GF' < S og D < "antallet af q i K2", bevise Goldbachs formodning, så hvis han kunne bevise disse to uligheder, så havde han bevist at Goldbachs formodning følger af Aphels formodning - og det må trods alt siges at være et flot resultat. Han testede ulighederne op til meget store n-værdier, og det var opmuntrende at se tallene, for ulighederne er til overmåde opfyldte. Og især var det opmuntrende at se rækken af de jævnt voksede tal S imellem de to stærkt ujævne rækker GF' og D. Det er den opdagelse som er hans største bedrift. Niels-Henrik brugte mange timer på at kigge på ulighederne og den jævne talrække som hører sammen med Aphels formodning, og da den måde tallene dannes på er ganske enkel, fandt han mere og mere skønhed i formlerne. Skønheden kommer vel af at de har så stor betydning, fordi de direkte, uden yderligere bevisførelse, vil medføre Goldbachs formodning.

Skal Niels-Henrik bevise den første ulighed, GF' < S, må han studere Chens bevis for sin version af Goldbachs formodning - Chens sætning siger, at ethvert tilstrækkelig stort lige tal er summen af to primtal eller summen af et primtal og et tal som er produktet af to primtal. De to kinesiske bøger han havde bestilt, var kommet forlængst, men da han havde bladret i dem og konstateret at hans kurver ikke er der, havde han lagt dem tilside. Men nu hvor han fandt dem frem for at studere Chens bevis, så han hvor uhyre kompliceret det er, og at det vrimler med konkrete tal med helt op til syv decimaler - hvad skal de gøre godt for?

Hvad gør man nu? Skal man bruge det næste år på at sætte sig ind i den teori, for at gøre beviset for GF' < S helt komplet? Og der er jo også beviset for D < "antallet af q i K2". Han vil ikke kunne sende en artikel til et tidsskrift, førend beviserne for de to uligheder er komplette.

Når man sådan, efter i lang tid at have tabt fart, pludselig har fået et ordentligt vindstød i ryggen og er blevet puffet langt frem, men så igen mærker modvinden, og mere end før, og mærker at farten aftager hurtigt, så er tankerne triste, især når man har fremvist sit forspring altfor tydeligt.

Jo, det er måske på tide at holde en pause i arbejdet med Goldbachs formodning. Hvis han ikke kan brillere ved at gøre en stor opdagelse, må han i det mindste brillere ved at læse bøger som ligger langt over hans alderstrin. Tænk hvor langt han kunne være nået nu i et studium. Og han kunne allerede efter sommerferien gå til 2. dels forelæsninger. Og før eller senere skal han jo igang med et rigtigt matematikstudium - en uddannelse i matematikken ligesom den Annie har fået i musikken. Og efter det mas med Goldbachs formodning, kunne det være skønt bare at ligge på langs og læse lærebøger hvor alt bliver serveret for én.

På den anden side, hvis han kan finde et argument som sandsynliggør at Aphels formodning kan bevises, så kan det accepteres, at beviserne for de to andre uligheder ikke er helt komplette, og så kan han roligt brygge en artikel sammen. Og hvem véd? - i morgen får han måske et indfald som sætter en kædereaktion af indfald igang, og som fører til at han kan skrive artiklen. Og så har han vist at hans arbejde har ført til noget, og så kan han med sindsro gå igang med sit studium.

Således bliver en beslutning udsat og udsat. Og den bliver udsat, ikke alene fordi han må retfærdiggøre alt det han har sat i scene, men også fordi han er kommet så langt ind i sin teori, at han ikke kan komme ud igen. Hans hoved er så fyldt med formler og overvejelser at alt andet skubbes bort - der er hele tiden noget der lige skal undersøges.

