Fraktale uendelighedsrækker

og konstruktion af uendelige mange endelige og uendelige uendelighedsrækker

Af Gert Buschmann

Per Nørgård's uendelighedsrække er blevet kaldt fraktal, fordi der er en strukturlighed imellem del og helhed af samme art som den man ser hos visse (geometriske) fraktaler (de selvsimilære) og fordi den ligesom disse genereres af en algoritme. Men kan der blive tale om mere end en tåget analogi? Kan et fraktal-begreb defineres for en talrække (for PN's u-række er jo i bund og grund blot en talrække) på en sådan måde at disse fraktaler får en håndgribelig strukturlighed med de selvsimilære geometriske fraktaler?

Jeg vil vise at svaret er ja, og at man igennem en sådan fraktal opfattelse af rækken både kan få en god indsigt i dens opbygning og på en elegant måde udlede egenskaber hos den - og at man tilmed får forærende en idé til en generalisation.

Disse generaliserede PN-u-rækker har dog tidligere været beskrevet, og u-række konstruktionerne i Karl Aage Rasmussen's artikel i Dansk Musik Tidsskrift nr. 6 1996 er en videreudvikling af tankegangen bag dem. De generaliserede PN-u-rækker vil i almindelighed kræve korte "bølgelængder" hvis de skal være rimelig hierarkiske, KAaR's u-rækker kan betragtes som værende fremkommet af disse u-rækker ved at de er blevet gjort mere hierarkiske - de kan derfor "tåle" meget lange bølgelængder. Med denne idé er antallet af rækker af musikalsk interesse sat betydeligt i vejret. Jeg viser computerprogrammet til denne "standardmetode" til konstruktion af u-rækker.

Endelig har jeg fundet en sådan konstruktionsmetode til "endelige" u-rækker som KAaR efterlyser i den nævnte artikel.

Per Nørgård's u-række (orden)

Vi lader os inspirere af den måde Koch's snefnugkurve er dannet på:

Da denne er en fraktal, er den ikke en kurve (selv en nok så lille del af den er uendelig lang), men den kan opfattes som grænseobjekt (mængde) for en uendelig følge af kurver som nærmer sig mere og mere til den. Disse kurver er hver sammensat af rette liniestykker og en kurve fremkommer af den foregående ved at der i hvert liniestykke indskydes to ekstra liniestykker. På en analog måde kan vi ud fra PN's u-række danne et fraktalt grænseobjekt.

Vi tager udgangspunkt i følgende egenskab ved rækken som helt bestemmer den: hvis vi først omvender rækken og derefter imellem hvert par a og b af på hinanden følgende toner indskyder en ny tone, nemlig 1-a, da får vi igen PN's u-række.

Hvis vi gentager denne operation m gange har vi altså, alt efter om m er lige eller ulige, i den oprindelige eller den omvendte u-række indskudt 2^m-1 toner imellem hvert par af på hinanden følgende toner, og resultatet er igen PN's u-række. Disse 2^m-1 toner er alene bestemt ved den første af de to toner som de er indskudt imellem. Denne tone a efterfulgt af de 2^m-1 toner vil vi kalde den til a hørende m-toneblok.

Den til tonen t hørende 1-toneblok henh. 2-toneblok har formen t, 1-t henh. t, 1-t, -1-t, 2+t. Den til t hørende m-toneblok indeholder 2^m toner og den er fremkommet ved at starte med en 1-toneblok og succesivt at omvende den foregående toneblok og imellem hvert par af på hinanden følgende toner a og b i denne at indskyde tonen 1-a, altså 1-toneblokken hørende til tonen a frataget første tone (efter sidste tone skal også "indskydes" en tone). Hvis vi deler m-toneblokken hørende til tonen t midt over og ombytter halvdelene får vi m-toneblokken hørende til tonen -(-1)^m - t.

PN's u-række er 2-invers-hierarkisk, dvs. rækken fremkommet ved at tage hver 2. tone er den omvendte (inverse) række, og den er derfor også 4-hierarkisk, dvs. rækken fremmet ved at tage hver 4. tone er rækken selv.