Men hans andet problem, hans ensomhed, lader sig ikke skubbe bort. Og det har det ikke gjort i al den tid han har boet alene. Da han boede hjemme var der trods alt liv omkring ham - de var irriterende men de dulmede hans ensomhed. Nu er der ikke noget til at dulme ensomheden - de gamle er næsten aldrig udenfor en dør, og slet ikke om vinteren. Niels-Henrik har naturligvis løst dette problem ved at dagdrømme. Når han sidder over sine papirer, kan han falde i staver. Så drømmer han sig til alt det han mangler, drømmer sig ind i en verden hvor mange flere unge er ligesom ham selv. I den verden dyrker lærerne deres fag, og i hvert fag er der flere elever der, på samme måde som ham, går op i faget med liv og sjæl. Flere elever i hver klasse - fire, fem, seks - interesserer sig for matematik, de holder møder hos hinanden og hos læreren hvor de studerer spændende problemer og løser svære opgaver - og flere vil være med i hans arbejde med Goldbachs formodning. Og flere i klassen interesserer sig for fransk, de læser uddrag af klassiske værker og diskuterer oversættelse og grammatiske spørgsmål - læreren er begejstret for hans franske sproglære, de danner en studiekreds hvor de læser i den og sammenligner sproget dengang med sproget idag - ja historielæreren foreslår, at Niels-Henrik i en historietime læser op af sin bog, fordi læsestykkerne giver et glimrende billede af 1700-tallets liv og dyder. Og flere elever i klassen interesserer sig for moderne musik, de lytter til de store mesterværker og Niels-Henrik fortæller de andre hvad de skal lægge mærke til, og Annie er også med, og i samlet trop tager de til koncerter og til foredrag i foreningen "Ny Musik i Birkerød" hvor komponisterne kommer og fortæller om deres værker.

Og når han så vågner op af sin drøm, og tilhørerne til hans foredrag om realisme og anti-realisme pludselig er væk, så kan der komme et frygteligt raseri op i ham. Så rejser han sig op og går voldsomt, tre skridt frem og tre skridt tilbage. Alle unge er som dem han kender - alle. Og så ser han deres grinende fjæser og hører deres udtryk som han aldrig forstår - og det er altid de mest irriterende af dem, Nalle og Jakob.

I den seneste tid er disse vredesudbrud dog stilnet en hel del af, for hans vennekreds er nemlig skrumpet ind til kun én, og hun - for det er selvfølgelig en hun - er til gengæld blevet såmeget desmere virkelig: ja, Niels-Henrik har fået en kæreste! Hun fik meget tidligt et navn: Sonja. I moppedrengen, altså "Matematikkens Mænd", er én af disse mænd en kvinde, Sonja Kowalevsky. Hun levede fra 1850 til 1891, og der er billede af hende. Hun ser meget ung ud og hun er eventyrlig køn - bogen ligger opslået på siden med fotografiet. Billedet har en særegen tiltrækning på ham - det at det er fra en fjern fortid og det at hun var helt anderledes end andre kvinder.

Denne virkelighedens Sonja var opvokset i Rusland, hvor hendes far var general og godsejer. Hvordan hun blev interesseret i matematik, står der ikke noget om. Men for at kunne studere, måtte hun flygte til Europa. Hendes skønhed og usædvanlige evner skaffede hende enetimer hos den store matematiker Weierstrass. Hun blev ekspert i teorien for partielle differentialligninger og endte som professor i Stockholm - verdens første kvindelige professor. Og desuden skrev hun skønlitterære bøger - kan man mon skaffe dem?.

Af dette fotografi er Niels-Henriks Sonja blevet til. I de første dage var hendes skæbne usikker og hun forandrede sig. Men så begyndte bestemte træk at gå igen, de indrettede sig efter hinanden og samlede sig til en ung pige, som ikke bare er blevet behageligt nærværende - han kan se hende for sig, høre hendes stemme, hendes latter, snuse hendes hår - men som på det seneste er blevet lige lovlig selvstændig. Ja, hun gør fordringer og hun overrasker ham - af og til kan han le af hende. Hun deler naturligvis hans interesse for matematik, men hun er slet ikke på hans niveau, men han giver hende undervisning, og hun er selvfølgelig sat grundigt ind i hans bevisstrategi for Goldbachs formodning. Når hun kommer, fortæller han hende om alt hvad han har fundet ud af siden sidst, og hun stiller spørgsmål og kommer med forslag. De taler om deres liv. Hun frygter at hendes forældre skal opdage hendes mærkelige interesse. Hun tænker også på at droppe gymnasiet og finde en hemmelig hytte. Deres liv er meget bedre end de andres - de gør nar af dem. Og de taler om alt hvad kærester nu taler om - og så kæler de og går tur ovre i skoven.

Sonja optager mere og mere plads i Niels-Henriks liv. Derfor er Sonja blevet en ekstra anledning til bekymring. Når han har siddet længe og tegnet krusseduller og talt med Sonja som sidder henne på sengen, så vågner han pludselig op af sin drøm - forskrækket og skamfuld - det må høre op! - han er ved at blive gal! - tænk hvis nogen vidste det. Og så har han først fået sjælefreden tilbage, når han har været igennem den samme remse af overvejelser som i går: forelæsninger ved universitetet, Ungdommens Naturvidenskabelige Forening, spille fløjte i et ungdomsorkester.

Forelæsninger ved universitetet? Det kan tidligst blive til næste forår. Spille fløjte i en ungdomsorkester? Måske, men ikke lige nu - og måske slet ikke - nej, skal han beskæftige sig med noget, så skal det være på professionelt niveau, man må vælge, og det er ikke musikken han har valgt - og hvilken musik spiller de i et sådant orkester? - han ville nok komme op at skændes med dem. Ungdommens Naturvidenskabelige Forening? Måske, han har programmet, men nu er sæsonnen næsten forbi og det meste af det gider han ikke, og det der er om matematik er altfor elementært - og det er vel bare et foredrag hvor folk kommer og hører og går igen - han vil ikke komme alene, han vil komme sammen med nogen, men hvem skulle det være? (Annie ville sikkert gerne med, men han ville ikke møde op med sin mor.)

Og når hans situation således har været endevendt, og alting ser håbløst ud, og han har brug for trøst, så er Sonja væk for i dag.

Men der er mere der bekymrer Niels-Henrik. De andre går i gymnasiet og lærer noget. Han har lært meget mere end dem og er på et langt højere niveau, men de lærer noget han ikke lærer. Han er bagud med den almene dannelse man skal have. Takket være Annies undervisning i alle de år, er han langt forud for de andre på de tunge og tidskrævende områder: matematik og fysik og sprog, og også fag som historie og litteratur og filosofi og musik selvfølgelig. Men der er en masse ting de véd, som han ikke véd - ligegyldige ting som Folketinget og Mellemøsten, men det plager ham alligevel.

Dette problem har Annie talt meget om, lige siden han gik ud af gymnasiet - og også før. Han skal ikke bekymre sig om det. Lige nu skal han først og fremmest arbejde alvorligt med sin forskning. Desuden skal han læse de romaner hun anbefaler, og de artikler fra Weekendavisen og andre aviser og tidsskrifter som hun har lagt frem. Og de skal spille sammen engang imellem. Hvis han bare gør det, så vil han erhverve en arbejdsadfærd som er mere værd end hans kammeraters "lektielæsning". De bøger han ikke læser nu, dem kan han læse hurtigere og få mere ud af om et par år. Hun har lovet ham, at hun vil repetere de fag hun ikke har haft så meget kontakt med siden sin egen gymnasietid, og så kan de jo studere tingene sammen.

Ja, udmærket, hvis han i matematikken var igang med et systematisk og alsidigt studium, så kunne han måske se sådan på det. Og de romaner og artikler som Annie forsyner ham med, er mere valgt udfra hendes fine idealer, end udfra hvad han har brug for lige nu. Læsningen bliver udsat og udsat og når han endelig kommer igang, så er det sent og så falder han i søvn. De giver ham dårlig samvittighed. Og fløjten, den ligger ovre hos Annie - der bliver kun spillet når hun sætter sig ved klaveret. Koncerterne skuffer ham også. Tænk, ikke en eneste gang har han mødt en tilhører på sin egen alder, de fleste er gamle folk, og de yngste er de viderekomne musikstuderende - langt oppe i tyverne. Ingen på hans alder - det tænker Annie ikke på, hun står bare dér og plaprer. Og også musikken er der noget galt med. Annie går mest efter de koncerter hvor det der bliver opført er nyt eller af mindre kendte komponister, han vil helst til koncerterne i Radiohusets Koncertsal hvor der er mange mennesker og stort orkester og ordentlige værker.

Og så er der et problem mere, et problem som det ikke er svært for Niels-Henrik at tale om, og som Annie også gerne taler om, fordi det holder talen bort fra hans egentlige problemer: penge. Han skal da tjene penge engang, det gør hun jo også selv. "Det er deres unødige luksus der er skyld i at de må knokle - er det ikke matematik du vil beskæftige dig med? - den smule penge du vil få brug for, ka' du nemt tjene - hvis jeg ikke havde udgifter til det her enorme hus, så havde jeg kun behøvet at arbejde én time om dagen, nu må jeg arbejde to." Ja, man behøver ikke at tjene ret meget, og man behøver ingen eksamensbeviser, det har hun ikke selv - hun vil ihvertfald ikke kendes ved dem - men hun har da nogle færdigheder som hun kan leve af. Men hvem vil købe hans færdigheder? Kan han undervise noget sted uden at have eksamenspapirer? - eller blive ansat i et firma? - og vil han overhovedet noget af det? "Der er masser af småjobs, og de er ikke svære at få, for folk vil kun have noget hvor de kan morakke hele dagen - hvis der er noget du skal kunne, så kan du hurtigt lære det - hvis det er indenfor dit fag, så skriv en afhandling og vis den frem." Kan man bare komme med en afhandling? Det kan man måske på hendes område, man kan sende et foredrag til radioen eller man kan vise at man kan spille orgel, men hvis han ser en annonce hvor de søger en matematiker til at udføre indviklede beregninger, kan han så bare vedlægge en lærd afhandling? Eller hvis det er programmering, kan han så bare vise de programmer han har lavet? Hvad nu hvis de forlanger eksamenspapirer? "Så tager du dem som privatist, eller du skriver en doktordisputats - man kan få dispensation." Privatist og dispensation, er det overhovedet noget der findes mere?