Af den (4-) hierarkiske struktur følger at vi kan fraktalisere rækken: vi kan indskyde 3 toner imellem hvert par af på hinanden følgende toner a og b (nemlig 2-toneblokken hørende til a frataget første tone) således at den derved fremkomne række igen er PN's u-række, og denne proces kan vi forestille os gentaget i det uendelige.

De uendelig mange toner som i den fraktaliserede u-række er indskudt imellem to på hinanden følgende toner er alene bestemt ved den første af disse to toner. Denne egenskab vil vi kalde selvsimilaritet. Men selvsimilaritet her svarer ikke helt til selvsimilaritet hos de geometriske fraktaler. Disse må nemlig nødvendigvis have et ensartet præg, hvorimod PN's u-række er uendelig mangfoldig, fordi der er uendelig mange forskellige toneblokke. PN's u-række adskiller sig dog alligevel fra de ikke-selvsimilære fraktaler (som f.eks. Mandelbrot-mængden) ved at et udsnit af rækken aldrig kan stedbestemmes - det vil altid forekomme uendelig mange gange i rækken.

Vi kan naturligvis erstatte tallet 2 med et hvilket som helst naturligt tal k (> 1) og tale om at en u-række er k-hierarkisk eller k-invers-hierarkisk. Den kan fraktaliseres ganske som vist, og vi kan tale om at den fraktaliserede u-række er selvsimilær. En sådan u-række er fastlagt når k er valgt og vi har besluttet om den skal være k-hierarkisk eller k-invers-hierarkisk, samt har foreskrevet hvilke k-1 toner som skal følge efter tonen t (i en 1-toneblok). Vi vil altid forudsætte at disse k-1 toner afhænger lineært af t, altså er af formen a₁ + b₁∙t, ..., a_k-1 + b_k-1∙t. De første k toner i rækken er 0, a₁, ..., a_k-1. Hvis alle b_i-erne er ±1, er rækken der er fremkommet ved at man tager hver k-te tone fra (og med) tone nr. i, rækken selv for b_i = 1, eller den omvendte række for b_i = -1 transponeret til tonen a_i.

Hvis en tone forekommer mere end én gang i en sådan generaliseret PN-u-række (og det vil vist altid være tilfældet), vil der være gentagelse af temaer i rækken. Disse gentagelsesrelationer kan aflæses af forløbet af rækkens allerførste toner. Vi vil vise dette for PN's u-række:

Da rækkens tone nr. 0 er lig tone nr. 5, må det for ethvert m (= 1, 2, ...) gælde at de 2^m-1 toner som skal indskydes imellem tone nr. 5 og 6 (hvis m er ulige i den omvendte række!) er ganske de samme som de 2^m-1 toner som skal indskydes imellem tone nr. 0 og 1, altså rækkens 2^m-1 første toner efter nr. 0. Og da rækkens tone nr. 1 er lig tone nr. 4, må det gælde at de 2^m-1 toner som skal indskydes imellem tone nr. 4 og 5 er de samme som de 2^m-1 toner som skal indskydes imellem tone nr. 1 og 2. Men af ombytningsegenskaben hos toneblokke følger, at hvis vi deler disse toner midt over og ombytter halvdelene, får vi de toner som skal indskydes imellem tone nr. 6 og 7 - for tone nr. 6 er (-1)^m(-2) som er -(-1)^m-t for t = (-1)^m som er tone nr. 4.

Dette argument for både m og m-1 giver gentagelsesrelationer som kan illustreres således:

Vi ser altså at når vi er nået frem til tone nr. 7∙2^m, vil alt tonematerialet på nær højst 1/14 være fremkommet ved flytning af forholdsvis store sammenhængende portioner af tonemateriale fra de første 2/7 af rækken.

Den generaliserede PN-u-række N_n (n = 0, 1, 2, ...) kan defineres ved at N_m∙k+i = a_i + b_i∙N_m for m = 0, 1, 2, ... og i = 0, 1, ..., k-1 (a₀ = 0 og b₀ = ±1, + når rækken er k-hierarkisk og - når rækken er k-invers-hierarkisk). De generaliserede PN-u-rækker er vist nok først studeret af Svend Aaquist Johansen i begyndelsen af 70-erne.