Hvis det er så nemt, hvorfor klamrer alle de andre sig så til systemet? "Fordi de er uselvstændige og fordi de vil slippe nemmest muligt til en uddannelse." Nemmest muligt? - er kravene måske ikke store idag? - er folk ikke dygtige? "Folk er aldeles ikke dygtige - det er kun meget få der er dygtige - produktionsarbejdet blive jo mere og mere specialiseret - og uddannelsessystemet er håbløst ineffektivt, fordi det bygger på tvang og udenadslære - og det betyder milliardtab og ødelæggelse af de unges liv - men vi er nødt til at overuddanne folk, for at uddannelserne kan se ud af noget, og fordi vi ikke vil have at folk er halvdannede og halvuddannede - men hvis alle ligesom dig havde en alvorlig interesse i deres såkaldte fritid, og hvis deres lønarbejde var nogenlunde forbundet med deres interesse, så var de jo ikke halvuddannede - og med mere fritid og åndsoverskud ville de tage mere del i kulturlivet, og så var de jo ikke halvdannede - det er her vi har problemet - la' vær' a' la' dig skræmme af den skræk de spreder - alle de dér tumper der morakker fra morgen til aften, de vil ha' at man har stor beundring for dem, og de vil ha' at man skal leve det samme liv som dem selv, og de lægger hindringer for dem der vil leve anderledes." Ja, men så er man jo tvunget til at morakke, og der er lagt hindringer. "Ikke på de områder hvor du kunne tænke dig at arbejde."

Men hvis man nu hele livet igennem kun tjener så lidt som muligt, så betaler man jo ikke ret meget i skat, og så bidrager man vel for lidt til samfundsøkonomien, kan man tillade sig det, spurgte han Annie:

   — Du betaler mindre, men du bruger jo også mindre - din uddannelse koster ingenting og det er mindre sandsynligt at du får brug for lægevæsenet - det er sådan du ska' se på det.

   — Ja, men jeg sparer jo ikke op til alderdommen - jeg læste at "ældrebyrden" vil blive samfundets største problem om nogle årtier.

   — Ja det tror jeg gerne - det er ved at gå helt grassat på det område - og indenfor sygehusvæsenet - men det er folk, Niels-Henrik, der er noget galt med, snarere end det er væsenet som sådan - fordi folk handler bevidstløst - de tager mekanisk imod tilbudene - og dem bliver der jo flere og flere af.

   — Vi skal altså overveje om vi er pengene værd?

   — Ja, det skal vi af og til overveje, men det vi mest skal, er at vi skal undlade at tage imod det meste af det vi får tilbudt - og vi skal tænke på den menneskelige arbejdskraft - sig mig, ka' du forestille dig, at du havde et arbejde på det område? - bortoperere kræftsvulster, genoptræne apoplexi-patienter?

   — Øh næh.

   — Hvis jeg var din mor og jeg var alvorlig syg, og jeg havde brug for hjælp alle døgnets timer og man ikke kunne få al den hjælp fra det offentlige, ville du så ofre din videnskabelige karriere for at jeg kunne holdes i live?

   — Ja det ville jeg vel.

   — Nej nej nej - ikke at du skal sige nej, men at jeg skal sige nej - her er virkelig noget vi må tale om - vi gør begge to alt hvad vi kan for at leve et værdigt liv, vi må sandelig også gøre alt hvad vi kan for at dø en værdig død.

   — Ja øh... hvordan håber du at dit liv slutter?

   — Jeg er ikke belavet på ret megen tilbagegang - så der skal nok ikke meget sygdom til, førend jeg forlader denne verden - og kræver andres, måske din, medvirken, hvis jeg ikke selv er istand til det - når det gælder alderdom, så vil jeg dø når min livsgnist er udslukt - så enkelt er det - det betyder ikke, at jeg ikke mere skaber noget eller læser bøger eller har meninger - jeg skulle kende mig selv dårligt, hvis jeg ophørte med de ting - men det betyder, at jeg kun gør det af vane, jeg føler ikke noget videre - det jeg frygter er, at tiden forpasses, så jeg heller ikke mere føler noget videre for mine forestillinger om værdighed - det er det du skal hjælpe med at forhindre - jeg regner ikke med at jeg behøver hjælp, men det kan ske.

   — Ja, og hvad skal jeg så gøre? - jeg skal be' dig om at forsvinde? - eller måske ligefrem aflive dig?

   — Ja det er det du skal - men jeg skal nok instruere dig nærmere ved lejlighed - det er mest sandsynligt ikke noget videre du skal - måske blot en smule handling, så jeg ikke udsættes for mormors død.

   — Hvordan døde hun?

   — Det vil jeg ikke fortælle dig - det skal ikke indvirke på dit minde om hende - men det hele endte med at jeg gik amok: jeg stak overlægen en lussing.

   — Nå! - hva' så?

   — Så døde mormor dagen efter.

   — Jamen hvad med dig?

   — Jeg gjorde kun min pligt, det har lægen vel også ment - men egentlig sku' han ha' gjort mig opmærksom på, at det var min mor og ikke ham, jeg sku' ha' givet den lussing - eller han sku' være gået hen og givet den videre til hende.

   — Nå! - mener du virkelig at mormor kunne be...

   — Selvfølgelig mener jeg ikke det! - jeg mener at jeg, i en tilsvarende situation, kunne bebrejdes.

   — Du mener altså, at for at du kan dø i tide - inden din ånd fordufter og du laver ulykker og bliver til grin - så vil du have en bindende aftale - et dokument med underskrifter og segl.

   — Ja netop.

   — Og jeg skal til den tid gå alvorligt i rette med dig, hvis du ikke makker ret - om nødvendigt en gang prygl, hvis du udvikler dig til en skamplet på din slægt.

   — Jatak, en gang prygl.

   — Men hvad nu hvis du ændrer beslutning? - hvis du finder ud af at alderdommen har nogle goder som du ikke havde tænkt på?

   — Det kan ikke udelukkes - så betyder aftalen at du køligt overvejer sagen - dødsdommen bliver udsat, eller du står fast på, at det ikke er til noget fornuftigt formål at jeg fortsat lever - kan du påtage dig en sådan pligt, hvis aftalen er rimelig?

   — Ja - selvfølgelig - jeg kan jo også få brug for forpligtelser fra din side - jeg kunne jo blive holdt i live imod min vilje...

   — Nej Niels-Henrik! - en sådan ulykke kommer ikke til at ramme dig - ikke sålænge jeg lever - så nøjes jeg ikke med at gi' dem lussinger, så slår jeg dem ihjel!

De andre har det nemt, de skal ikke tænke over noget - alt er lagt tilrette for dem - når de har regnet deres opgaver, så klapper de hæftet i - færdigt arbejde. Nu er eksamenstiden begyndt, nu glæder de sig til ferien.

Niels-Henrik har ikke noget at glæde sig til. Jul og nytår og påske har været slemme nok, og nu kommer flere måneders sommerferie. Og det værste er, at lige nu kan der ikke gøres noget - det er for sent. Tænk, her skal han sidde hele sommerferien, og så bare tage over til Annie engang imellem - i sine forældres sommerhus sætter han ikke mere sine ben.

En søndag i midten af juni hvor Annie havde haft ham med til en koncert i Den Anden Opera, havde hun på hjemvejen sagt at han skal komme og spise på tirsdag. Det var hendes mening, at hun nu ville begynde at tale om alt det der skal tales om. Niels-Henrik havde set mere nedtrykt ud efter koncerten end før. Ja, han var nedtrykt. Publikum havde som sædvanlig kun bestået af oldinge, men musikerne havde været unge mennesker. Unge som dem i hans dagdrømme. De var dygtige - meget dygtige. Og de var glade - da de spillede og da folk klappede og bagefter hvor de sammen med publikum drak kaffe. Og de har fællesskab - de øver sig og diskuterer indbyrdes og med komponisterne. Og de har et spændende liv at se frem til - de bliver solister eller ansat i de store orkestre. Han derimod er gået helt i stå - Annie har nok siddet og skammet sig over ham. Nej, han tager ikke med hjem til aftensmad, han vil tage hjem til sig selv. Og fra i morgen skal et helt nyt liv begynde - i morgen vil han ringe til Filtbak eller Gert og have klar besked om hvilke bøger han skal læse - og så skal der blive læst på døgndrift hele sommerferien, så kan han begynde på 2. dels forelæsninger her til efteråret.

Men denne aften, lige inden han faldt i søvn, slog en tanke ned i ham.