Computerprogram til de generaliserede uendelighedsrækker

Karl Aage Rasmussen's u-rækker (kaos)

Hvis vi i computerprogrammet for de generaliserede PN-u-rækker indfører en "forstyrrende" ekstra operation med den hensigt at gøre rækken mere hierarkisk, går den selvsimilære (ordnede) struktur tabt og rækken opfører sig nu kaotisk. Den hierarkiske struktur er altså blevet mere udtalt, men gentagelse af større afsnit er i almindelighed en sjældenhed. KAaR skriver om disse rækker (side 122 i den nævnte DMT-artikel): "Om dette betyder variationsrigdom eller kaos må endnu engang afhænge af den musikalske tolkning...". I eks. 4b nedenfor skal man over 250 toner frem førend de første 6 toner vender tilbage.

KAaR's u-række R_n (n = 0, 1, 2, ...) er konstrueret således: Lad k være et naturligt tal (> 1). For enhver primfaktor p i k, vælg et af tallene ±1, dette betegnes e_p. For enhvert af tallene i = 1, 2, ..., k-1 som er primisk med k, vælg to tal a_i og b_i (b_i vil i almindelighed være ±1). Talrækken R_n er da bestemt ved at

1. R_p∙n = e_p∙R_n for p primfaktor i k og n = 0, 1, 2, ...

2. R_m∙k+i = a_i + b_i∙R_m for i = 1, 2, ..., k-1 og primisk med k og m = 0, 1, 2, ...

Denne u-række er altså mere end bare k-hierarkisk eller k-invers-hierarkisk: for enhver primfaktor p i k er den p-hierarkisk eller p-invers-hierarkisk alt efter om e_p = 1 eller e_p = -1.

Eksempler I tabellen er angivet parametrene for de nedenfor viste rækker. Eks. 11 og 12 er af Per Nørgård og eks. 4 og 5 er af Karl Aage Rasmussen, de er alle fra DMT-artiklen (og eks.-numrene er de samme).

Per Nørgård, eks. 11:

Per Nørgård, eks. 12a:

Per Nørgård, eks. 12b:

Per Nørgård, eks. 12c:

Fig. 3a. Svend Aaquist Johansen (1974):

Fig. 3b. Billedet viser tydeligt bevægelsesprincippet i de generaliserede PN-u-rækker:

Fig. 3c. Denne række (kontrueret af forfatteren) er påfaldende melodisk:

Karl Aage Rasmussen, eks. 4a:

Karl Aage Rasmussen, eks. 4b:

Karl Aage Rasmussen, eks. 5:

Computerprogram til Karl Aage Rasmussen's uendelighedsrækker

Karl Aage Rasmussen's "endelige" u-rækker (orden igen)

Den før citerede sætning om kaos fortsætter således: "men det har givet mig lyst til at undersøge muligheden for den endelige uendelighedsrække, altså en række som gentager sig selv, men som alligevel deler divisorer med sig selv (= er "hierarkisk") hen over alle brudflader og gentagelser. Dette mærkelige fænomén, et musikalsk "pariserhjul", har jeg foreløbig kun fundet én "udgave" af, og - hvad værre er - jeg har ikke haft held til at afdække det bagvedliggende princip. Her gives denne 2:3 række, der anvender omvending, er identisk med sig selv forfra og bagfra, og altså endeløst selvforstørrende/formindskende" (tempo 4:6:9 er fremhævet ved ottendedel, fjerdedel og brevis):

Karl Aage Rasmussen efterlyser en generel metode. Mit forslag tager udgangspunkt i en rækketype som har mest mulig hierarkisk struktur, nemlig rækker som er multiplikative. Man kan så bagefter slække mere eller mindre på dette krav.

Lan L være antallet af toner i rækken. Z betegner mængden af de hele tal (altså ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...). Z/LZ betegner mængden af alle hele tal hvor vi har identificeret tal hvis deres differens er delelig med L (restklasser) (hvis L = 7 er 3 = 10 = 17 = -4 = ...). Vi kan addere og multiplicere tal i Z/LZ. (Z/LZ)* betegner mængden af invertible tal i Z/LZ, altså tal n således at der findes et tal n^-1 således at n∙n^-1 = 1 (hvis L = 35 er 3 invertibelt, for 3∙12 = 36 = 1, altså 3^-1 = 12). Et tal i Z/LZ er invertibelt præcis når det er primisk med L. Hvis to tal i /Z/LZ)* multipliceres vil resultatet også tilhøre (Z/LZ)*. (Z/LZ)* er altså en (multiplikativ) gruppe.

Vi vælger et naturligt tal T og identificerer toner hvis deres differens er delelig med T. Vi definerer Z/TZ og (Z/TZ)* som ovenfor.

Det gælder nu i første omgang om at konstruere en homomorfi f: (Z/LZ)* → (Z/TZ)*, altså en afbildning som bevarer multiplikation, dvs. f(m∙n) = f(m)∙f(n) (og f(1) = 1).

Vi vil kun betragte de tilfælde hvor L er et primtal eller et produkt af to primtal.

Hvis L er et primtal er (Z/LZ)* en cyklisk gruppe, dvs. der findes en generator g i (Z/LZ)* således at ethvert tal n i (Z/LZ)* kan skrives på formen n = g^m, hvor m = 0, 1, 2, ..., L-2. Hvis vi vælger et tal a i (Z/TZ)* således at a^L-1 = 1, da findes en entydigt bestemt homomorfi f således at f(g) = a, er nemlig n = g^m vil gælde f(n) = a^m. Afbildningen F: Z → Z/TZ defineres ved:

F(n) = 0 når L går op i n og F(n) = f(n) når L ikke går op i n

Den er multiplikativ (altså F(m∙n) = F(m)∙F(n)) og periodisk modulo L (altså F(n+L) = F(n)).

Eksempel L = 17, T = 5. Altså Z/TZ = {0, ±1, ±2}. g = 3 og for a kan vælges ±1, ±2. For a = 2 ser rækken således ud (diatonisk):

I stedet for at sætte F(0) = 0 kunne vi have sat F(0) = i, hvor i er et tal tilhørende Z/TZ som opfylder i² = i og f(m)∙i = i for alle m tilhørende (Z/LZ)*.

Hvis F(n) = 1 henh. -1 vil rækken være n-hierarkisk henh. n-invers-hierarkisk. Hvis a^(L-1)/2 = ±1 (dette vil altid gælde hvis T er et primtal) vil den modsatte række (rækken spillet bagfra) være rækken selv eller den omvendte række alt efter om fortegnet er + eller -.

Hvis L er et produkt af to primtal, altså L = pq, er (Z/LZ)* = (Z/pZ)*∙(Z/qZ)* (mængdeproduktet, altså mængden af ordnede par (m, n) hvor m tilhører (Z/pZ)* og n tilhører (Z/qZ)* - n i (Z/LZ)* svarer til (n, n)), og en homomorfi f: (Z/LZ)* → (Z/TZ)* kan skrives som produktet af to homomorfier f_p: (Z/pZ)* → (Z/TZ)* og f_q: (Z/qZ)* → (Z/TZ)*. Hvis vi vælger to tal i_p og i_q tilhørende Z/TZ som opfylder den ovennævnte betingelse for i (mht. f_p og f_q) (samt evt. i_p∙i_q = 0), da kan vi udvide f_p og f_q til multiplikative afbildninger F_p: Z/pZ → Z/TZ og F_q: Z/qZ → Z/TZ ved at sætte F_p(0) = i_p og F_q(0) = i_q. Da Z/LZ = (Z/pZ)∙(Z/qZ) får vi ved at danne produktet af F_p og F_q en multiplikativ afbildning F: Z/LZ → Z/TZ.

Eksempel (KAaR's "pariserhjul") L = 35, p = 5, q = 7, T = 12, f_p: (Z/5Z)* → (Z/12Z)* afbilder 3 som er en generator i (Z/5Z)* over i -1, f_q: (Z/7Z)* → (Z/12Z)* er den trivielle afbildning (dvs. f(n) = 1 for alle n), i_p = 0 og i_q = -3 (bemærk at F(5) = 0∙f_q(5) = 0 og F(7) = f_p(7)∙(-3) = 3):

Denne række kan kun i ét eneste tilfælde blive multiplikativ, nemlig hvis man som her vælger T = 12 - altså hvis tonerne identificeres på sædvanlig vis.

Se også denne artikel:

Per Nørgård's uendelighedsrække

Denne side hører under: juliasets.dk